LOJ 2542 「PKUWC2018」随机游走 ——树上高斯消元（期望DP）+最值反演+fmt

末蓝、 2021-12-20 20:01 186阅读 0赞

题目：[https://loj.ac/problem/2542][https_loj.ac_problem_2542]

可以最值反演。注意 min 不是独立地算从根走到每个点的最小值，在点集里取 min ，而是整体来看，“从根开始走到点集中的任意一个点就停下”的期望步数。

设 f\[ i \] 表示从根走到 i ，再走期望几步就能走到点集中的某个点。有 \\( f\[i\]=\\frac\{1\}\{d\[i\]\}\\sum\\limits\_\{j\}(f\[j\]+1) \\) （ j 是和 i 有边的点）

于是要“树上高斯消元”。其实就是尝试写成 \\( f\[i\]=a\[i\]\*f\[st\]+b\[i\] \\) （st 是根）之类的形式，从而让系数的转移有方向，然后根据 \\( a\[st\] \\) 和 \\( b\[st\] \\) 算 \\( f\[st\] \\) 。

为了有方向，这里设 \\( f\[i\]=a\[i\]\*f\[st\]+b\[i\]\*f\[fa\]+c\[i\] \\) （有 \\( a\[i\]\*f\[st\] \\) 是为了算 \\( f\[st\] \\) ）

\\( f\[i\]=\\frac\{1\}\{d\[i\]\}f\[fa\]+\\frac\{1\}\{d\[i\]\}+\\frac\{1\}\{d\[i\]\}\\sum\\limits\_\{j \\in child\}f\[j\]+\\frac\{d\[i\]-1\}\{d\[i\]\} \\)

\\( d\[i\]\*f\[i\]=f\[fa\]+d\[i\]+\\sum\\limits\_\{j \\in child\}a\[j\]f\[st\]+\\sum\\limits\_\{j \\in child\}b\[j\]f\[i\]+\\sum\\limits\_\{j \\in child\}c\[j\] \\)

\\( (d\[i\]-\\sum\\limits\_\{j \\in child\}b\[j\])f\[i\]=\\sum\\limits\_\{j \\in child\}a\[j\]f\[st\]+f\[fa\]+d\[i\]+\\sum\\limits\_\{j \\in child\}c\[j\] \\)

然后对于每个点集可以树形DP地算。如果走到了点集中的点，那么 a\[cr\] 、b\[cr\] 、c\[cr\] 都是 0 ，并且直接 return 即可。

最值反演的时候求子集的和可以用 fmt 算。那个 -1 的系数只要在初值的时候体现一下就行了。

#include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #define ll long long
    using namespace std;
    int rdn()
    {
      int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
      while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
      while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
      return fx?ret:-ret;
    }
    const int N=20,M=(1<<18)+5,mod=998244353;
    int upt(int x){
        if(x<0)x+=mod;if(x>=mod)x-=mod;return x;}
    int pw(int x,int k)
    {
         int ret=1;while(k){
        if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;}
    
    int n,st,hd[N],xnt,to[N<<1],nxt[N<<1],dg[N],a[N],b[N],c[N];
    int bin[N],f[M],ct[M];
    void add(int x,int y){to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;dg[x]++;}
    void dfs(int cr,int fa,int s)
    {
      a[cr]=b[cr]=c[cr]=0;int tp=0;
      if(s&bin[cr-1])return;//return!
      for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
        if((v=to[i])!=fa)
          {
        dfs(v,cr,s);
        a[cr]=upt(a[cr]+a[v]); c[cr]=upt(c[cr]+c[v]); tp=upt(tp+b[v]);
          }
      tp=pw(upt(dg[cr]-tp),mod-2);
      a[cr]=(ll)a[cr]*tp%mod; b[cr]=tp; c[cr]=(ll)(c[cr]+dg[cr])*tp%mod;
    }
    void fmt()
    {
      for(int i=1;i<bin[n];i<<=1)
        for(int s=0;s<bin[n];s++)
          if(s&i)f[s]=upt(f[s]+f[s^i]);
    }
    int main()
    {
      n=rdn();int Q=rdn();st=rdn();
      for(int i=1,u,v;i<n;i++)
        u=rdn(),v=rdn(),add(u,v),add(v,u);
      bin[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)bin[i]=bin[i-1]<<1;
      for(int s=1;s<bin[n];s++)ct[s]=ct[s-(s&-s)]+1;
      for(int s=1;s<bin[n];s++)
        {
          dfs(st,0,s);f[s]=(ll)c[st]*pw(upt(1-a[st]),mod-2)%mod;
          if((ct[s]&1)==0)f[s]=upt(-f[s]);
        }
      fmt();
      while(Q--)
        {
          n=rdn();int s=0;
          for(int i=1;i<=n;i++)s|=bin[rdn()-1];
          printf("%d\n",f[s]);
        }
      return 0;
    }

转载于:https://www.cnblogs.com/Narh/p/10279703.html

[https_loj.ac_problem_2542]: https://loj.ac/problem/2542