『Broken Robot 后效性dp 高斯消元』

分手后的思念是犯贱 2022-01-09 22:23 189阅读 0赞

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## Broken Robot ##

### Description ###

你作为礼物收到一个非常聪明的机器人走在矩形板上。不幸的是，你明白它已经破碎并且行为相当奇怪（随机）。该板由N行和M列单元组成。机器人最初位于第i行和第j列的某个单元格中。然后在每一步，机器人都可以去另一个细胞。目的是走到最底层（N.排。机器人可以停留在当前单元格中，向左移动，向右移动或移动到当前单元格下方的单元格。如果机器人位于最左侧的列中，则它不能向左移动，如果它位于最右侧的列中，则它不能向右移动。在每一步中，所有可能的动作都是同样可能的。返回预期的步数以到达最下面一行。

### Input Format ###

在第一行中你将被提供两个空间隔开的整数N和M(1≤N,M≤?1000)。在第二行中你将得到另外两个空间隔开的整数i和j(1≤i≤N,1≤j≤M) ——初始行的数目和初始列的数量。注意，（1,1）是板的左上角，（N， M）是右下角。

### Output Format ###

在自身的一行上输出预期的步数，小数点后至少有4位数。

### Sample Input ###

10 14
    5 14

### Sample Output ###

18.0038068653

### 解析 ###

显然，这道题看起来很像一道期望\\(dp\\)，那么我们就用期望\\(dp\\)的套路设一个状态试试：\\(f\[i\]\[j\]\\)代表机器人从\\((i,j)\\)走到最后一行的步数期望值。

我们可以根据移动规则很容易列出\\(dp\\)方程：

> \\(1.\\) 当机器人处于第一列时：\\(f\[i\]\[1\]=\\frac\{1\}\{3\}(f\[i\]\[1\]+f\[i\]\[2\]+f\[i+1\]\[1\])+1\\)
> 
> \\(2.\\) 当机器人处于最后一列时：\\(f\[i\]\[m\]=\\frac\{1\}\{3\}(f\[i\]\[m\]+f\[i\]\[m-1\]+f\[i+1\]\[m\])+1\\)
> 
> \\(3.\\) 当机器人处于中间列时：\\(f\[i\]\[j\]=\\frac\{1\}\{4\}(f\[i\]\[j\]+f\[i\]\[j-1\]+f\[i\]\[j+1\]+f\[i+1\]\[j\])+1\\)

我们发现，在行维度上，这个状态转移方程时没有问题的，可以倒序枚举每一行作为阶段，来进行转移。

但是，在同一行中，这个状态转移方程并不满足**无后效性**这一动态规划基本原则，于是我们决定使用高斯消元算法来解方程。

总体上，我们还是以行号为阶段，倒序进行转移。在第\\(i\\)行行内，我们将\\(i+1\\)行的状态看为常数，剩下的状态看做\\(m\\)个未知数，\\(m\\)个状态转移方程看做数学方程，尝试列出增广矩阵。

先看第一类方程：\\(f\[i\]\[1\]=\\frac\{1\}\{3\}(f\[i\]\[1\]+f\[i\]\[2\]+f\[i+1\]\[1\])+1\\)，简单做一下移项分类：

\\\[2f\[i\]\[1\]-f\[i\]\[2\]=f\[i+1\]\[1\]+3\\\]

同理，可以化简剩下两个方程：

\\\[-f\[i\]\[j-1\]+3f\[i\]\[j\]-f\[i\]\[j+1\]=f\[i+1\]\[j\]+4\\\]  
\\\[-f\[i\]\[m-1\]+2f\[i\]\[m\]=f\[i+1\]\[m\]+3\\\]

那就可以写出系数矩阵了：  
\\\[ \\left\[ \\begin\{array\}\{ccccccc|c\} 2 & -1 & 0 & \\cdots & 0 & 0 & 0 & f\[i+1\]\[1\]+3 \\\\ -1 & 3 & -1 & \\cdots & 0 & 0 & 0 & f\[i+1\]\[2\]+4 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots& -1 & 3 & -1 & f\[i+1\]\[m-1\]+4 \\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots& 0 & -1 & 2 & f\[i+1\]\[m\]+3 \\\\ \\end\{array\} \\right\] \\\]  
我们发现这个矩阵很特殊，总共只有三条斜列有系数，所以我们可以线性直接消元。具体的说，我们可以从上往下消一遍，将第一斜列的系数消去，同时正确地处理第二第三斜列。再从下往上消一遍，将第三斜列的系数消去，这样就可以直接计算答案了。

利用如上的\\(dp\\)以及高斯消元算法，时间复杂度为\\(O(nm)\\)。

值得注意的是，这三个方程在\\(m=1\\)是会出现边界问题，简单推导可知\\(m-1\\)时答案就是\\((n-x)\*2\\)。

\\(Code:\\)

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1020; int n,m,x,y; double f[N][N],a[N][N],b[N]; inline void input(void) { scanf("%d%d\n%d%d",&n,&m,&x,&y); } inline void init(void) { a[1][1] = 2.0 , a[1][2] = -1.0; for (int i=2;i<m;i++) a[i][i-1] = -1.0 , a[i][i] = 3.0 , a[i][i+1] = -1.0; a[m][m-1] = -1.0 , a[m][m] = 2.0; } inline void gauss(void) { double rate = a[2][1] / a[1][1]; a[2][1] = 0.0; a[2][2] -= a[1][2] * rate , b[2] -= b[1] * rate; for (int i=2;i<m;i++) { rate = a[i+1][i] / a[i][i]; a[i+1][i] = 0.0; a[i+1][i+1] -= a[i][i+1] * rate , b[i+1] -= b[i] * rate; } for (int i=m-1;i>=1;i--) { rate = a[i][i+1] / a[i+1][i+1]; a[i][i+1] = 0.0 , b[i] -= b[i+1] * rate; } } inline void dp(void) { for (int i=1;i<=m;i++) f[n][i] = 0; for (int i=n-1;i>=1;i--) { init(); b[1] = f[i+1][1] + 3.0; for (int j=2;j<m;j++) b[j] = f[i+1][j] + 4.0; b[m] = f[i+1][m] + 3.0; gauss(); for (int j=1;j<=m;j++) f[i][j] = b[j] / a[j][j]; } } int main(void) { freopen("in.in","r",stdin); freopen("out.out","w",stdout); input(); if ( m != 1 ) dp(); else f[x][y] = ( n - x ) * 2.0; printf("%.10lf\n",f[x][y]); return 0; }

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转载于:https://www.cnblogs.com/Parsnip/p/11042230.html