Floyd算法(弗洛伊德算法)

柔情只为你懂 2021-12-19 16:29 313阅读 0赞

[Floyd算法(弗洛伊德算法)][Floyd]

算法描述：

Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。从图的带权邻接矩阵A=\[a(i,j)\] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

核心思路：通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

算法过程：

把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G\[i,j\]=d，d表示该路的长度；否则G\[i,j\]=无穷大。定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D\[i,j\]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D\[i,j\]=j。把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G\[i,j\] = min( G\[i,j\], G\[i,k\]+G\[k,j\] )，如果G\[i,j\]的值变小，则D\[i,j\]=k。 在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为\{V5,V3,V1\}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

优缺点分析：  
　　Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。  
　　优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；  
　　缺点：时间复杂度为O(n3)，比较高，不适合计算大量数据。

代码实现：

#include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #define MAXVERTEX 8
    #define INF 65535
    typedef char VertexType;
    typedef int EdgeType;
    typedef struct MGraph
    {
        VertexType vertex[MAXVERTEX];
        EdgeType edge[MAXVERTEX][MAXVERTEX];
        int numvex;
        int numedge;
    }MGraph;
    
    static int D[MAXVERTEX][MAXVERTEX];
    static int P[MAXVERTEX][MAXVERTEX];
    
    void CreateMGraph(MGraph *G)
    {
        int i = 0,j = 0,k = 0,w = 0;
        VertexType c;
        printf("请输入顶点数和边数:\n");
        scanf("%d,%d",&G->numvex,&G->numedge);
        for(i = 0;i < G->numvex;i++)
        {
            for(j = 0;j < G->numvex;j++)
            {
               if(i == j)
               {
                   G->edge[i][j] = 0;
               }
               else
               {
                   G->edge[i][j] = INF;
               }
            }
        }
        printf("请输入顶点的值:\n");
        fflush(stdin);
        scanf("%c",&c);
        while(i < G->numvex)
        {
            if(c == '\n')
                break;
            else
            {
                G->vertex[i] = c;
                i++;
                scanf("%c",&c);
            }
        }
        fflush(stdin);
        for(k = 0;k < G->numedge;k++)
        {
            printf("请输入边vi-vj所依附的顶点下标 i 和 j，以及权重w:\n");
            scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);
            G->edge[i][j] = w;
            G->edge[j][i] = G->edge[i][j];
        }
    }
    
    void Floyd(MGraph *G)
    {
        int i,j,k;
        //初始化
        for(i = 0;i < G->numvex;i++)
        {
            for(j = 0;j < G->numvex;j++)
            {
                D[i][j] = G->edge[i][j];
                P[i][j] = j;
            }
        }
        for(k = 0;k < G->numvex;k++)
        {
            for(i = 0;i < G->numvex;i++)
            {
                for(j = 0;j < G->numvex;j++)
                {
                    if(D[i][j] > D[i][k] + D[k][j])
                    {
                        D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                        P[i][j] = P[i][k];
                    }
                }
            }
        }
        printf("\n P矩阵为：\n");
        for(i = 0;i < G->numvex;i++)
        {
            for(j = 0;j < G->numvex;j++)
            {
               printf("%d ",P[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    void PrintPath(MGraph *G)
    {
        int i,j,k;
        for(i = 0;i < G->numvex;i++)
        {
            for(j = i+1;j < G->numvex;j++)
            {
                printf("V%d-V%d minimum weight:%d  ",i,j,D[i][j]);
                k = P[i][j];
                printf("Path: V%d",i);
                while(k != j)
                {
                    printf("-->V%d",k);
                    k = P[k][j];
                }
                printf("-->V%d\n",j);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    
    int main()
    {
        MGraph G;
        CreateMGraph(&G);
        Floyd(&G);
        PrintPath(&G);
        return 0;
    }

posted on 2014-12-23 13:14 [BeatificDevin][] 阅读( ...) 评论( ...) [编辑][Link 1] 收藏

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