最短路之——弗洛伊德算法（floyd）

电玩女神 2021-12-07 14:15 326阅读 0赞

来源： https://blog.csdn.net/riba2534/article/details/54562440

![20170115155852215][]

我们要做的是求出从某一点到达任意一点的最短距离，我们先用邻接矩阵来建图，map\[i\]\[j\]表示从i点到j点的距离，把自己到自己设为0，把自己到不了的边初始化为无穷大，代码为：

\[cpp\]  [view plain][]  [copy][view plain]

1.  //初始化  
2.      for(int i=1; i<=n; i++)  
3.          for(int j=1; j<=n; j++)  
4.              if(i==j)  
5.                  map\[i\]\[j\]=0;  
6.              else  
7.                  map\[i\]\[j\]=inf;  
8.      //读入边  
9.      for(int i=1; i<=m; i++)  
10.     \{  
11.         scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);  
12.         map\[t1\]\[t2\]=t3;  
13.     \}

最后，建好的图可以用表格来表示：

![20170115160138167][]

现在，我们来思考，假设我们来找一个中转的点，看他们的路程会不会改变，我们先以1号顶点作为中转点最为例子，制图：

![20170115160416702][]

我们发现，图有了变化，我们怎么判断以1号顶点作为中转点图的路程是不是更短呢，我们只需要判断map\[i\]\[1\]+map\[1\]\[j\]的路程是不是比map\[i\]\[j\]的路程更短，就可以判断，

代码为：

\[cpp\]  [view plain][]  [copy][view plain]

1.  for(int i=1; i<=n; i++)  
2.      for(int j=1; j<=n; j++)  
3.          if(map\[i\]\[1\]+map\[1\]\[j\]<map\[i\]\[j\])  
4.              map\[i\]\[j\]=map\[i\]\[1\]+map\[1\]\[j\];

现在该怎么办呢，我们接着以2号顶点作为中转点，很简单代码修改一句就就可以：

\[cpp\]  [view plain][]  [copy][view plain]

1.  for(int i=1; i<=n; i++)  
2.      for(int j=1; j<=n; j++)  
3.          if(map\[i\]\[2\]+map\[2\]\[j\]<map\[i\]\[j\])  
4.              map\[i\]\[j\]=map\[i\]\[2\]+map\[2\]\[j\];

现在我们是不是发现了一个规律，只要不断的遍历每一个点，并且以每一个点作为中转点看看它的值会不会改变，就可以得到从一个点到任意一个点的最短路径，也就是多源最短路，这就是弗洛伊德算法，代码为：

\[cpp\]  [view plain][]  [copy][view plain]

1.  for(int k=1; k<=n; k++)  
2.      for(int i=1; i<=n; i++)  
3.          for(int j=1; j<=n; j++)  
4.              if(map\[i\]\[k\]+map\[k\]\[j\]<map\[i\]\[j\])  
5.                  map\[i\]\[j\]=map\[i\]\[k\]+map\[k\]\[j\];

这样就可以遍历每个顶点，找出所有的最短路，算法的复杂度为O(n^3).

对于我一开始提出的问题，完整的代码为：

\[cpp\]  [view plain][]  [copy][view plain]

1.  \#include <stdio.h>  
2.  \#include <string.h>  
3.  \#include <string>  
4.  \#include <iostream>  
5.  \#include <stack>  
6.  \#include <queue>  
7.  \#include <vector>  
8.  \#include <algorithm>  
9.  \#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))  
10. using namespace std;  
11. const int inf=1<<29;  
12. int main()  
13. \{  
14.     int map\[10\]\[10\],n,m,t1,t2,t3;  
15.     scanf("%d%d",&n,&m);//n表示顶点个数，m表示边的条数  
16.     //初始化  
17.     for(int i=1; i<=n; i++)  
18.         for(int j=1; j<=n; j++)  
19.             if(i==j)  
20.                 map\[i\]\[j\]=0;  
21.             else  
22.                 map\[i\]\[j\]=inf;  
23.     //读入边  
24.     for(int i=1; i<=m; i++)  
25.     \{  
26.         scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);  
27.         map\[t1\]\[t2\]=t3;  
28.     \}  
29.     //弗洛伊德(Floyd)核心语句  
30.     for(int k=1; k<=n; k++)  
31.         for(int i=1; i<=n; i++)  
32.             for(int j=1; j<=n; j++)  
33.                 if(map\[i\]\[k\]+map\[k\]\[j\]<map\[i\]\[j\])  
34.                     map\[i\]\[j\]=map\[i\]\[k\]+map\[k\]\[j\];  
35.     for(int i=1; i<=n; i++)  
36.     \{  
37.         for(int j=1; j<=n; j++)  
38.             printf("%10d",map\[i\]\[j\]);  
39.         printf("\\n");  
40.     \}  
41.     return 0;  
42. \}  
43.

转载于:https://www.cnblogs.com/wwrong/p/10953926.html

[20170115155852215]: /images/20211207/7334a930cc5247cf8d733c6182feab8b.png
[view plain]: https://blog.csdn.net/riba2534/article/details/54562440#
[20170115160138167]: /images/20211207/ac981cbf22dd416f90cc4b99f2a9b353.png
[20170115160416702]: /images/20211207/05c377ed2ab649eda320ad596d3aa901.png