最短Hamilton路径（二进制状态压缩dp）

以你之姓@ 2021-12-10 10:17 206阅读 0赞

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式  
第一行输入整数nn。  
接下来n行每行n个整数，其中第ii行第jj个整数表示点i到j的距离（记为a\[i,j\]）。  
对于任意的x,y,z，数据保证 a\[x,x\]=0，a\[x,y\]=a\[y,x\] 并且 a\[x,y\]+a\[y,z\]>=a\[x,z\]。

输出格式  
输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围  
1≤n≤20

0≤a\[i,j\]≤1e7  
输入样例：  
5  
0 2 4 5 1  
2 0 6 5 3  
4 6 0 8 3  
5 5 8 0 5  
1 3 3 5 0

输出样例：  
18

知识点：二进制状态压缩dp

思路：

1.brute force

求出n个点的全排列，计算每种情况的路径值，取最小的值。 O(n \* n !) 超时。

2.二进制状态压缩dp

把 n 用二进制表示，每一位只有0和1，我们把1表示这个点已经经过，0表示这个点未被经过。  
判断语句只有1是合法的，意思是刚刚经过了这个点，此时的上一个状态被经过了。  
创建一个二维数组dp\[i\]\[j\]表示状态为 i ，走到 j 点时的最短路径。  
刚开始dp\[1\]\[0\]=0表示起始点0 已经经过，且最短路为0。把dp数组初始为正无穷。  
最终的目标是所有点都被经过，也就是转态为n个1（111111…） 走到第n-1个点，所以  
dp\[(1<<n)-1\]\[n-1\]为最后的结果。  
状态转移方程为：dp\[i\]\[j\]=min(dp\[i\]\[j\],dp\[n xor (1<<j)\]\[k\]+weight\[k\]\[j\] ）  
n xor (1<<j)表示n的第j位取反，已经走过了所以不能再走了。  
用k遍历所有的点，去个最小值就行了。

#include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    const  int  mmax=1e6+10;
    typedef long long ll;
    const int inf=0x3f3f3f3f;
    const int M=1<<20,N=20;
    ll dp[M][N],weight[N][N];
    int main()
    {
     	ll n;
     	cin>>n;
     	memset(dp,inf,sizeof(dp));
     	for(int i=0;i<n;i++)
     	{
      		for(int j=0;j<n;j++)
      		{
       			cin>>weight[i][j];
      		}
     	}
     	dp[1][0]=0;
     	for(int i=0;i<(1<<n);i++)
     	{
      		for(int j=0;j<n;j++)
      		{
       			if(i>>j&1)
       			{
        				for(int k=0;k<n;k++)
        				{
         					if(i^(1<<j)>>k&1)
         					{
          					dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^(1<<j)][k]+weight[k][j]);
         					}
         
        				}
        			} 
      		}
     	}
     	cout<<dp[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
     return 0;
    }