524 愤怒的小鸟（状态压缩dp-集合式状态压缩dp）

Myth丶恋晨 2022-09-12 11:52 186阅读 0赞

**1. 问题描述：**

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。 有一架弹弓位于 (0,0) 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟， 小鸟们的飞行轨迹均为形如 y=ax ^ 2+b ^ x 的曲线，其中 a，b 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 a < 0。当小鸟落回地面（即 x 轴）时，它就会瞬间消失。在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 n 只绿色的小猪，其中第 i 只小猪所在的坐标为 (xi,yi)。 如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 (xi，yi)，那么第 i 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行； 如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 (xi, yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 i 只小猪产生任何影响。 例如，若两只小猪分别位于 (1，3) 和 (3，3)，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y = −x2+4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。 而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。 这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个这个游戏。这些指令将在输入格式中详述。 假设这款游戏一共有T个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。注意:本题除 NOIP 原数据外，还包含加强数据。

**输入格式**

第一行包含一个正整数 T，表示游戏的关卡总数。下面依次输入这 T 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 n 行中，第 i 行包含两个正实数 (xi,yi)，表示第 i 只小猪坐标为 (xi,yi)，数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。如果 m=0，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。如果 m=1，则这个关卡将会满足：至多用 ⌈n/3+1⌉ 只小鸟即可消灭所有小猪。如果 m=2，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 ⌊n/3⌋ 只小猪。保证 1≤n≤18，0≤m≤2，0<xi,yi<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。  
上文中，符号 ⌈c⌉ 和 ⌊c⌋ 分别表示对 c 向上取整和向下取整，例如 ：⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。

**输出格式**

对每个关卡依次输出一行答案。输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。  
来源：[https://www.acwing.com/problem/content/description/526/][https_www.acwing.com_problem_content_description_526]

**2. 思路分析：**

这道题目属于经典的**集合式的状态压缩dp**题目，我们需要使用尽可能少的抛物线将所有的小猪覆盖掉==>重复覆盖问题，最优的做法是使用十字链表来解决，但是这个数据结构太复杂了，代码不容易编写，这里使用另外一种比较简便的解决的方法---状态压缩dp来解决，由于抛物线是经过原点的，并且开口向下，所以抛物线方程为y = ax ^ 2 + bx（a < 0），所以两个点可以唯一确定一条抛物线。我们其实可以通过预处理得到经过每一个点的抛物线路径，可以使用二维数组path来记录，其中第一维表示当前是第i个点，第二维表示另外一个点（只有一个点的时候表示第一维和第二维都是自己），这样两个点就可以确定一条抛物线，如果经过这两点的抛物线还可以穿过其他的点那么在其对应位置上置为1即可，path存储的就是当前有哪些点穿过当前的抛物线，最后我们需要枚举一下所有的状态，在枚举当前状态的时候找到当前状态第一个没有覆盖当前点的位置然后break，而path\[x\]\[j\]记录的就是抛物线经过当前点的状态，在枚举的时候更新对应的状态值即可。

![watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBAeXV6aGFuZ196eQ_size_10_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16][]

**3. 代码如下：**

class Solution:
        # 比较当前两个数是否在一个误差范围之内, 如果在范围之内可以判断两个数字相等(浮点数比较的时候是存在误差的所以只需要满足误差在一个范围之内即可)
        def comp(self, x: int, y: int):
            if abs(x - y) < 10 ** -8:
                return 0
            elif x > y:
                return 1
            return -1
    
        def process(self):
            T = int(input())
            while T > 0:
                n, m = map(int, input().split())
                q = list()
                for i in range(n):
                    x0, y0 = map(float, input().split())
                    q.append((x0, y0))
                path = [[0] * n for i in range(n)]
                for i in range(n):
                    # 当前的位置置为1
                    path[i][i] = 1 << i
                    for j in range(n):
                        x1, y1 = q[i][0], q[i][1]
                        x2, y2 = q[j][0], q[j][1]
                        # 当前两个点是同一个点或者是横坐标相同都是不合法的, 横坐标相同的时候斜率为正无穷而抛物线的斜率永远小于正无穷
                        if self.comp(x1, x2) == 0: continue
                        # 计算经过这两个点的抛物线对应的a和b
                        a = (y1 / x1 - y2 / x2) / (x1 - x2)
                        b = y1 / x1 - a * x1
                        # 当a < 0才是合法的
                        if self.comp(a, 0) >= 0: continue
                        state = 0
                        for k in range(n):
                            _x, _y = q[k][0], q[k][1]
                            # 枚举当前抛物线穿过的点, 点在抛物线上说明满足方程
                            if self.comp(a * _x * _x + b * _x, _y) == 0: state += 1 << k
                        path[i][j] = state
                INF = 10 ** 5
                dp = [INF] * (1 << n)
                dp[0] = 0
                # 因为所有位都为1的时候是不用判断的, 所以循环到1 << n减1即可
                for i in range((1 << n) - 1):
                    x = 0
                    for j in range(n):
                        # 找到第一个没有覆盖当前点的位置然后break
                        if i >> j & 1 == 0:
                            x = j
                            break
                    for j in range(n):
                        # path[x][j]表示的就是覆盖当前点的状态,  dp[i] + 1表示当前状态的dp值加上覆盖点的抛物线状态对应的抛物线   
                        dp[i | path[x][j]] = min(dp[i | path[x][j]], dp[i] + 1)
                print(dp[(1 << n) - 1])
                T -= 1
    
    
    if __name__ == '__main__':
        Solution().process()

[https_www.acwing.com_problem_content_description_526]: https://www.acwing.com/problem/content/description/526/
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