概率论：随机事件和概率

绝地灬酷狼 2021-12-10 04:13 803阅读 0赞

# 相关定义； #

**随机试验：**

满足以下三个条件的：

1.实验相同条件下可重复

2.实验的所有结果都是明确可知的，且不止一个

3.实验结果出来之前，最总会是个什么结果，我们是无法预料的。

**样本空间：**

随机实验的所有可能的结果的集合就是这个实验的样本空间。

**基本事件（样本点）：**

就是样本空间的每一个具体的可能的结果

**随机事件：**

样本空间的子集

**必然事件：**

每次实验必定发生的事件

**不可能事件：**

每次实验都绝对不会发生的事件

**注意点：**事件可以推出它发生的概率，但是反过来知道概率，是不能推断这个事件是否发生的。

# 事件的关系： #

要对比着集合的概念来理解：交并补集

包含关系：比如A发生一定导致B发生

相等关系：A和B相互包含

互斥关系：A和B不能同时发生，水火不相容

对立关系：A和B一定有一个发生，且发生的时候只有一个发生，不能同时发生

# 事件的运算： #

交（积）运算：![A\\bigcap B][A_bigcap B]或者AB  ：A和B同时发生

并（和）运算：![A\\bigcup B][A_bigcup B]或者A+B  A和B至少有一个发生

差运算：A-B  ：A发生且B不发生

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70][]![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

#  事件的运算律： #

分配律

![20190715151726912.png][]

德摩根率：

![201907151519048.png][]

背诵技巧：长杠变短杠，开口换方向

# **========================================** #

# 概率： #

### 概率的定义： ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

我们从上面的定义来看可以看出，要让一个数成为概率要满足三个条件，其中第二个说的是什么呢？必然事件的概率等于1，第三个说的呢就是这些事件和的概率等于这些事件概率的和。但是我们发现一个东西，什么呢？这里的这个定义只给出了什么条件下，一个数才有资格成为概率，但是并没有告诉我们怎么求解概率，所以说这个定义对我们来讲其实并不是很重要，但是我们要了解一下。

### 概率的性质： ###

**第一组性质：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

第一个性质：说的是概率这个数值一定是介于0~1之间的数，不能是负数

第二个性质：说的是不可能事件的概率，他的值就是0，必然事件的概率，他就是1，但是一定要注意：千万要记住，这个性质反过来是不成立的，也就是说，一个事件，他的概率是0，但他不一定就是不可能事件，同样的，一个事件的概率是1，也不能说明它就是一定发生的**，一句还，事件可以推概率，概率不一定能推事件！**

同样的，这些性质也是只做了解即可，因为同样的没有告诉我们如何求解概率

**第二组性质：概率的基本公式：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

那么第一个加法公式我们再加一个，就是三个事件相并应该等于：

![P(A\\bigcup B\\bigcup C )=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)][P_A_bigcup B_bigcup C _P_A_P_B_P_C_-P_AB_-P_AC_-P_BC_P_ABC]

注意这里的公式哈，我们可以通过画ven图来理解：

每一个事件都有一个圆，然后相加起来，自然可能会有重叠的部分嘛，对吧，那重叠的部分我们就多加了一次，自然减去他们重叠的部分就行了，但是三个都相减那就又多减去三个的公共部分，所有最后又给加回来。

**减法公式是最重要的公式：一定要记牢固！**

第三个公式就是正难则反的道理

这里的三个公式就是重点了，因为它已经告诉了我们，概率具体应该怎么求解

# =================================== #

# 古典概型： #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

这里说的有限等可能，什么意思呢？有限，说的是样本空间的样本点是能够数清楚，比如说，骰子，一共就六个，123456，对吧，等可能说的是什么呢?等可能就是说每一个样本点出现的概率是相同的，比如骰子的每一数字出现的概率都是1/6

# 几何概型： #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

要注意到这里的条件是无限等可能，也就是说，样本空间中的样本点是数不清楚的，不过样本点出现的概率还是都是相等的，记住，即可概型才是重点！

# 条件概率： #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

可以看到，条件概率它的定义，说的是一个事件再另外一个事件发生的前提下发生的概率，千万要注意，条件概率是真的真的有条件的，也就是P（A）>0，这个已经发生的事件是肯定要大于0的吧，不然后面说了这么一大堆有什么意义呢？

**条件概率的计算：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 8][]

条件概率的计算，往往有两种方法，一种是定义法，就是按照上面的那个公式来计算，但是也不要吃死这个公式，我们还有第二办法，缩小样本空间。怎么理解这个缩小样本空间?其实特别简单，平时我们说的P(B)说的就是一个普通的概率嘛，对吧，这个概率的样本空间就是整个的样本空间嘛，但是呢，对于P(B|A)来讲，实际上，它的样本空间已经是缩小到了A了，为什么？因为你想啊，这个是条件概率，也就是说B发生的概率是再A发生的前提下的，就是说B是在A发生的条件下发生的，那么这个样本空间对于B来讲，可不就是A了嘛

一般来讲，古典概型，我们用的缩小样本空间的方法比较多，如果是用到公式的情况下，一般考虑的是定义法

**条件概率的计算公式：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 9][]

看见了嘛？和前面的概率的计算公式结合起来，其实就是多了一个条件而已，去掉条件，其实就是概率的计算公式，所以没什么难的，都是万变不离其宗。

注意一个小技巧：

如果P(AB)=0了，那很明显嘛，P(ABC)=0；为什么呢？因为ABC发生的概率，注意是他们发生的概率，是AB发生概率的子集呀，如果爸爸都没得了，儿子而哪儿来的？

[A_bigcap B]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5Cbigcap%20B
[A_bigcup B]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%5Cbigcup%20B
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20190715151502405.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20211209/9ef7506a09bf442ca438a9fa60b0d50c.png
[20190715151726912.png]: /images/20211209/a07f14a1f4154b9f9fa11150136f11e6.png
[201907151519048.png]: /images/20211209/883a9aaec76c402a9f8d25bd4c941e55.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20211209/427e0d419daa44e6b394ead5c3e11150.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20211209/76ebfeb3a7b64f1ca396fbe652c02e91.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20211209/c18dfe5dd18e422394e7514591332033.png
[P_A_bigcup B_bigcup C _P_A_P_B_P_C_-P_AB_-P_AC_-P_BC_P_ABC]: https://private.codecogs.com/gif.latex?P%28A%5Cbigcup%20B%5Cbigcup%20C%20%29%3DP%28A%29&plus;P%28B%29&plus;P%28C%29-P%28AB%29-P%28AC%29-P%28BC%29&plus;P%28ABC%29
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20211209/390c5d399b774d928a58852a2b5c266b.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20211209/3b5e8c57915f4864941ebef0660a57d4.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: /images/20211209/0e790d6b59bb4d209100be64526bb400.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]: /images/20211209/3a97a5b07659479d8c6ac57dc50d9d57.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]: /images/20211209/6cd8b555bf2a4a7f910e1b54b8137451.png