事件与概率

布满荆棘的人生 2022-04-25 04:54 343阅读 0赞

## 一,定义 ##

**1.随机试验** —设E为试验,如果满足如下条件  
(1)条件不变下可重复  
(2)试验结果多样性且所有可能的结果是确定的  
(3)试验前不确定具体的结果  
**2.样本空间**—E为试验 ,E的一切可能的基本结果而成的集合,即为Ω  
如:Ω=\{1,2,3,4,5,6\}  
A=\{2,4,6\}  
**3.随机事件** —Ω为样本空间,Ω的子集为\*\*~\*\* ,∀A⊂Ω  
∅⊂Ω, ∅—不可能事件  
Ω⊂Ω,Ω—必然事件

## 二、事件的运算与关系 ##

**(一)运算:**  
1.和 — A+B: A或B发生的事件  
![在这里插入图片描述][20190501163631150.png]  
2.积 — A.B同时发生的事件  
![在这里插入图片描述][20190501163707827.png]  
3.差 ----A-B:A发生且B不发生的事件  
![在这里插入图片描述][20190501163752968.png]  
4.补----Ā:A不发生的事件  
![在这里插入图片描述][20190501164524585.png]  
**(二)关系**  
1.包含—A发生且B发生,称A包含于B,记A⊂B  
![在这里插入图片描述][20190501164641762.png]  
2.互斥(不相容)—A、B不能同时发生,称A、B互斥  
![在这里插入图片描述][2019050116472859.png]  
A、B⟺AB=∅  
3.对立—A、B不能同时发生且至少一个发生  
![在这里插入图片描述][2019050116492384.png]  
A、B对立⟺B=Ā  
⟺AB=∅,A+B=Ω

注解Notes:  
![在这里插入图片描述][2019050116521876.png]  
①A=(A-B)+AB  
且A-B与AB互斥  
②A+B = (A-B) + AB + (B-A)  
且A-B、AB、B-A两两互斥

## 概率的定义与性质 ##

\*\*(一)def-Ω为样本空间, ∀A⊂Ω.定义P(A) \*\*  
若满足  
①∀A⊂Ω有P(A)>=0;(**非负性**)  
②P(Ω)=1;(**必然性**)  
③设A1,A2,…,An,…两两互斥,则P(∑\_(n=1)^∞▒A\_n )=∑P(An)  
称P(A)为A的概率(**无限可加性**)  
**(二)性质**  
1.不可能事件的概率等于0 P(∅) = 0  
2.A1,A2,…An两两互斥,则  
P(A1+…+An) = P(A1)+…+P(An) (有限可加性)  
3.P(Ā) = 1- P(A)  
证:∵A,Ā互斥  
∴P(A+Ā) = P(A)+P(Ā)  
又∵P(A)+P(Ā) = 1  
P(Ā) = 1 - P(A)

## 基本公式 ##

1.减法公式  
∵A=(A-B)+AB且A-B与AB互斥  
∴P(A) = P(A-B) + P(AB)  
⇒P(A-B) = P(A) - P(AB)  
A=AΩ = A(B+B ̅ ) = AB+AB ̅  
∴AB⊂B,AB ̅ ⊂B ̅  
所以AB,AB ̅ 互斥  
∴P(A) = P(AB) + P(AB ̅ )  
⇒P(AB ̅ ) = P(A) - P(AB)  
所以P(A-B) = P(AB ̅ ) = P(A) - P(AB)  
2,加法公式  
**(1)P(A+B)**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
**(2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+©-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)**  
**3.条件概率公式**  
![在这里插入图片描述][2019050117350996.png]  
**4.乘法公式**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 五、事件的独立性 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
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![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

## 全概率公式与Bayes公式 ##

(一)先备事件组  
设A1,A2,An,If  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
(二) 全 贝  
设A1,An为完备组  
B = ΩB = (A1+…+An)B = A1B+…AnB  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]  
所以P(B) = P(A1B)+…+P(AnB)  
1.全:P(B) = P(A1)P(B|A1)+…P(An)P(B|An)

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