数据结构--动态查找树表

我不是女神ヾ 2021-12-10 01:19 312阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  二叉排序树
 *   *  概念
     *  查找算法
     *  插入算法
     *  删除算法
     *   *  被删除的节点时叶子节点
         *  被删除的节点只有左子树或只有右子树
         *  被删除的结点既有左子树，也有右子树
     *  查找性能的分析
 *  平衡二叉树
 *   *  概念
     *  构造平衡二叉树的方法
     *  性能分析

# 二叉排序树 #

## 概念 ##

二叉排序树或者是一棵空树

或者是具有如下特性的二叉树：

1.  若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;
2.  若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值;
3.  它的左、右子树也都分别是二叉排序树。

例如下图不是二叉排序树：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70]

## 查找算法 ##

若二叉排序树为空，则查找不成功;

否则：

1.  若给定值等于根结点的关键字，则查找成功;
2.  若给定值小于根结点的关键字，则继续在左子树上进行查找;
3.  若给定值大于根结点的关键字，则继续在右子树上进行查找。

![å][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

从上述查找过程可见，在查找过程中，生成了一条查找路径:

从根结点出发，沿着左分支或右分支逐层向下直至关键字等于给定值的结点; ——查找成功

从根结点出发，沿着左分支或右分支逐层向下直至指针指向空树为止。——查找不成功

## 插入算法 ##

根据动态查找表的定义，“插入”操作在查找不成功时才进行

若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点;否则，新插入的结点必为一个新的叶子结点，其插入位置由查找过程得到。

## 删除算法 ##

和插入相反，删除在查找成功之后进行，并且要求在删除二叉排序树上某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。可分三种情况讨论:

1.  被删除的结点是叶子;
2.  被删除的结点只有左子树或者只有右子树;
3.  被删除的结点既有左子树，也有右子树。

### 被删除的节点时叶子节点 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

**被删关键字 = 20、88**。其双亲结点中相应指针域的值改为“空”

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

### 被删除的节点只有左子树或只有右子树 ###

![SA][]

被删关键字 = 40、80。其双亲结点的相应指针域的值改为 “指向被删除结点的左子树或右子树”。

### 被删除的结点既有左子树，也有右子树 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

被删关键字 = 50。以其前驱替代之，然后再删除该前驱结点

**所谓前驱，即是对二叉树进行中序遍历后的前驱。**

## 查找性能的分析 ##

对于每一棵特定的二叉排序树，均可按照平均查找长度的定义来求它的 ASL 值，显然，由值相同的 n 个关键字，构造所得的不同形态的各棵二叉排序树的平均查找长度的值不同，甚至可能差别很大。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

由关键字序列`3，1，2，5，4` 构造而得的二叉排序树 A S L = ( 1 + 2 + 3 + 2 + 3 ) / 5 = 2.2 ASL =(1+2+3+2+3)/ 5 = 2.2 ASL=(1\+2\+3\+2\+3)/5=2.2

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

# 平衡二叉树 #

## 概念 ##

平衡二叉树是二叉查找树的另一种形式，其特点为：树中每个结点的左、右子树深度之差的绝对值不大于 1 。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

## 构造平衡二叉树的方法 ##

在插入过程中，采用平衡旋转技术(LL、RR、LR、RL)。

例如：依次插入的关键字为 5, 4, 2, 8, 6, 9

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hqYzI1Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

## 性能分析 ##

在平衡树上进行查找的过程和二叉排序树相同，因此，查找过程中和给定值进行比较的关键字的个数不超过平衡树的深度。

因此，在平衡二叉树上进行查找时，查找过程中和给定值进行比较的关键字的个数和 l o g 2 ( n ) log\_2(n) log2(n)相当。

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