【数据结构——树表的查找（动态查找表）】

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-12-24 11:52 139阅读 0赞

# 【数据结构——树表的查找（动态查找表）】 #

### 目录 ###

*  【数据结构——树表的查找（动态查找表）】
 *  动态查找表（基于树的查找法）
 *   *  （一）二叉排序树
     *   *  1、定义
         *  2、查找算法
         *  3、插入算法
         *  4、创建算法
         *  5、删除算法
     *  （二）平衡二叉树
     *   *  1、平衡二叉树的定义
         *  2、如何构造平衡二叉树
         *  3、AVL的插入
     *  （三）B-树
     *   *  1、B-树的概念
         *  2、B-树的结点特点
         *  3、B-树的特点
         *  4、B-树的搜索算法

# 动态查找表（基于树的查找法） #

**当表插入、删除操作频繁时，为维护表的有序性，需要移动表中很多记录。  
改用动态查找表——几种特殊的树  
表结构在查找过程中动态生成。  
对于给定值：  
若表中存在，则返回成功；  
否则，插入关键字等于key的记录**

## （一）二叉排序树 ##

### 1、定义 ###

*二叉排序树又称二叉查找树*  
**定义：  
二叉排序树或者是一棵空树；或者是具有如下特性的二叉树：**  
![在这里插入图片描述][20201122102839883.png_pic_center]**实例——判断二叉排序树**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
**二叉排序树的存储结构：二叉链表表示**

//二叉排序树的存储结构
    typedef struct
    {
        
    	KeyType key;					//关键字项
    	InfoType otherinfo;				//其他数据项
    }ElemType;							//每个结点的数据域的类型
    
    typedef struct BSTNode
    {
         //结点结构
    	ElemType data;					//数据域
    	struct BSTNode* lchild, * rchild;	//左右孩子的指针
    }BSTNode,*BSTree;

### 2、查找算法 ###

**算法思想**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
**算法描述**

typedef struct BSTNode
    {
         //结点结构
    	ElemType data;					//数据域
    	struct BSTNode* lchild, * rchild;	//左右孩子的指针
    }BSTNode,*BSTree;
    
    BSTree SearchBST(BSTree T, KeyType key)
    {
        
    	//在指针T所指的二叉排序树中递归地查找某关键字等于key的数据元素
    	//若查找成功，则返回指向该数据元素结点的指针，否则返回空指针
    	if (!T || key == T->data.key)
    		return T;					//查找结束
    	else if (key < T->data.key)
    		return SearchBST(T->lchild,key);//在左子树中继续查找
    	else
    		return SearchBST(T->rchild,key);//在右子树中继续查找
    }

**二叉排序树的查找分析：**  
**（1）在二叉排序树上查找其他关键字等于给定值的结点的过程，恰是走了一条从根结点到该结点的路径的过程。  
比较的关键字次数=次结点所在的层次数  
最多比较次数=树的深度  
（2)但 二叉排序树平均查找长度和树的形态有关**

![在这里插入图片描述][20201122122558994.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

### 3、插入算法 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

typedef struct BSTNode
    {
         //结点结构
    	ElemType data;					//数据域
    	struct BSTNode* lchild, * rchild;	//左右孩子的指针
    }BSTNode, * BSTree;
    
    //二叉排序树的插入
    void InsertBST(BSTree& T, ElemType e)
    {
        //当二叉排序树T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，则插入该元素
    	if (!T)							//T为空树
    	{
         //找到插入位置，递归结束
    		BSTree S;
    		S = new BSTNode;			//生成新结点*S
    		S->data = e;				//新结点数据域置为e
    		S->lchild = S->rchild = NULL;//新结点*S作为叶子结点
    		T = S;						//把新结点*S链接到已找到的插入位置
    	}
    	else if (e.key < T->data.key)
    		InsertBST(T->lchild, e);	//将*S插入左子树
    	else if (e.key > T->data.key)
    		InsertBST(T->rchild, e);	//将*S插入右子树
    }

### 4、创建算法 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

typedef struct BSTNode
    {
         //结点结构
    	ElemType data;					//数据域
    	struct BSTNode* lchild, * rchild;	//左右孩子的指针
    }BSTNode, * BSTree;
    
    //创建
    void CreatBST(BSTree& T)
    {
         //依次读入一个关键字为key的结点，将此结点插入到二叉排序树T中
    	T = NULL;						//将二叉排序树T初始化为空树
    	cin >> e;
    	while (e.key != ENDFLAG)
    	{
         //ENDFLAG为自定义常量，作为输入结束标志
    		InsertBST(T, e);			//将此结点插入到二叉排序树T中
    		cin >> e;
    	}
    }

### 5、删除算法 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
**（1）被删除结点\*p为叶子结点**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]  
**（2）被删除结点\*p只有左子树或者只有右子树**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]  
**实例：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]  
**（3）被删除结点\*p既有左子树又有右子树**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]  
**实例**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]  
**例：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]

**算法描述：**

//在这里插入代码片

## （二）平衡二叉树 ##

### 1、平衡二叉树的定义 ###

**平衡二叉树又称AVL树**  
**一棵AVL树或者是空树，或者是具有下列性质的二叉排序树：  
（1）它的左子树和右子树都是AVL树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1  
(2)左子树和右子树也是AVL树**  
![在这里插入图片描述][2020112213174947.png_pic_center]  
**···每个结点附加一个数字，给出该结点的平衡因子BF:该结点的左子树深度和右子树深度之差。  
···AVL树任一结点平衡因子只能取-1，0，1**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]

### 2、如何构造平衡二叉树 ###

**如果在一棵AVL树中插入一个新结点，就有可能造成失衡，此时必须重新调整树的结构，使之恢复平衡**

**调整方法：找到离插入点最近且平衡因子绝对值超过1的祖先结点，以该结点为根的子树称为最小不平衡子树，可将重新平衡的范围局限于这棵子树。**

**平衡调整的四种类型**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 13]  
**LL型调整：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 14]  
![在这里插入图片描述][20201122133755850.png_pic_center]  
**RR型调整：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 15]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 16]  
**LR型调整：**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 17]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 18]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 19]  
**RL型调整：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 20]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 21]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 22]

### 3、AVL的插入 ###

![在这里插入图片描述][20201122134527306.png_pic_center]**实例：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 23]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 24]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 25]

## （三）B-树 ##

### 1、B-树的概念 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70]

### 2、B-树的结点特点 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

### 3、B-树的特点 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

### 4、B-树的搜索算法 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

[20201122102839883.png_pic_center]: /images/20221120/8e247c8e27d24837a0718db4f5aa251c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221120/665d0fc3065641868d33ee7a80ea14b8.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122104344961.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[20201122122558994.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122122558994.png#pic_center
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122122801128.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122124414285.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122125346745.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122125451498.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122125924351.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122130001809.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122130622722.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201122130652306.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020112213072523.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[2020112213174947.png_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020112213174947.png#pic_center
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