高等数学：极限与连续

偏执的太偏执、 2021-12-01 14:58 551阅读 0赞

**结构图**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 极限的定义： #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

ok，我们首先看到这个极限的式子，我们解读它的时候，实际上可以把他分为四个部分。

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首先我们给定一个尺度，这个尺度呢叫![\{\\color\{Red\}\\varepsilon \}][color_Red_varepsilon]，就是我们图上的这个东西，首先他要大于0，然后他是无限小的，要多小有多小，但是无论你这个尺度多么小，哪怕就是在0的旁边一丢丢，我还是能找到一个存在的数x，让函数f在x这一点的函数值，注意！是函数值，让这个函数值到A的距离呢，比你这个无限小的数还要小，但是要明确一点，我们说的这个东西，它实际上是一个过程，就是上面图上展示的，x到x0的这个过程。这实际上就是极限的精确定义了。理解起来就是图上的第一部分和第四部分。

那么第2，3部分又是描述的什么呢？很显然就是来说明这个自变量x的，描述这个x是如何在趋近于x0的这个过程的。

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我们都知道去心邻域的概念，通过上面这个图我们其实也可以直到，![\{\\color\{Red\} \\delta \}][color_Red_ _delta] 这个东西，其实也是一个尺度，表示x和x0的距离，在极限中取的其实就是一个附近的概念，把这个x限定在这个x0的附近中，就表示x始终是无限接近x0的。顺理成章，那么第三部分就是x到x0的距离。

那么整个极限的定义连起来理解就是，在x趋近于x0的这个过程中，不管你的这个尺度![\{\\color\{Red\} \\varepsilon \}][color_Red_ _varepsilon]有多么小，我一定可以在x0的附近找到一个x，让函数在x这一点的取值，也就是函数值，比你给的这个无限小的尺度![\{\\color\{Red\} \\varepsilon \}][color_Red_ _varepsilon]还要小。

**我们需要知道的一点常识：什么情况是极限不存在的情况！**

极限不存在一共有三种情况：

1.  无穷大，包括正无穷大和负无穷大都是的。千万记住，无穷小是有确定极限的，它的极限是0
2.  左右极限不相等，我们都知道极限是一个双侧的定义，如果左右极限不相等，这个明显是违背了极限的定义的
3.  震荡的情况，这个也很好理解，比如说sinx这个函数，它的曲线一会儿上一会儿下，是没有办法确定它的极限的。

# 函数的极限： #

## 函数极限的定义： ##

在函数的极限定义中实际上由24个极限的定义：

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通过这个表格的行列组合，我们就可以看到函数极限定义的全部情况，我们看到这个表格中一个是描述的x的变化趋势，一个描述的是函数值的变化趋势，实际上我们就可以套用上面极限的定义来说明这里的每一种情况。

我们首先来看，x趋于一个具体的值x0，趋于一个具体的值的时候，他是有双侧邻域的，也就是说它可以从左边趋近也可以从右边趋近。

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我们拆分一下，就是上面这个图，当x趋近x0的时候说明是从两边趋近x0，所以后面表示的到x0的距离要加上绝对值，而后面的从左趋近和从右趋近，很明显，从右趋近，拿肯定是比x0大嘛，所以就不用加上绝对值了。

ok，再来看一下x趋向于无穷大的情况。

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很明显，现在就不是一个具体的位置了，而是趋近于无穷，注意，正无穷和负无穷都是无穷。那么这里简单理解就是有一个无穷大的尺度，但是我能找到一个x，比你的无穷大还要大。

这就是我们函数定义中，自变量的6种情况。

下面看一下函数的4种趋向情况。

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那就是上面这四种情况，那就有疑问了，为什么A这里不分左右趋近呢？很显然不管你的x如何趋近，最后导致函数值的趋近始终是A，这个时候你对函数值再去区分就没有意义了，但是对于无穷大，正无穷和负无穷，他们的方向就是不一样的，这样的话就有很明显的区别了。所以这里是四种情况，无穷大的情况要拆分。

简单理解也一下。比如，当函数值趋近于无穷大的时候，那么我现在是任意的，随便取一个函数值都能比你这个无穷大还大。这就是我们函数值的趋近情况，其他的三种情况理解是类似的。

# 数列的极限： #

数列的极限，很愉快，它只有1个，这是由数列的性质决定的，因为数列的下标肯定是越来越大嘛，下标肯定是趋近于无穷大的，所以，我们后面说到数列的下标，那就是默认的下标趋近无穷大。而以后对于数列的极限，无穷大前面的+号可以不写，前面说了嘛，默认的正无穷。

![20190720220313580.png][]

标准定义呢就是上面图中的这句话了。

# 极限的三大性质： #

### **性质一：唯一性：** ###

如果一个f(x)的极限存在，那么这个极限必定是唯一的。简记为，极限若存在，结果必唯一。

这里插入一个重要的数学思想：“反证法”，当我们想要证明一个东西不成立的时候，可以考虑反证法的思想，因为想要证明一个东西不成立，是不是我们只要找到一种情况，使得这个东西不成立，那他就肯定不成立了嘛！对吧。这个思想是很重要的。

另外在极限计算的时候要注意一个点：那就是当极限趋近于某一个数的时候，他没有给出具体的是从左或者是从右趋近，那就说明是默认的从两边趋近，这个时候是左右有别的，两边都应该计算。无穷大同理的。比如下面这个题，就是这个道理。

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极限种的另外一个重要的思想：对于无穷大来讲，它是一个很大的数，超级大，大到没有办法想象，所有当一个无穷大加上或者减去一个数字，一般来讲对无穷大时没有影响的，因为他们的大小啊，已经不在一个层次上了，好比亿万富翁，少了一个块钱对他有影响嘛？就是这个道理，不过要注意一点了，如果是两个无穷大了，但是他们在数量级上有区分，比如一个是一次方，一个是二次方或者更高次方，那么这个时候他们的大小时可以区分的。

### **性质二：局部有界限** ###

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这一个性质一定呀注意区分局部这个概念，首先我们在性质一的基础上，如果一个极限存在，那必定是唯一的，这个没有问题，那么当极限存在的时候它也肯定在这个趋向过程中这个值是有边界的。注意这个边界一定是在局部的范围内，从上面这个图你可以理解为是x0这个点的去心邻域内，也就是说只有在x0的附近才满足这个性质，实际上，如果这是一个函数，那这个函数的两边很可能是无穷大，无穷小，或者是波动的，也就是没有边界的。所以这里的性质一定是局部的性质，时刻牢记局部这个概念。

**插入一个数学的重要思想：恒等变形思想**，对于我们平时的恒等变形，我们要学会自己给自己创造条件，一个数它加一个之后再减去一个数，乘以一个数后再除以一个数等等类似的操作，他的值实际上是没有改变的。这个就叫做没有条件创造条件。缺什么补什么，少什么添什么。

**记一个重要不等式：**

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这个公式记住了就行，以后直接拿过来用。

**记住一个讨论函数再指定区间有界的方法：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 8][]

ok,我们先看上面这个图说的什么，其实就两个东西，第一个，如果让求的是闭区间的连续性，那简单，就是证明在这个区间内函数是连续的，因为我们知道一点，在指定区间内，连续必有界，但是注意反过来，有界是不一定连续的。其次，如果是证明开区间的有界性，那就使用三段论，什么是三段论？我们看一下下面的图。

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比如现在是(a,b)的开区间对吧，记住我们的有界性性质，我么先算a点的右极限，a点的右极限是不是表示能取到a点右边的所有的点呀，那在a点的右邻域中，如果能证明到a点的极限存在，也就是a的右极限存在，那是不是就能够说明函数在a点的右邻域内是有界的呀，这个是性质哦，可以直接用的嘛。极限存在就有局部有界性！ok，那么同理，右边的点b也是相同的方法，如果b的左极限存在，那它肯定也是在左邻域内是有界的嘛，对吧，现在两边的领域都是有界的了，里面的点肯定都是能取到的。那开区间问题又变成了闭区间问题。是不是又是刚才的理论，证明函数连续则函数必有界呀。

### 局部保号性： ###

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ok，极限的局部保号性，注意看性质，这里说的也是局部的性质，局部保号性，是不是也说说的那个去心邻域内呀，那它的具体性质是什么？也就是说，如果一个极限它具体存在，首先它肯定是唯一的，那如果这个极限和0有明确的大小关系，就是说它大于0或者小于0，那么函数的值在这个趋近过程中它的正负性和极限是保持一致的，其实就是，极限如果大于0，那函数值也大于0，就是这个道理。

**小的注意点：**

我们注意，因为保号性涉及到和0的大小比较，所以很有可能会涉及到极值的讨论，凡是涉及到极值的讨论的，注意，一定是要双侧定义的，在这个点的两边看。

# 极限的计算： #

## 函数的极限： ##

### **7种未定式** ###

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注意理解这里的1和0，1不是真正的1，0不是真正的0，他们都是趋近于这个1和0，因为是极限嘛，时刻记得极限的定义和概念

### 关于7种未定式的计算方法汇总： ###

**第一组：**

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对于前面两种我们一般是采用常规的解题方法，比如洛必达法则，恒等变换，等价无穷小的替换等等。

对于第3种无穷大乘以无穷小，我们一般是把他化成前面两种形式，然后再用前面两种的解题方法进行计算。记住，我们在化成前面两种形式的时候要注意，一般是形成倒三角，也就是说，然复杂的部分在分子，简单部分在分母

**第二组：**

![20190808144905790.png][]

对于无穷大-无穷大的这种形式这样来解决：

第一种：有分母的先通分。

第二种：没有分母的，创造分母再同分

**第三组：**

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主要是对幂指函数的化简，然后回归到常规计算工具的使用上

### **计算工具之一——洛必达法则 ** ###

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实际上我们总结出来，洛必达法则是有两个前提条件的，什么呢？第一点，这两个函数的极限都是0或者无穷大，就是函数值趋近于0或者无穷大嘛。其次这两个函数的导数的极限的比值是存在的，有点绕哈，但是记住，这两个条件缺一不可！少一个洛必达法则就不能用。

一般来说注意拆分就行，实际上我们一般是把一个题目有上下结构的来看成两个函数而已，就像下面这个样子。

![20190721112446793.png][]

**记住一个小技巧**：无穷大量或者无穷小量乘以有界变量还是无穷大或者无穷小

ok，那么说了洛必达之后，什么时候使用洛必达呢？能不能用，用了再说，我们只有这样，如果使用的过程中出现了不能满足洛必达条件的情况，那就说名洛必达是失效了，在具体的这个问题里不能使用。

### **计算工具之二——常用的等价替换** ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 12][]

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这里记住一个原则，一般来讲加减法不要做等价替换，不是说全都不能，而是某一些这样换是错误的，所以为了避免错误，我们就这样共同的认为就行了

在这个常用的等价无穷小这里一定要注意，一般在题目这里，它是不会直接写成x的，他会广义化x，也就是这个x变成了一坨的式子，但是呢，这个式子具有这里x的性质，比如这里的x是趋近于0的对吧，那它广义化后就是这一坨式子是趋于0的。就像下面这样。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 14][]

**记住一个解题技巧：**

在极限的计算中，看见大坨坨的式子，先化简。看见根号差，先使用有理化化简式子，比如下面的这种式子

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**三大化简方法：**

1.恒等变形（有理化，提公因式，缺什么补什么，少什么添什么）

2.等价无穷小替换（见上面）注意x的广义化

3.及时提出极限不为零的因式

**无穷大乘以无穷小的解题技巧：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 15][]

我们这里看到，实际上也是把他们后面那两种形式。一种是无穷大比无穷大，另外一个是无穷小比无穷小。

**另外还要注意一个小细节**，能够帮助快速解题，当我们在使用洛必达法则的时候，如果式子要化简，那我们应该化成分子复杂分母简单的倒三角形模式，这样才能简化解题，千万不要化成分母复杂的正三角形类型，就像下面这个式子一样。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 16][]

**7种未定式之无穷大-无穷大的解题技巧：**

第一种情况：如果是式子中有分母，不用想其他花花肠子了，直接通分。

第二种情况：如果式子中没有分母，则没有分母创造分母，创造分母后再通分。**使用倒代换，令x=1/t**

有一个小技巧，在未定式的极限计算中，如果看到了一个式子-无穷大，那他一般就是无穷大-无穷大

**幂指函数：**

![20190723165009731.png][]

形如这个样子，底数是一个函数，指数也是一个函数的这种函数，我们叫做幂指函数。那么以后凡是遇到幂指函数，都要写成后面的这种形式。

**需要记住的常用的好朋友：**

根号下1+x的平方分之一的积分，就是后面这个，记下来，到时候直接用就行了

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同样的再记一个

![\\ln (x+\\sqrt\{1+x^\{2\}\})][ln _x_sqrt_1_x_2]求导就是![\\frac\{1\}\{\\sqrt\{x^\{2\}+1\}\}][frac_1_sqrt_x_2_1]

**关于七种未定式之1的无穷大次方解题技巧：**

以后凡是看到这种形式，直接化简如下。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 18][]

以上就是函数极限的七种未定式，也就是常规极限计算问题。

# 泰勒公式： #

核心论断：任何可导函数都能写成幂函数的叠加

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 19][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 20][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 21][]

泰勒公式是微积分的支柱性观点。

一般是拷到3次方或者4次方，最多4次方

**使用泰勒公式计算的技巧**：

第一种：如果见到![\\large \\frac\{A\}\{B\}][large _frac_A_B]型式子，使用上下同阶原则，什么意思呢？就是说如果分子或者分母是![\\large x^\{k\}][large x_k],那么分母或者分子就使用泰勒公式展开至![\\large x^\{k\}][large x_k]为止。

第二种：如果见到A-B型的式子，使用幂次最低原则，将A，B分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止。

**关于抽象函数的解题技巧：**

我们碰到抽象函数的时候需要求它的极限，往往有这样一个思路，因为抽象函数是抽象的，我们无法知道它到底怎么求，所以我们往往是把抽象函数给消去掉，怎么消去，就使用我们前面说的恒等变形等方法

# 数列极限的计算： #

我们一般会遇到三种情况的数列极限计算：

## 第一种： ##

如果数列![\\large a\_\{n\}][large a_n]易于连续化，就是很容易的能看出来像一个函数，那就可以直接使用上面我们说的函数的极限求解的方法计算。

## 第二种： ##

如果数列![\\large a\_\{n\}][large a_n]不易于连续化，那么就是使用“夹逼准则”，两头堵，将他的极限逼出来。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 22][]

如图，一般是两个大步骤，首先是这个![\\large a\_\{n\}][large a_n]被夹在另外两个数列之间，其次是夹住![\\large a\_\{n\}][large a_n]数列的这两个数列的极限是相等的。

有一个小技巧，当碰见一个式子的时候，如果它的分母分子都在变化，那么请记住一个原则，只能动分母，不要动分子，为什么？因为方便确定大小，这是第一点，其次是，如果把分母化成一样的，分子就可以直接相加。

**记住一个小技巧：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 23][]

当碰见这种式子的时候，它的极限就是最高次项的系数比。

**再来一个小技巧：**

很多时候我们要学会抓住题目天生的条件，就是这种隐蔽的条件，这个是题目没有明确告诉的，但是它也确实是客观存在的。比如某一些函数是有天生的有界性的。比如有一些三角函数，sinx、cosx等

## 第三种： ##

如果数列![\\large a\_\{n\}][large a_n]是由递推式子给出的![20190724104231282.png][]，那么使用“单调有界准则”。递推式是什么意思呢？就是说这个数列的前一项和后一项是有函数关系的。

给出一个数列，如果数列是单调增有上界，或者是单调减有下界，那么数列的极限是一定存在的。

所以这个时候一般分为两个步骤，第一步：证明单调性，第二步：证明有界性。

证明单调性呢，我们一般可以用数学归纳法，第一步：证明n=1的时候成立，第二步：假设n-1的时候成立，第三步：证明n的时候也成立。

# 极限的应用——连续与间断 #

我们这里研究两种点:

1.分段函数的分段点（可能间断）

2.无定义点（必然间断）

我们现在这个阶段除了这两种点，其他的点一定都是连续的。

## 连续的定义： ##

![20190724110957746.png][]

我们这里要注意到，实际上也是要这个点的左右极限都存在，才能说明这个点的是连续的。

## 间断的定义： ##

记住一点，间断其实就是连续的对立事件，什么意思呢？就是说凡是不连续的点就是间断点。另外讨论这个点是否是间断的，那么这个函数再这个点的去心领域内是必须要有定义的，因为它是一个双侧概念。只有一端的情况是没有办法讨论的。

我们都知道如果一个点它要连续，那么他要满足三个条件，左极限存在，右极限存在，且左右极限的值以及这一点的函数值要相等，根据下图的定义，我们把间断点分为这几种，

**间断点的分类：**

如果这个点的双侧极限是存在的，但是不相等，那么这个点是跳跃间断点。如果这个点的双侧极限存在，但是和这个点的函数值不等，那么我们叫可去间断点。上面的两种情况是第一类间断点。

如果这个点的左右极限都不存在（现在我们只讨论这一种情况嘛，实际上他有多种情况），那么这个极限要是趋于无穷大，那么叫无穷间断点，如果是震荡的，叫震荡间断点。

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