正弦、余弦和正切

傷城~ 2021-11-05 12:48 692阅读 0赞

[https://www.shuxuele.com/sine-cosine-tangent.html][https_www.shuxuele.com_sine-cosine-tangent.html]

## 直角三角形 ##

正弦、余弦和正切是 [三角法][Link 1] 里的主要函数，它们是基于一个 [直角三角形][Link 2]而建立的。

在探索这些函数之前，我们先给三角形的每条边一个名字：

![三角形显示对边、邻边和斜边][adjacent-opposite-hypotenuse.svg]

*  "对边" 是在角 θ 的对面
 *  "邻边" 是在角 θ 的旁边
 *  "斜边" 是长的一边

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> <p><img src="https://www.shuxuele.com/algebra/images/adjacent-opposite-hypotenuse.svg" alt="对边、邻边和斜边例子"></p> <p><strong>邻边</strong>&nbsp;是在角的旁边</p> <p><strong>对边</strong>&nbsp;是在角的对面</p> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 正弦、余弦和正切 ##

**正弦 （sine）**, **余弦 （cosine）** 和 **正切 （tangent）** （英语符号简写为 **sin**, **cos** 和 **tan**) 是 直角三角形 **边长的比**：

![正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边][sin-cos-tan.svg]

对一个特定的角 ***θ*** 来说，不论三角形的大小，   
这三个比是不变的

计算方法：

**用一条边的长度除以另一条边的长度**

### 例子： 35°的正弦是多少？ ###

![边长为 2.8、4.0和4.9  的三角形][2.8_4.0_4.9]

用这三角形来算 （长度精确到一位小数）：

![计算器-sin-cos-tan][-sin-cos-tan]

好的计算器都会有 sin, cos 和 tan 的键，方便计算。你只需输入角度然后按键。

可是你还是要记得它们的意思！

用图来显示：

![正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边 个别图解][_ _]

### 在这里练习 ###

## Sohcahtoa ##

怎样去记住？ 想想，用这个怪怪的英文单词 **"Sohcahtoa"**！

像这样：

<table style="width:379px;"> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> 
    <div> 
     <strong><em>Soh...</em></strong> 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div> 
     <strong>S</strong>ine =&nbsp; 
     <strong>O</strong>pposite （对边） /&nbsp; 
     <strong>H</strong>ypotenuse （斜边） 
    </div> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td> 
    <div> 
     <strong><em>...cah...</em></strong> 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div> 
     <strong>C</strong>osine =&nbsp; 
     <strong>A</strong>djacent （邻边） /&nbsp; 
     <strong>H</strong>ypotenuse （斜边） 
    </div> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td> 
    <div> 
     <strong><em>...toa</em></strong> 
    </div> </td> 
   <td> 
    <div> 
     <strong>T</strong>angent =&nbsp; 
     <strong>O</strong>pposite （对边） /&nbsp; 
     <strong>A</strong>djacent （邻边） 
    </div> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

去这页 [sohcahtoa][] 了解更多。。。。。。 记住它，考试时会有用！

## 试试看！ ##

试 试 看！ 移动鼠标，不同的角（以[弧度][Link 3]或[度数][Link 4]为单位）对 正弦、余弦和正切的影响。

在这个动画里，斜边是 1，圆形是 [单位圆][Link 5]。

请注意邻边和对边可以是负值，导致正弦、余弦和正切的值也可正可负。

## 例子 ##

### 例子： 30° 的正弦、余弦和正切是什么？ ###

传统的 30° 三角形的 斜边为 2、对边为 1 和邻边为 √3:

![30 degree triangle][]

知道边长，便可以计算函数的值：

（用计算器来检查答案！）

### 例子： 45° 的正弦、余弦和正切是什么？ ###

传统的 45° 三角形有两条边长为 1，斜边为 √2:

![45 度三角形][45]

## 为什么？ ##

为什么这些函数重要？

*  因为当我们知道边长时，我们可以用它们来计算角度
 *  同时，当我们知道角度时，我们也可以用它们来计算边长

![三角例子][trig-2example2.gif]

### 例子： 用 **正弦函数** 来计算 **"d"** ###

我们知道：

*  电缆与海底成 **39° 的角**
 *  电缆长度为 **30 米**。

我们求 "d" （垂直向下距离）。

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td align="right">这样开始：</td> 
   <td>&nbsp;</td> 
   <td>sin 39° = 对边/斜边</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="right">&nbsp;</td> 
   <td>&nbsp;</td> 
   <td>sin 39° = d/30</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="right">两边互换：</td> 
   <td>&nbsp;</td> 
   <td>d/30 = sin 39°</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="right">用计算器来求 sin 39°:</td> 
   <td>&nbsp;</td> 
   <td>d/30 =&nbsp;<span>0.6293…</span></td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="right">两边乘以 30：</td> 
   <td>&nbsp;</td> 
   <td>d = 0.6293… x 30</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td align="right">&nbsp;</td> 
   <td>&nbsp;</td> 
   <td>d =&nbsp;<strong>18.88</strong>&nbsp;计算结果保留两位小数。</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

深度 "d" 是 **18.88 m**

## 习题 ##

试试这个 [纸上习题][Link 6]。计算 从 0° 到 360° 所有角的正弦，然后画个图表。这会帮助你了解这个相当简单的函数。

你也可以去 [正弦、余弦和正切的图形][Link 7]看看。

## 不常见的函数 ##

还有三个函数也是把一边除以另一边，不过我们不常用它们。

它们等于 **1 除以 余弦**、**1 除以 正弦** 和 **1 除以 正切**：

转载于:https://www.cnblogs.com/kakaisgood/p/11224427.html

[https_www.shuxuele.com_sine-cosine-tangent.html]: https://www.shuxuele.com/sine-cosine-tangent.html
[Link 1]: https://www.shuxuele.com/algebra/trigonometry-index.html
[Link 2]: https://www.shuxuele.com/right_angle_triangle.html
[adjacent-opposite-hypotenuse.svg]: https://www.shuxuele.com/algebra/images/adjacent-opposite-hypotenuse.svg
[sin-cos-tan.svg]: https://www.shuxuele.com/algebra/images/sin-cos-tan.svg
[2.8_4.0_4.9]: https://www.shuxuele.com/geometry/images/triangle-28-40-49.gif
[-sin-cos-tan]: https://www.shuxuele.com/algebra/images/calculator-sin-cos-tan.jpg
[_ _]: https://www.shuxuele.com/algebra/images/trig-sin-cos-tan-divide.svg
[sohcahtoa]: https://www.shuxuele.com/algebra/sohcahtoa.html
[Link 3]: https://www.shuxuele.com/geometry/radians.html
[Link 4]: https://www.shuxuele.com/geometry/degrees.html
[Link 5]: https://www.shuxuele.com/geometry/unit-circle.html
[30 degree triangle]: https://www.shuxuele.com/images/triangle-30.gif
[45]: https://www.shuxuele.com/images/triangle-45.gif
[trig-2example2.gif]: https://www.shuxuele.com/algebra/images/trig-2example2.gif
[Link 6]: https://www.shuxuele.com/sine-graph-exercise.html
[Link 7]: https://www.shuxuele.com/algebra/trig-sin-cos-tan-graphs.html