IT数学逻辑之正余弦定理指正弦定理和余弦定理
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理概述
正弦定理 [1] (Sine theorem)
(1)已知三角形的两角与一边，解三角形
(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 [1]
证明
步骤1
在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
图1正弦同理，在△ABC中，
步骤2.
证明
如图1，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度
因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C.
所以
类似可证其余两个等式。
余弦定理解三角形
余弦定理对解三角形是非常有用的：
这定理适用于任何三角形：
| a、b 和 c 是三角形的边。 C 边 c 的对角 |
我们举个例来看看：
例子：”c” 的长度是多少？
#
已知： C = 37º、a = 8 和 b = 11
余弦定理说： | c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) | |
代入已知值： | c2 = 82 + 112 − 2 × 8 × 11 × cos(37º) | |
计算： | c2 = 64 + 121 − 176 × 0.798… | |
计算： | c2 = 44.44… | |
开平方： | c = √44.44 = 6.67 保留两位小数 |
答案：c = 6.67
怎样记
怎样去记这公式呢？
公式其实是在 勾股定理 上多加一点，使其适用于所有的三角形：
勾股定理： | a2 + b2 = c2 | (只适用于直角三角形) | ||
余弦定理: | a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2 | (适用于所有三角形) |
这样记：
- 想英语字母 “abc“：a2 + b2 = c2,
- 再来一个 “abc“： 2ab cos(C),
- 放在一起：a2 + b2 − 2ab cos(C) = c2
什么时候用
在以下的情形，我们可以用余弦定理：
- 已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边(像上面的例子)
- 已知三角形的三边，求其角度(如以下的例子)
例子：角 “C” 是多大？
长度为 “8” 的边的对角是 C，所以这边是 c。另外两条边是 a 和 b。
把已知值代入余弦定理：:
开始： | c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) | |
代入 a、b 和 c： | 82 = 92 + 52 − 2 × 9 × 5 × cos(C) | |
Calculate: | 64 = 81 + 25 − 90 × cos(C) | |
重排及解: | ||
每边减 25： | 39 = 81 − 90 × cos(C) | |
每边减 81： | −42 = −90 × cos(C) | |
两边对调： | −90 × cos(C) = −42 | |
除以 −90： | cos(C) = 42/90 | |
取逆余弦： | C = cos-1(42/90) | |
用计算器： | C = 62.2° (保留一位小数) | |
其他形式
求角度的简易形式
上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做，但其实用 “直接” 公式会比较简单(公式只不过是重排这公式： c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) )。公式可以有三个形式：
cos(C) = a2 + b2 − c2**2ab**
cos(A) = b2 + c2 − a2**2bc**
cos(B) = c2 + a2 − b2**2ca**
例子：用余弦定理(角度形式)来求角 “C”
已知三边：
- a = 8,
- b = 6 和
- c = 7。
用余弦定理(角度形式)来求角 C：
cos C | = (a2 + b2 − c2)/2ab |
= (82 + 62 − 72)/2×8×6 | |
= (64 + 36 − 49)/96 | |
= 51/96 | |
= 0.53125 | |
C | = cos-1(0.53125) |
= 57.9° 保留一位小数 |
a、b 和 c 的形式
你也可以重写 c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C) 公式为 “a2=” and “b2=” 的形式。
以下是这三个形式：
但最容易是记着 “c2=” 的形式，然后在应用时用不同的字母！
如下：
例子：求长度 “z”
字母不同！没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c
开始： | c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C) | |
x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c | z2 = x2 + y2 − 2xy cos(Z) | |
代入已知值： | z2 = 9.42 + 6.52 − 2×9.4×6.5×cos(131º) | |
计算： | z2 = 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656…) | |
z2 = 130.61 + 80.17…… | ||
z2 = 210.78…… | ||
z = √210.78…… = 14.5 保留一位小数。 |
答案：z = 14.5
我就是我
野性酷女
不念不忘少年蓝@
r囧r小猫
傷城~
分手后的思念是犯贱
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