为什么债券要选择凸度大的？

左手的ㄟ右手 2021-06-10 20:40 428阅读 0赞

https://www.zhihu.com/question/39067143/answer/156373815

大家已经知道了债券的久期是什么，也知道了怎样根据债券利率的变化，求债券价格的变动幅度，久期就像是一个弹性系数，债券利率变化的越多，其价格也就变化的越多，然而这种变化并不是线性相关的，所以，我们还需要再介绍一个概念，那就是凸度（convexity）的概念。

我们看下面这张图：

![v2-e1926084701c3c6c474059a48c86bd99_hd.jpg_source_1940ef5c][] ![v2-e1926084701c3c6c474059a48c86bd99_1440w.jpg_source_1940ef5c][]

横坐标是债券的利率，纵坐标是债券的价格，初始价格为P0；

当利率从r0上涨到r2时，债券价格从P0下跌到P2；

当利率从r0下跌到r1时，债券价格从P0上涨到P1；

利率从r0波动到r1和r2的幅度都是一样的：

r2-r0=r0-r1；

然而价格波动的幅度却不一样：

（P1-P0）>（P0-P2）；

**利率下跌带来价格上涨的幅度>利率上涨带来价格下跌的幅度；**

如果债券价格和利率呈线性相关关系，那么无论利率上涨还是下跌，同一利率变化带来价格的波动幅度都是一样的，正是因为有凸度的影响，所以波动幅度才会不一样。

**凸度，你可以理解为债券—利率曲线凸向原点的程度，久期是债券价格函数的一阶导数，那么凸度就是债券价格函数的二阶倒数，久期的斜率为负，所以是负值；凸度是对斜率求导，斜率并没有发生方向性变化，所以二阶导数凸度为正。**

我们以P0为初始价格，r0为初始利率，r1为变化后的利率，P1为变化后的价格，那么有如下计算关系式：

P1-P0=久期\*（r1-r0）+0.5\*凸度\*（r1-r0）（r1-r0）；

以上就是加入凸度后，债券价格变动的计算公式；

这个公式是泰勒公式展开前两项得到的，泰勒公式看起来有点复杂，我们通过别的方式来解释这个公式。

上高中的时候，我们都学过速度—位移公式，我们知道有瞬时速度、期初速度、加速度、期末速度，这些计算公式我们烂熟于心：

期末速度=期初速度+加速度\*时间；

路程=期初速度\*时间+0.5\*加速度\*时间的平方；

我们来看看路程—时间的函数关系图：

![v2-1e84d2e97a2ee3d9d4b40d70d84ad572_hd.jpg_source_1940ef5c][] ![v2-1e84d2e97a2ee3d9d4b40d70d84ad572_1440w.jpg_source_1940ef5c][]

随着时间t增加，路程S增加的越来越快，在蓝色直线与红色曲线的切点，就是瞬时速度。

接着，我们再来看看速度—时间的函数关系图：

![v2-4518e9c0a8376ed66dc662d23311328d_hd.jpg_source_1940ef5c][] ![v2-4518e9c0a8376ed66dc662d23311328d_1440w.jpg_source_1940ef5c][]

V0是初始速度，V1是期末速度，经过了时间t，我们需要计算在这段时间内的路程：

那么，我们需要把面积一和面积二的数值加起来：

面积一是个矩形，面积为长\*宽：V0\*t；

面积二是个三角形。面积为0.5\*底\*高：0.5\*t\*（V1-V0）；

期末速度=期初速度+加速度\*时间；

期末速度-期初速度=加速度\*时间；

V1-V0=a\*t;

那么，0.5\*t\*（V1-V0）=0.5\*a\*t\*t；

总面积=面积一+面积二=V0\*t+0.5\*a\*t\*t；

这就是我们高中学过的在有加速度情况下的路程计算公式。

债券价格的计算与其类似，并且都有一一对应关系：

期初价格——期初路程；

期末价格——期末路程；

变动利率——间隔时间；

久期——期初速度；

凸度——加速度；

路程计算公式：

（期末路程-期初路程）=期初速度\*间隔时间+0.5\*加速度\*间隔时间的平方；

（S1-S0）=V0\*（t1-t0）+0.5\*a\*（t1-t0）\*（t1-t0）；

债券价格计算公式：

（期末价格-期初价格）=久期\*变动利率+0.5\*凸度\*变动利率的平方；

（P1-P0）=duration\*(r1-r0)+0.5\*convexity\*(r1-r0)\*(r1-r0)；

我们同样可以画出债券价格—利率的函数关系图：

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随着利率上涨，久期变得越来越大，由于久期是负数，所以久期的绝对值越来越小，实际上，这就相当于是路程函数里，加速度对期初速度的相反关系，也就是做减速运动。

路程函数里，初速度和加速度都为正，那么是做匀加速运动，如果正负号相反，那么是做匀减速运动。

债券价格函数里，久期为负，凸度为正，那么是起到了一种缓冲作用。

如果该债券没有凸度，那么久期就为一个恒定值d2，债券价格的变动就是面积一：

价格变动=久期\*变动利率；

如果该债券有凸度，当利率上涨时，其价格下跌的更慢，如下图：

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那么当利率上涨时，该债券价格变动的幅度小于无凸度的时候，所以要用面积二减去面积一，得出来的是一个负值，也就是当利率上涨时，债券价格下跌的幅度：

价格变动=久期\*变动利率+0.5\*凸度\*变动利率的平方；

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所以对于投资者来说，购买一个凸度大的债券是有两种好处的；

当利率上涨时，债券价格会下跌，但由于凸度比较大，所以价格跌的会比较少；

当利率下跌时，债券价格会上涨，并且由于凸度比较大，所以价格长的会更多；

以上就是对债券凸度的介绍，希望能为大家的理解提供一点帮助。

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