数学建模——管住嘴迈开腿——python实现

淩亂°似流年 2024-05-07 17:06 24阅读 0赞

![3d48084f40d8acc5ef154cf1c8ba4c34.png][]

### 喂喂喂，该减减肥啦！ ###

### 来制定你的减肥计划吧！ ###

###  ###

### 模型假设 ###

(1）体重增加正比于吸收的热量, 平均8000kcal 增加体重1kg.

(2）代谢引起的体重减少正比于体重, 每周每千克 体重消耗200 ~ 320kcal (因人而异).70kg每天消耗2000 ~ 3200kcal.

(3）运动引起的体重减少正比于体重, 且与运动 形式和运动时间有关.

(4）为了安全与健康, 每周吸收热量≥10000kcal,且每周 减少量≤1000kcal; 每周体重减少量≤ 1.5kg.

**食物每百克所含热量**

**运动每小时每千克体重消耗热量**

### **基本模型** ###

w(k)~第k周(初)体重 (kg) , k=1,2,…

c(k) ~第k周吸收热量 (kcal)

![\\alpha][alpha]~热量转换系数 平均8000kcal增加体重1kg ![\\alpha][alpha]=1/8000(kg/kcal)

![d12d65da3f1d43ac8f2a98ba7a738357.png][]

### **一、减肥计划的提出** ###

阿数身高1.70m, 体重100kg, BMI高达34.6. 目前每周吸收20000kcal热量,体重长期未变.

制订减肥计划使体重减至75kg(BMI=26)并维持下去.

1. 在正常代谢情况下安排一个两阶段计划:

第一阶段：吸收热量每周减少1000kcal, 直至达到 安全下限10000 kcal/周；

第二阶段：每周吸收热量保持下限, 达到减肥目标 .

2. 为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划.

3. 给出达到目标后维持体重不变的方案.

###    **二.模型建立与解决** ###

模型建立 由书可得基本模型如下：

由假设一，? =1/8000??/????。减肥计划的提出 通过制定一个具体的减肥计划讨论模型(1)的应用。某人身高1.70 ?，体重100 ??，???高达34.6。自述目前每周吸收20000 ????热量，体重长期未变。试为他按照以下方式制订减肥计划，使其体  
重减至75 ??(即??? = 26)并维持下去：  
1)在正常代谢情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：吸收热量由20000 ???? 每周减少1000 ????，直至达到安全下限(每周10000 ????)；第二阶段：每周吸收热量保持下限，直至达到减肥目标。  
2)为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划。  
3)给出达到目标后维持体重不变的方案。  
减肥计划的制订 首先应确定某人的代谢消耗系数?，根据他每周吸收? =20000 ????热量，体重? = 100 ??不变，在(1)式中令?( ? + 1 ) = ?(?) =?，?(ℎ) = ?，得

![20210703223748571.png][]

于是

![20210703223809186.png][]

相当于每周每千克体重消耗热量20000/100= 200 ????。从假设 2 可以知道，某人属于正常代谢消耗相当弱的人。他又吃得那么多，难怪如此之胖。

正常代谢情况下的两阶段计划。第一阶段要求吸收热量由20000 ????每周减少1000 ????(由表 2，如每周减少米饭和瘦肉各350 ?)，达到下限???? = 10000 ????，即第十周达到下限

![20210703223831786.png][]

将?(?)及? =1/8000，? = 0.025代入(1)式，可得

![å¨è¿éæå¥å¾çæè¿°][20210703223859316.png]

(4)式虽是一阶线性常系数差分方程，但因右端含有时间变量?，不能直接应用基础知识6 − 1的求解公式。更方便的办法是，以?(1) = 100 ??为初始值，按照(4)式编程计算，可得第11周(初)体重?(11) = 90 ??。第二阶段要求每周吸收热量保持下限????，由(1)式可得

![å¨è¿éæå¥å¾çæè¿°][20210703223924485.png]

以第一阶段的终值?(11)为第二阶段的初值，按照(5)式编程计算，直至?(11 + ?) ≤ 75 ??为止，可得?(11 + 19) ≤ 75??，即每周吸收热量保持下限10 000 ????，再有29周体重可减至75 ??。两阶段共需39周。  
为加快进程而增加运动。记表3中热量消耗为?，每周运动时间为? ℎ，在(1)式中将?改为? + ???，即

![å¨è¿éæå¥å¾çæè¿°][20210703224234318.png]

类似的计算可得，?(11) = 90 ??, ?( 11 + 13) = 74.196??，即若增加??? =0.005的运动，就可将第二阶段的时间缩短为13周。由? =1/8000可知，增加的运动内容应满足?? = 40，可从表中选择合适的运动形式和时间，如每周步行7 ℎ加乒乓4 ℎ。两阶段共需23周，增加运动的效果非常明显。将正常代谢和增加运动两种情况下的体重?(?)作图。

![597eeb59c5f242c98a96ef762667b21b.png][]

由(9)式，在正常代谢下(? = 0)可算出? = 15000 ????；若增加?? = 40的运动，则? = 18000 ????。实际上，如果在减肥计划的开始，就让某人每周吸收热量由20000 ????直接减至? = 15000 ????，那么他的体重也将逐渐下降，很长时间以后(理论上是无穷长)才会降到75 ??。而若每周吸收热量减至14000 ????，13000 ????，12 000 ????，体重下降速度将加快，直接按照(1)式计算，得到的曲线

### **三、改变计划** ###

如果例子中的阿数只想在一个月内瘦十斤，那么他应该如何制定减肥计划？

1.确定采用哪一阶段的减肥计划。

2.给出每周应该摄入的热量，以及运动的方式和时间。

按一个月分为四周来算，即d(4,95)

由python画出画出点d的位置，可以看到在正常的代谢减肥计划中是不可能实现的，则我们选择增加运动，且我们要重新制定减肥计划

![d639d20817c34397a43f1cffa7717c16.png][]

2、重新制定减肥计划

改变![\\beta +\\alpha \\gamma t][beta _alpha _gamma t]的值即运动量和运动时间即可

这里我们主要确定 ![\\beta +\\alpha \\gamma t][beta _alpha _gamma t]中的![\\gamma t][gamma t]

这里我运用python来求解（代码在后）

运用估计的方法来求（大取小，小取大，如下图）

![1 - \\beta +\\alpha \\gamma t][1 - _beta _alpha _gamma t]估计值=0.965

则![\\beta +\\alpha \\gamma t][beta _alpha _gamma t]*=0.035*则*![\\alpha \\gamma t][alpha _gamma t]=**0.01* *且![\\alpha][alpha]**=**1/8000*

则![\\gamma t][gamma t]*=80*

![212dd44726da4e5983a45506e56ce29f.png][]

使用第一阶段

给出每周应该摄入的热量，以及运动的方式和时间。

第一阶段每周减1000kcal

则下降4周，则20000 – 4\*1000 = 16000

第一周

19000

第二周

18000

第三周

17000

第四周

16000

![e819f1e5c0c2489f9fa8f5c736788922.png][]

*取*![\\gamma t][gamma t]*=80*

比如：每周跑步10h加步行3h

比如：每周步行，乒乓各10h

检验 “每周体重减少量<=1.5kg”

![38c053e458a441618846a7c3880e3955.png][]

我们发现这样安排减肥，是合理的，也是有效的

代码：

画出正常代谢和增加运动与计划点的差别

import matplotlib.pyplot as plt
    w=100
    W=[100]
    K=[0]
    
    for k in range(1, 11):
        w= w * 0.975 + 2.5 - 0.125 * k
        W.append(w)
        K.append(k)
    
    for k in range(11, 36):
        w = w * 0.975 + 1.25
        W.append(w)
        K.append(k)
    
    Wi=[100]
    Ki=[0]
    w=100
    for k in range(1, 11):
        w= w * 0.97 + 2.5 - 0.125 * k
        Wi.append(w)
        Ki.append(k)
    
    for k in range(11, 36):
        w = w * 0.97 + 1.25
        Wi.append(w)
        Ki.append(k)
    
    
    
    #画图
    plt.plot(K,W,label='正常代谢')
    plt.plot(Ki,Wi,label='增加运动')
    plt.scatter(4,95,s=60,color='g')
    
    plt.legend()
    
    #标签
    plt.title('管住嘴迈开腿', fontsize=24)
    plt.xlabel("k/周", fontsize=14)
    plt.ylabel("w/kg", fontsize=14) # 设置刻度标记的大小
    
    # 设置刻度标记的大小
    plt.tick_params(axis='both', labelsize=14)
    
    # 用黑体显示中文
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.show()

制定新计划的减肥图：

先标记目标点，然后不断改变![1 - \\beta +\\alpha \\gamma t][1 - _beta _alpha _gamma t]的值，直到经过标记点即可。计算出![\\gamma t][gamma t]的值

根据表来制定训练计划。

import matplotlib.pyplot as plt
    Wi=[100]
    Ii=[0]
    w=100
    p=[]
    
    for i in range(1,5):
        w=w*0.965+2.5-0.125*i
        Wi.append(w)
        Ii.append(i)
        T=Wi[i-1]-Wi[i]
        p.append(T)
        print("第%d周,减了%f kg,体重%f kg"%(i,T,w))
    
    print("四周总共减了：",p[0]+p[1]+p[2]+p[3],'kg')
    #print(Wi)
    # 画图
    plt.plot(Ii,Wi)
    plt.scatter(4,95,s=60,color='g')
    #标签
    plt.title('管住嘴迈开腿', fontsize=24)
    plt.xlabel("k/周", fontsize=14)
    plt.ylabel("w/kg", fontsize=14) # 设置刻度标记的大小
    
    # 设置刻度标记的大小
    plt.tick_params(axis='both', labelsize=14)
    
    # 用黑体显示中文
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.show()

输出结果

![38c053e458a441618846a7c3880e3955.png][]

[3d48084f40d8acc5ef154cf1c8ba4c34.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/ef05667668e34e8f8255e3e6c61b0108.png
[alpha]: https://latex.csdn.net/eq?%5Calpha
[d12d65da3f1d43ac8f2a98ba7a738357.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/58e8affabeac4e8cb4ed9e6afed7f360.png
[20210703223748571.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/56109d73771e4e26ab0776e2cdcddd39.png
[20210703223809186.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/71d79e148db24c6582cf236f23626944.png
[20210703223831786.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/81ec7f6600c34870b9ebb6b4371f3d2c.png
[20210703223859316.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/fa977a3f8f994c4996eaa9000640907e.png
[20210703223924485.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/cf0850f5e0284d24b7773dac2ea549de.png
[20210703224234318.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/510c18f88ff34b1ca8c3136b497e9ddc.png
[597eeb59c5f242c98a96ef762667b21b.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/d56aebd89ed44f19a2110cd92e5a3e35.png
[d639d20817c34397a43f1cffa7717c16.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/c82595a244f14c559c1070a51fb480bc.png
[beta _alpha _gamma t]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cbeta%20&plus;%5Calpha%20%5Cgamma%20t
[gamma t]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cgamma%20t
[1 - _beta _alpha _gamma t]: https://latex.csdn.net/eq?1%20-%20%5Cbeta%20&plus;%5Calpha%20%5Cgamma%20t
[alpha _gamma t]: https://latex.csdn.net/eq?%5Calpha%20%5Cgamma%20t
[212dd44726da4e5983a45506e56ce29f.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/e83645d11bb04542aee8a39bba65e58d.png
[e819f1e5c0c2489f9fa8f5c736788922.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/c577ab2243f0427bbec9328fa17a6a64.png
[38c053e458a441618846a7c3880e3955.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/05/07/fe22d8f4f73f49ff8a645d4603d054c9.png