【algorithm】认真讲解前缀和与差分 (图文搭配)

Myth丶恋晨 2024-04-24 23:19 5阅读 0赞

> 🚀write in front🚀  
> 📝个人主页：[认真写博客的夏目浅石.][.]  
> 📣系列专栏：[AcWing算法笔记][AcWing]

**今天的月色好美**  
![在这里插入图片描述][76465759893845d388f85f33da89cbd4.jpeg]

#### 文章目录 ####

*  前言
 *  一、前缀和算法
 *   *  1.1 什么是前缀和？
     *  1.2 一维前缀和
 *  二、二维前缀和
 *  三、一维差分
 *  四、二维差分
 *  总结

--------------------

## 前言 ##

这里介绍以下前缀和算法以及差分算法，用来梳理自己所学到的算法知识。

--------------------

## 一、前缀和算法 ##

### 1.1 什么是前缀和？ ###

> 从我的理解角度来讲：前缀和就是高中数学当中的数列的求和Sn，差分就是前缀和的逆运算，就是递推公式。

### 1.2 一维前缀和 ###

**先来看一道题目吧：**  
![在这里插入图片描述][aa83f80c73fe4e61ae0261dafe98659a.png]  
这是之前训练的时候的一道经典的**前缀和问题**，我们很容易想到暴力作法：**遍历数组**

**代码如下：**

#include<stdio.h>
    const int N = 1e5 + 10;
    int a[N];
    int n,m;
    int main()
    {
        
    	scanf("%d%d", &n, &m);
    	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    	while(m--)
    	{
        
        	int l, r;
        	int sum = 0;
        	scanf("%d%d", &l, &r);
        	for(int i = l; i <= r; i++)
        	{
         
         	   sum += a[i];
      	  	}
        	printf("%d\n",sum);
    	}
    	return 0;
    }

这样的时间复杂度为`O(n * m)`，如果n和m的数据量稍微大一点就有可能超时，而我们如果使用前缀和的方法来做的话就能够将时间复杂度降到`O(n + m)`，大大提高了运算效率。

**前缀和做法：**

#include<stdio.h>
    int main()
    {
        
    	long long n,k,arr[100010],sum[100010];
    	scanf("%lld %lld",&n,&k);
    	sum[0]=0;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
        
    		scanf("%lld",&arr[i]);
    		int tmp=arr[i];
    		sum[i]=tmp+sum[i-1];
    	}
    	for(int i=1;i<=k;i++)
    	{
        
    		int f,t;
    		scanf("%d %d",&f,&t);
    		printf("%lld\n",sum[t]-sum[f-1]);//重要步骤
    	}
    	return 0;
    }

**原理讲解：**

`sum[r] = a[1] + a[2] + a[3] + a[l-1] + a[l] + a[l + 1] .. a[r];`  
`sum[l - 1] = a[1] + a[2] + a[3] + ... + a[l - 1];`  
`sum[r] - sum[l - 1] = a[l] + a[l + 1] + ... + a[r];`

这样，对于每个询问，只需要执行 sum\[r\] - sum\[l - 1\]。输出原序列中从第l个数到第r个数的和的时间复杂度变成了O(1)。

我们把它叫做一维前缀和。

## 二、二维前缀和 ##

先来看一道题目吧：

![在这里插入图片描述][004eb1fee63c4296bf7f36098697f04e.png]

因为这里提及到了二维这个词，所以我们先来定义一个二维数组`s[][]` ,`s[i][j]` 表示二维数组中，左上角`(1, 1)`到右下角`(i, j)`所包围的矩阵元素的和。接下来推导二维前缀和的公式。

**先看一张图：**  
![在这里插入图片描述][9b1fe0053d9c409db819fd3ea003d74c.png]  
**图解：**

*  `(1,1)`到`(i,j-1)`表示的面积是`S1+S2`定义为`S黄蓝`
 *  `(1,1)`到`(i-1,j)`表示的面积是`S1+S3`定义为`S黄粉`
 *  `(1,1)`到`(i,j)`表示的面积是`S黄蓝+S黄粉-S1+S4`

**因此得出二维前缀和预处理公式**

`s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1 ] + a[i] [j] - s[i - 1][j - 1]`

**讲解完这些基础知识就可以去解决刚才的问题啦**

#include <iostream>
    using namespace std;
    const int N = 1010;
    int n, m, q;
    int s[N][N];
    int main()
    {
        
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                scanf("%d", &s[i][j]);
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
        while (q -- )
        {
        
            int x1, y1, x2, y2;
            scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
            printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
        }
        return 0;
    }

**所以总结模板就是：**

S\[i, j\] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和  
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：  
`S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]`

## 三、一维差分 ##

**先看一道问题：**  
![在这里插入图片描述][b73d63065f9146ab87ba3bbf8175f561.png]

类似于数学中的求导和积分，**差分可以看成前缀和的逆运算。**  
首先给定一个原数组`a`：`a[1], a[2] ， ， ， ， a[n];`

然后我们构造一个数组`b`： `b[1], b[2] ， ， ， b[i];`

使得 `a[i]`= `b[1] + b[2] + ， ， ， + b[i]`

也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的**差分数组**。换句话说，每一个a\[i\]都是b数组中从头开始的一段区间和。

**其实换个好理解的方式：**  
`a[0 ]= 0;`  
`b[1] = a[1] - a[0];`  
`b[2] = a[2] - a[1];`  
…  
`b[n] = a[n] - a[n - 1];`

**但是知道了这些怎么用到题目上呢？或者换句话说，怎么就成为一种算法了呢？hhh下面就来解决这个问题哦~**

如果给定区间`[l, r ]`，让我们把a数组中的`[l, r]` 区间中的每一个数都加上`c`,即 `a[l] + c , a[l + 1] + c , a[l + 2] + c ,,,,,, a[r] + c;`

**暴力做法**是for循环l到r区间，时间复杂度`O(n)`，如果我们需要对原数组执行m次这样的操作，时间复杂度就会变成`O(n * m)`。有没有更高效的做法吗? 考虑差分的做法。

首先让差分`b`数组中的 `b[l] + c` ,通过前缀和运算，`a`数组变成 `a[l] + c ,a[l + 1] + c,,,,,, a[n] + c;`

然后我们打个补丁，`b[r + 1] - c`, 通过前缀和运算，`a`数组变成 `a[r + 1] - c,a[r + 2] - c,,,,,,,a[n] - c;`

![在这里插入图片描述][a98fc86b8ef0476ba3f0e8348b63bdd4.png]  
`b[l] + c`，效果使得a数组中 `a[l]` 及以后的数都加上了`c`(红色部分)，但我们只要求l到r 区间加上 c, 因此还需要执行 `b[r + 1] - c`,让a数组中 `a[r + 1]`及往后的区间再减去`c`(绿色部分)，这样对于`a[r]` 以后区间的数相当于没有发生改变。

因此我们得出一维差分结论：给a数组中的`[ l, r]` 区间中的每一个数都加上c,只需对差分数组`b`做 `b[l] + = c`,`b[r+1] - = c`。时间复杂度为O(1), 大大提高了效率。

**代码如下：**

#include<stdio.h>
    int main()
    {
        
        int arr[100010],a[100010],n,m,q;
        scanf("%d%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&arr[i]);
        a[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
        
            a[i]=arr[i]-arr[i-1];
        }
        while(m--)
        {
        
            int l,r,c;
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
            a[l]+=c;
            a[r+1]-=c;
            
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
        
            arr[i]=arr[i-1]+a[i];
            printf("%d ",arr[i]);
        }
        
        return 0;
    }

## 四、二维差分 ##

**首先先看一道题目：**  
![在这里插入图片描述][1d803750763644cc8828886103e98628.png]  
如果扩展到二维，我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上`c`,是否也可以达到`O(1)`的时间复杂度。答案是可以的，考虑二维差分。

**那么下面就来讲解二维差分**

![在这里插入图片描述][4c185e465c1c4147b44aac67d99029ae.png]

*  b\[x1\]\[y1\] += c ; 对应图1 ,让整个a数组中黄色矩形面积的元素都加上了c。
 *  b\[x1,\]\[y2 + 1\] -= c ; 对应图2 ,让整个a数组中粉色+绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
 *  b\[x2 + 1\]\[y1\] -= c ; 对应图3 ,让整个a数组中蓝色+绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
 *  b\[x2 + 1\]\[y2 + 1\] += c; 对应图4,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再加上c，绿色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

**模板：**

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
    {
        
        b[x1][y1]+=c;
        b[x1][y2+1]-=c;
        b[x2+1][y1]-=c;
        b[x2+1][y2+1]+=c;
    }

![在这里插入图片描述][82739d7f359545a483aa94fc02ee4d8d.png]

`b[i][j] = a[i][j] − a[i − 1][j] − a[i][j − 1] + a[i −1 ][j − 1]`  
**代码如下：**

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    
    const int N = 1e3 + 10;
    int a[N][N],b[N][N];
    int n,m,q;
    
    void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
    {
        
        b[x1][y1]+=c;
        b[x1][y2+1]-=c;
        b[x2+1][y1]-=c;
        b[x2+1][y2+1]+=c;
    }
    
    int main()
    {
        
        cin>>n>>m>>q;
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
        
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
        
                scanf("%d",&a[i][j]);
            }
        }
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
        
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
        
                insert(i,j,i,j,a[i][j]);//构造差分数组
            }
        }
        
        while(q--)
        {
        
            int x1,y1,x2,y2,c;
            cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
            insert(x1,y1,x2,y2,c);//进行差分
        }
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
        
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
        
                b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
            }
        }
        
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
        
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
        
                printf("%d ",b[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    
    }

## 总结 ##

今天学习了前缀和算法知识，每天进步一点点，**不积硅步，无以至千里**。  
我们下期见吧~

![在这里插入图片描述][964d5c594e4c6ccea737be3c6b6bed4e.gif_pic_center]  
如果无聊的话，就来逛逛我的博客栈吧[stack-frame.cn][]

> ✨ 原创不易，还希望各位大佬支持一下 \\textcolor\{blue\}\{原创不易，还希望各位大佬支持一下\} 原创不易，还希望各位大佬支持一下  
>   
> 👍  点赞，你的认可是我创作的动力！ \\textcolor\{9c81c1\}\{点赞，你的认可是我创作的动力！\} 点赞，你的认可是我创作的动力！  
>   
> ⭐️  收藏，你的青睐是我努力的方向！ \\textcolor\{ed7976\}\{收藏，你的青睐是我努力的方向！\} 收藏，你的青睐是我努力的方向！  
>   
> ✏️  评论，你的意见是我进步的财富！ \\textcolor\{98c091\}\{评论，你的意见是我进步的财富！\} 评论，你的意见是我进步的财富！  
>

[.]: https://blog.csdn.net/congfen214?type=blog
[AcWing]: https://blog.csdn.net/congfen214/category_12113497.html
[76465759893845d388f85f33da89cbd4.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/f29314159bf24defa898a76cf27176f7.jpeg
[aa83f80c73fe4e61ae0261dafe98659a.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/b5f3e483927446fe9bcb4a98bd27807d.png
[004eb1fee63c4296bf7f36098697f04e.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/699bdbc827fc4d4684c99c3053b6f3bf.png
[9b1fe0053d9c409db819fd3ea003d74c.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/f1421aab48064ceba72b7d13d953d024.png
[b73d63065f9146ab87ba3bbf8175f561.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/ff886d31cd5b43f5a9007f5b0b40ab75.png
[a98fc86b8ef0476ba3f0e8348b63bdd4.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/36c7e71d658042bd945fcdb40632d945.png
[1d803750763644cc8828886103e98628.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/add90efbd94d4f54b0d1e06cdb93fbeb.png
[4c185e465c1c4147b44aac67d99029ae.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/485f20490aa44330acf1ceb0e6a09f03.png
[82739d7f359545a483aa94fc02ee4d8d.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/74c782542188492783404ced237df7d6.png
[964d5c594e4c6ccea737be3c6b6bed4e.gif_pic_center]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/24/44459365d6314911b2e070af50518a42.gif
[stack-frame.cn]: https://stack-frame.cn/