差分 & 前缀和-蒲公英云

差分 & 前缀和

怼烎@ 2021-10-19 02:44 475阅读 0赞

我们从问题入手。

入门问题：有已赋值的 n 个数，现在有 m 个指令

操作 1：每一次要求将第 k 个数加上 a；

操作 2：查询第 k 个数字的值。

$1 ≤ k ≤ n ≤ 10^5$

这一题其实用一个数组就可以维护。

问题一：有已赋值的 n 个数，现在有 m 个指令，每一个指令要求查询第 x 个数到第 y 个数的和。

$1 ≤ x ≤ y ≤ n,m ≤ 10^5$

如果暴力求和是会 TLE 的。

那应该如何解决这个问题呢？

这就要引出前缀和了。

可以看出，$\sum_{i=x}^ya_i = \sum_{j=1}^ya_j - \sum_{k=1}^{x-1}a_k$

所以我们只需要求第一个数到各个数的和即可。

求这些数很容易，O(n) 复杂度递推，接下来就可以 O(1) 查询了。

问题二：有已赋值的 n 个数，现在有 m 个指令，每一次要求将第 x 个数到第 y 个数加上 k，最后求所有数的值。

$1 ≤ x ≤ y ≤ n,m ≤ 10^5$

其实这题分块、线段树、树状数组以及其它的很多算法都可以过这题。

但是请看下一个问题：

问题三：有已赋值的 n 个数，现在有 m 个指令，每一次要求将第 x 个数到第 y 个数加上 k，最后求所有数的值。

$1 ≤ x ≤ y ≤ n,m ≤ 5*10^6$

我们发现：这个 5e6 的范围太大了，O(n log n) 以及更慢的复杂度是过不了的。

所以，下一个内容是：

差分

① 什么是差分？

差分，就是一个通过常数复杂度的标记实现求和及其它应用的一种技巧。

一般适合静态维护（前面先运算，最后求值）。

② 差分怎么用？

我们马上举一个例子：

有一个数列：

　　　　1  9  2  8  3  7  4  6  5
tag:　 0  0  0  0  0  0  0  0  0　　// 现在还没有打上标记

现在，我们将第 3 个数到第 5 个数加上 2.

那我们就发现，可以把第 3 个数开始把后面所有的数加上 2，再从第 6 个数开始把后面所有数减去 2 呢，就相当于把第 3 个数到第 5 个数加上 2 了。

然后这么标记：

a[i]:  1  9  2  8  3  7  4  6  5
tag :  0  0  2  0  0  -2 0  0  0　　// 打上标记*1

请注意，如果我们还是一个一个打上标记，这个算法就会退化。

所以，我们将第一个数打上标记，末尾打上相反标记，然后最后用前缀和处理。

然后，我们再将第 4 个数到第 8 个数减去 1.

按照上面的想法，我们可以从第 4 个数开始把后面所有的数减去 1，在从第 9 个数开始把后面所有的数加上 1.

a[i]:  1  9  2  8  3  7  4  6  5
tag :  0  0  2 -1  0 -2  0  0  1　　// 打上标记*2

假设指令执行结束，那么我们这样求和：

用一个 sum 数组记录，$sum_i$ 代表前 i 个数所带的 tag 的和。（即前缀和）

a[i]    :  1  9  2  8  3  7  4  6  5
tag     :  0  0  2 -1  0 -2  0  0  1　　
sum[i]  :  0  0  2  1  1 -1 -1 -1  0

最后，我们把 $a_i$ 加上对应的 $sum_i$，就是答案了。

时间复杂度 O(n).

代码

#include <cstdio>
#define N 5000010
typedef long long ll;
ll n, m, x, y, k, a[N], sum[N], sub[N];
inline ll read(){            // 数据范围很大的情况下建议用快读 
    ll num = 0, b = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9'){
        if(c == '-') b = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9'){
        num = num * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return num * b;
}
int main(){
    n = read(), m = read();
    for(ll i=1; i<=n; i++)
        a[i] = read();
    while(m--){
        x = read(), y = read(), k = read();
        sub[x] += k;
        sub[y + 1] -= k;    // 注意是 y + 1, 因为第 y 个数也要加 k
    }
    for(ll i=1; i<=n; i++)
        sum[i] = sum[i - 1] + sub[i];        // 前缀和 
    for(ll i=1; i<=n; i++)
        printf("%d ", a[i] + sum[i]);
    return 0;
}