傅里叶变化--小白入门

逃离我推掉我的手 2024-04-18 17:29 3阅读 0赞

最近在处理神经网络的时候，看到了小波变换与CNN结合，又看到了傅里叶变化，最终还是下定决心好好学一下傅里叶变化。我从零开始，讲述一下我的学习过程，也让大家同时也能理解傅里叶变化的内容。

傅里叶分析包含**傅里叶级数**与**傅里叶变换**两部分。

本文参考以下博客或者文章：

[深入理解傅里叶变换 ][Link 1]：

[十分简明易懂的FFT（快速傅里叶变换）][FFT]

[深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂）][Link 2]

[时域频域][Link 3]

[如果看了这篇文章你还不懂*傅里叶变换*，那就过来掐死我吧][Link 4]

## [信号的频域是什么意思？和时域有什么区别？][Link 5] ##

1.什么是时域与频域？

> 首先了解一下时域与频域的定义：
> 
> 对于信号来说，时域与频域是对于信号描述形式。例如对于一段音乐来说：
> 
> 时域的表达如下所示：
> 
> ![20190910105414475.png][]
> 
> 频域的表达如下所示：
> 
> ![2019091010544098.png][]
> 
> 域是分析信号不同角度的名称。时域是时时刻刻的变化（时域是真实世界的描述）。频域是我们人为规定的，数学公式显式的表达，在音乐中就是是用音乐符号来表达。
> 
> 信号（音乐信号）从时间域（音乐时域）变换到频率域（音乐频谱）主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。

时域和频域是信号的不同表示方式，频域是时域在另一维度的映射

![47d158f6f6c48c5118ec7b87b8f22dff.gif][]

时域与频域：

时域是真实的，是出于一直变换的状态。频域是固定的，是固定的数值，我们要用不同的频域与尽可能的逼近时域。

将其拆分为单独的一段，那么对应方式就是：

![20190910110933274.png][]   ![20190910110942364.png][]

一段时域对应一段频域。

下面我们来研究一下**傅里叶级数**：

首先看一下这张图片：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xFRTE4MjU0MjkwNzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

对于矩形波来说，可以由多个正弦波或者余弦波组合而成。这个矩形波可以看成是电压0与1的分布。多个余弦波的拼凑，可以自己敲代码试试，反正我试了很多没凑出来像矩形波的东西来。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xFRTE4MjU0MjkwNzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

上图是我自己凑的，没凑出来，大体能看出个模样来

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0xFRTE4MjU0MjkwNzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

。

> 随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？答案是无穷多个。

那么我们为什要讨论，对于矩形波进行分解的问题？

傅立叶分析包含：傅里叶级数与傅里叶变换

通过无限个频域叠加，我们可以无限逼近时域。

> 如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
> 
> 对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
> 
> 时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为\[公式\]的正弦波cos（\[公式\]t）看作基础，那么频域的基本单元就是\[公式\]。
> 
> 有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

不同频率的频域我们称为频域分量。

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[Link 1]: https://blog.csdn.net/chehec2010/article/details/80522568
[FFT]: https://blog.csdn.net/enjoy_pascal/article/details/81478582
[Link 2]: https://www.cnblogs.com/h2zZhou/p/8405717.html
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E6%97%B6%E5%9F%9F%E9%A2%91%E5%9F%9F/9399325?fr=aladdin
[Link 4]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/19759362
[Link 5]: https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E9%A2%91%E5%9F%9F
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