定点除法运算

深碍√TFBOYSˉ_ 2024-03-23 12:53 49阅读 0赞

**目录**

一、原码除法运算

1.原码比较法和恢复余数法

⑴比较法

⑵恢复余数法

2.原码不恢复余数法（原码加减交替法）

二、补码除法运算

1、够减的判断

2、上商规则

3、商符的确定

4、求新部分余数

5、末位恒置1

乘法的逆运算，思想相似，n位除转化成若干次“减法－移位”

![3f0a41724a064630b912a5b6373fd2b3.jpeg][]

## 一、原码除法运算 ##

### 1.原码比较法和恢复余数法 ###

#### ⑴比较法 ####

类似于手工运算，将除数右移改为部分余数左移，每一位的上商直接写到寄存器的最低位。

设A寄存器中存放被除数（或部分余数），B寄存器中存放除数，C 寄存器用来存放商Q。

**若A≥B，则上商1，并减除数；若A<B，则上商0。**比较法需要设置比较线路，从而增加了硬件的代价。

*  **比较过程的流程图：**

![94efddde6258437aa2e9487979490814.png][]

#### ⑵恢复余数法 ####

直接作减法试探方法，不管被除数（或部分余数）减除数是否够减，**都先做减法**。

若**部分余数为正，够减，该位商上“1”**；

若**部分余数为负，不够减，该位商上“0”，并要恢复余数**。

*  **恢复余数过程的流程图：**

![5fdf7755c8e843799dc41ff2aa3e8250.png][]

> 部分余数的正、负是根据不同的操作数组合随机出现的，恢复余数法会使除法运算操作次数不固定，导致控制电路复杂。在恢复余数时，要多作一次加法，降低了除法的执行速度。**因此很少采用。**

###  ###

### 2.原码不恢复余数法（原码加减交替法） ###

是对恢复余数法的改进，**减少了加法时间**，运算的次数固定，广泛采用。

*  在恢复余数法中，若第i-1次求商的部分余数为ri-1，则第i次求商操作为：![r\_\{i\}=2r\_\{i\}-1-Y][r_i_2r_i_-1-Y],
 *  若够减，部分余数ri=2ri-1-Y＞0，商1

若不够减，部分余数ri=2ri-1-Y＜0，商0

*  恢复余数后，ri’=ri+Y=2ri-1，然后再左移一位，进行第i+1次操作：

![0fa5ae60e9654650a7a3357d32f0dde6.png][]

由通式表示： ![r\_\{i\}+1=2r\_\{i\}+(1-2Q\_\{i\})Y][r_i_1_2r_i_1-2Q_i_Y]

Qi为第i次所得的商

**若部分余数为正，则Qi=1，部分余数左移一位，下一次继续减除数;**

**若部分余数为负，则Qi=0，部分余数左移一位，下一次加除数。**

加减运算交替进行，故称为原码加减交替法。

![a1048499260c46738594368e98e5790e.png][]

注意：减去一个数等于加上这个数的变补

![9ad575ece591420b86dc8f7e48a70415.png][]

> 需要3个寄存器。
> 
> A和B存放被除数和除数，C寄存器用来存放商，它的初值为0。
> 
> 运算过程中A寄存器的内容为部分余数，不断地变化，最后剩下的是扩大了若干倍的余数，只有将它乘上2-n才是真正的余数。

*  **原码加减交替除法流程图：**![d167b40bb1654a5cb05dbb6ab07bfcff.png][]

>  *  三个寄存器A、B、C,分别存放被除数、除数和商，其中A,B是n+2位，C是n+1位
>  *  一个n+2位的加法器
>  *  n+2个与或门
>  *  一个计数器
>  *  一个异或门
>  *  A寄存器和C寄存器级联，具有左移一位的功能。C寄存器最高位的值将移入A寄存器的最低位。A寄存器中的初值是被除数，运算过程中变为部分余数。C寄存器最低位保存每次运算得到商值，商值同时也作为下一次操作是做加法还是做减法的控制信号。

定点除法，为防止溢出，要求**被除数的绝对值小于除数的绝对值**，|X|＜|Y|（|X|=|Y|除外），且除数不能为0。

因此第一次减除数不够减，如果采用先移位后减除数的方法，得到的结果也是相同的。

在原码加减交替法中，**当最终余数为负数时，必须恢复一次余数，使之变为正余数**，注意此时不需要再左移了。

![6b23f8dfa6414d01b9570c56ce7e877d.png][]

>  *  A、B寄存器n+2位，C寄存器n+1位，n+2位的加法器、n+2个与或门、一个计数器和一个异或门。
>  *  A和C级联，都有左移一位功能，C寄存器最高位值移入A寄存器最低位。A寄存器初值是被除数，在运算中变为部分余数。C寄存器最低位保存每次运算得到的商值，商值同时也作为下一次操作是做加法还是做减法的控制信号。

## 二、补码除法运算 ##

先来看一个有关例题

![a385d6ab83534924aae428f99c3135c4.png][]

![2cd17ce27ea34b8a895c17d2a2fb9dfc.png][]

*  **补码加减交替除法流程图：**

![3ee82be025b145e39477c54065035b8e.png][]

### 1、够减的判断 ###

被除数（或部分余数）的绝对值大于或等于除数的绝对值，够减；反之不够减。**当两数同号时，实际应作减法；两数异号时，实际应作加法**。

**方法：**被除数（或部分余数）与除数同号时，如果得到的新部分余数与除数同号，够减，否则不够减；当被除数（或部分余数）与除数异号时，如果得到的新部分余数与除数异号，够减，否则为不够减。

### 2、上商规则 ###

补码除法的商也用补码表示，上商规则：\[X\]补和\[Y\]补同号，则商为正数，够减时上商“1”，不够减时上商“0”；\[X\]补和\[Y\]补异号，则商为负数，够减时上商“0”，不够减时上商“1”。

归结为：  **部分余数\[ri\]补和除数\[Y\]补同号，商上“1”，反之，商上“0”。**

### **3、商符的确定** ###

在求商的过程中自动形成，按补码上商规则，**第一次得出的商，就是实际应得的商符**。

为防止溢出，有|X|＜|Y|，第一次肯定不够减。

被除数与除数同号，部分余数与除数必然异号，商上“0”，**恰好与商符一致**；

被除数与除数异号，部分余数与除数必然同号，商上“1”，**也恰好就是商的符号**。

### 4、求新部分余数 ###

\[ri+1\]补的通式如下： \[ri+1\]补=2\[ri\]补+(1-2Qi)×\[Y\]补

Qi表示第i步的商。商上“1”，部分余数左移，减去除数；商上“0”，部分余数左移，加上除数。

### 5、末位恒置1 ###

商的最末一位恒置为“1”，运算的最大误差为2-n。此法操作简单，易于实现。

*  **补码加减交替除法规则**

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:126pt;"> [X]补与[Y]补 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:142pt;"> 第一次操作 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:133pt;"> [ri]补与[Y]补 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:61pt;"> 上商 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:256pt;"> 求新余数[ri+1]补的操作 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:126pt;"> 同号 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:142pt;"> [X]补-[Y]补 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:133pt;"> ①同号 （够减） </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:61pt;"> 1 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:256pt;"> [ri+1]补=2[ri]补-[Y]补 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:133pt;"> ②异号 （不够减） </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:61pt;"> 0 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:256pt;"> [ri+1]补=2[ri]补+[Y]补 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:126pt;"> 异号 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:142pt;"> [X]补+[Y]补 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:133pt;"> ①同号 （不够减） </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:61pt;"> 1 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:256pt;"> [ri+1]补=2[ri]补-[Y]补 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:133pt;"> ②异号 （够减） </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:61pt;"> 0 </td> 
 <td style="border-color:#000000;vertical-align:top;width:256pt;"> [ri+1]补=2[ri]补+[Y]补 </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

[3f0a41724a064630b912a5b6373fd2b3.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/484fb78e347c4d8ab82cf4ff46536764.png
[94efddde6258437aa2e9487979490814.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/a63d9ca37a924cceab6421fc72070e65.png
[5fdf7755c8e843799dc41ff2aa3e8250.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/2f7d791fc9e943e0b33dabc7020e0f57.png
[r_i_2r_i_-1-Y]: https://latex.csdn.net/eq?r_%7Bi%7D%3D2r_%7Bi%7D-1-Y
[0fa5ae60e9654650a7a3357d32f0dde6.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/030f9aa2aeda4858a4170802ba3171af.png
[r_i_1_2r_i_1-2Q_i_Y]: https://latex.csdn.net/eq?r_%7Bi%7D&plus;1%3D2r_%7Bi%7D&plus;%281-2Q_%7Bi%7D%29Y
[a1048499260c46738594368e98e5790e.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/584741a6a0d54fd3996508032db6630f.png
[9ad575ece591420b86dc8f7e48a70415.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/e918c47a3b2c4730812393dfd5aae68e.png
[d167b40bb1654a5cb05dbb6ab07bfcff.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/603a0a4197444f7c848a1c2d5f47370a.png
[6b23f8dfa6414d01b9570c56ce7e877d.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/88c6a5e31e1a4603b16181dff6766a38.png
[a385d6ab83534924aae428f99c3135c4.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/b078bd0b72ab4a4c8df4c9666dc2f5e6.png
[2cd17ce27ea34b8a895c17d2a2fb9dfc.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/648fd7a444e34e6db7d071244ec56afe.png
[3ee82be025b145e39477c54065035b8e.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/23/20dea5f3348d40bdb00971620e0bf822.png