数值分析-牛顿-柯特斯公式的概念、推导与应用

痛定思痛。 2024-03-22 12:23 51阅读 0赞

**目录**

一、引言

二、牛顿-柯特斯公式的基本概念

三、牛顿-柯特斯公式的推导

四、牛顿-柯特斯公式的应用

五、牛顿-柯特斯公式的优缺点

六、总结

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## 一、引言 ##

数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何利用数值方法来解决实际问题。在数值分析中，牛顿-柯特斯公式是一个非常重要的概念，它是一种用于数值积分的方法。本文将介绍牛顿-柯特斯公式的基本概念、推导过程、应用以及优缺点。

## 二、牛顿-柯特斯公式的基本概念 ##

牛顿-柯特斯公式是一种用于数值积分的方法，它可以用来计算一个函数在一定区间内的定积分。该公式的基本思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间内使用一个插值多项式来近似原函数，最后将这些小区间的积分值加起来得到整个区间的积分值。

具体来说，假设要计算函数![f(x)][f_x]在区间![\[a,b\]][a_b]内的定积分，可以将该区间分成![n][]个小区间，每个小区间的长度为![h=\\frac\{b-a\}\{n\}][h_frac_b-a_n]。

然后在每个小区间![\[x\_i,x\_\{i+1\}\]][x_i_x_i_1]内使用一个插值多项式![p\_i(x)][p_i_x]来近似原函数![f(x)][f_x]，并计算出该小区间的积分值![I\_i=\\int\_\{x\_i\}^\{x\_\{i+1\}\}p\_i(x)dx][I_i_int_x_i_x_i_1_p_i_x_dx]。

最后将所有小区间的积分值加起来得到整个区间的积分值![I=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}I\_i][I_sum_i_1_n_I_i]。

牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：

![I=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}w\_i\\int\_\{x\_i\}^\{x\_\{i+1\}\}f(x)dx][I_sum_i_1_n_w_i_int_x_i_x_i_1_f_x_dx]

其中，![w\_i][w_i]是权重系数，![x\_i][x_i]和![x\_\{i+1\}][x_i_1]是小区间的端点。

## 三、牛顿-柯特斯公式的推导 ##

牛顿-柯特斯公式的推导过程比较复杂，这里只给出一个简单的推导方法。

假设要计算函数![f(x)][f_x]在区间![\[a,b\]][a_b]内的定积分，可以将该区间分成![n][]个小区间，每个小区间的长度为![h=\\frac\{b-a\}\{n\}][h_frac_b-a_n]。

插值多项式![p\_i(x)][p_i_x]可以使用拉格朗日插值法或牛顿插值法来计算。

这里以牛顿插值法为例，假设已知小区间![\[x\_i,x\_\{i+1\}\]][x_i_x_i_1]内的![n+1][n_1]个插值节点![x\_i,x\_\{i+1\},\\cdots,x\_\{i+n\}][x_i_x_i_1_cdots_x_i_n]和对应的函数值![f(x\_i),f(x\_\{i+1\}),\\cdots,f(x\_\{i+n\})][f_x_i_f_x_i_1_cdots_f_x_i_n]，则可以使用牛顿插值公式来计算插值多项式![p\_i(x)][p_i_x]：

![p\_i(x)=f(x\_i)+\\sum\_\{j=1\}^\{n\}\\frac\{f\[x\_i,x\_\{i+1\},\\cdots,x\_\{i+j\}\](x-x\_i)(x-x\_\{i+1\})\\cdots(x-x\_\{i+j-1\})\}\{j!\}][p_i_x_f_x_i_sum_j_1_n_frac_f_x_i_x_i_1_cdots_x_i_j_x-x_i_x-x_i_1_cdots_x-x_i_j-1_j]

其中，![f\[x\_i,x\_\{i+1\},\\cdots,x\_\{i+j\}\]][f_x_i_x_i_1_cdots_x_i_j]表示![f(x\_i),f(x\_\{i+1\}),\\cdots,f(x\_\{i+j\})][f_x_i_f_x_i_1_cdots_f_x_i_j]的![j][]阶差商，可以使用递推公式来计算：

![f\[x\_i,x\_\{i+1\}\]=\\frac\{f(x\_\{i+1\})-f(x\_i)\}\{x\_\{i+1\}-x\_i\}][f_x_i_x_i_1_frac_f_x_i_1_-f_x_i_x_i_1_-x_i]

![f\[x\_i,x\_\{i+1\},\\cdots,x\_\{i+j\}\]=\\frac\{f\[x\_\{i+1\},\\cdots,x\_\{i+j\}\]-f\[x\_i,\\cdots,x\_\{i+j-1\}\]\}\{x\_\{i+j\}-x\_i\}][f_x_i_x_i_1_cdots_x_i_j_frac_f_x_i_1_cdots_x_i_j_-f_x_i_cdots_x_i_j-1_x_i_j_-x_i]

使用插值多项式![p\_i(x)][p_i_x]来近似原函数![f(x)][f_x]，可以得到小区间![\[x\_i,x\_\{i+1\}\]][x_i_x_i_1]内的积分值![I\_i][I_i]：

![I\_i=\\int\_\{x\_i\}^\{x\_\{i+1\}\}p\_i(x)dx=\\sum\_\{j=0\}^\{n\}\\frac\{f\[x\_i,x\_\{i+1\},\\cdots,x\_\{i+j\}\]\}\{(j+1)!\}(x\_\{i+1\}-x\_i)^\{j+1\}][I_i_int_x_i_x_i_1_p_i_x_dx_sum_j_0_n_frac_f_x_i_x_i_1_cdots_x_i_j_j_1_x_i_1_-x_i_j_1]

将权重系数![w\_i][w_i]定义为：

![w\_i=\\int\_\{x\_i\}^\{x\_\{i+1\}\}\\prod\_\{j=0,j\\neq i\}^\{n\}\\frac\{x-x\_j\}\{x\_i-x\_j\}dx][w_i_int_x_i_x_i_1_prod_j_0_j_neq i_n_frac_x-x_j_x_i-x_j_dx]

可以证明，![w\_i][w_i]满足以下两个性质：

1. ![\\sum\_\{i=1\}^\{n\}w\_i=1][sum_i_1_n_w_i_1]  
2. ![w\_i=w\_\{n-i+1\}][w_i_w_n-i_1]

根据这两个性质，可以将牛顿-柯特斯公式表示为：

![I=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}w\_i\\int\_\{x\_i\}^\{x\_\{i+1\}\}f(x)dx][I_sum_i_1_n_w_i_int_x_i_x_i_1_f_x_dx]

## 四、牛顿-柯特斯公式的应用 ##

牛顿-柯特斯公式可以用于计算函数的积分值，其基本思想是将函数在一定区间内进行逐次逼近，从而得到积分值的近似解。具体来说，牛顿-柯特斯公式可以通过以下步骤来实现：

1. 将积分区间\[a,b\]分成若干个子区间，每个子区间的长度为h。

2. 对于每个子区间，使用牛顿-柯特斯公式进行逼近，得到该子区间上的积分值。

3. 将所有子区间的积分值加起来，得到整个积分区间\[a,b\]上的积分值的近似解。

牛顿-柯特斯公式的应用范围非常广泛，可以用于计算各种类型的函数积分，包括多项式函数、三角函数、指数函数等等。

## 五、牛顿-柯特斯公式的优缺点 ##

牛顿-柯特斯公式的优点在于它可以通过递推公式来计算积分值，从而大大简化了计算过程。此外，该方法的精度也比较高，可以通过增加子区间的数量来提高精度。

然而，牛顿-柯特斯公式也存在一些缺点。该方法需要对积分区间进行分段，因此需要事先知道积分区间的长度。精度受到子区间长度的影响，如果子区间长度过大或过小，可能会导致精度下降。计算量较大，需要进行多次递推计算，因此对于复杂的函数积分，可能会导致计算时间过长。

## 六、总结 ##

牛顿-柯特斯公式是一种常用的数值积分方法，它可以通过递推公式来计算函数的积分值。该方法的应用范围广泛，可以用于计算各种类型的函数积分。然而，该方法也存在一些缺点，需要事先知道积分区间的长度，精度受到子区间长度的影响，计算量较大等等。因此，在使用牛顿-柯特斯公式时，需要根据具体情况进行选择，以达到最佳的计算效果。

[f_x]: https://latex.csdn.net/eq?f%28x%29
[a_b]: https://latex.csdn.net/eq?%5Ba%2Cb%5D
[n]: https://latex.csdn.net/eq?n
[h_frac_b-a_n]: https://latex.csdn.net/eq?h%3D%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D
[x_i_x_i_1]: https://latex.csdn.net/eq?%5Bx_i%2Cx_%7Bi&plus;1%7D%5D
[p_i_x]: https://latex.csdn.net/eq?p_i%28x%29
[I_i_int_x_i_x_i_1_p_i_x_dx]: https://latex.csdn.net/eq?I_i%3D%5Cint_%7Bx_i%7D%5E%7Bx_%7Bi&plus;1%7D%7Dp_i%28x%29dx
[I_sum_i_1_n_I_i]: https://latex.csdn.net/eq?I%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7DI_i
[I_sum_i_1_n_w_i_int_x_i_x_i_1_f_x_dx]: https://latex.csdn.net/eq?I%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dw_i%5Cint_%7Bx_i%7D%5E%7Bx_%7Bi&plus;1%7D%7Df%28x%29dx
[w_i]: https://latex.csdn.net/eq?w_i
[x_i]: https://latex.csdn.net/eq?x_i
[x_i_1]: https://latex.csdn.net/eq?x_%7Bi&plus;1%7D
[n_1]: https://latex.csdn.net/eq?n&plus;1
[x_i_x_i_1_cdots_x_i_n]: https://latex.csdn.net/eq?x_i%2Cx_%7Bi&plus;1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bi&plus;n%7D
[f_x_i_f_x_i_1_cdots_f_x_i_n]: https://latex.csdn.net/eq?f%28x_i%29%2Cf%28x_%7Bi&plus;1%7D%29%2C%5Ccdots%2Cf%28x_%7Bi&plus;n%7D%29
[p_i_x_f_x_i_sum_j_1_n_frac_f_x_i_x_i_1_cdots_x_i_j_x-x_i_x-x_i_1_cdots_x-x_i_j-1_j]: https://latex.csdn.net/eq?p_i%28x%29%3Df%28x_i%29&plus;%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Bf%5Bx_i%2Cx_%7Bi&plus;1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bi&plus;j%7D%5D%28x-x_i%29%28x-x_%7Bi&plus;1%7D%29%5Ccdots%28x-x_%7Bi&plus;j-1%7D%29%7D%7Bj%21%7D
[f_x_i_x_i_1_cdots_x_i_j]: https://latex.csdn.net/eq?f%5Bx_i%2Cx_%7Bi&plus;1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bi&plus;j%7D%5D
[f_x_i_f_x_i_1_cdots_f_x_i_j]: https://latex.csdn.net/eq?f%28x_i%29%2Cf%28x_%7Bi&plus;1%7D%29%2C%5Ccdots%2Cf%28x_%7Bi&plus;j%7D%29
[j]: https://latex.csdn.net/eq?j
[f_x_i_x_i_1_frac_f_x_i_1_-f_x_i_x_i_1_-x_i]: https://latex.csdn.net/eq?f%5Bx_i%2Cx_%7Bi&plus;1%7D%5D%3D%5Cfrac%7Bf%28x_%7Bi&plus;1%7D%29-f%28x_i%29%7D%7Bx_%7Bi&plus;1%7D-x_i%7D
[f_x_i_x_i_1_cdots_x_i_j_frac_f_x_i_1_cdots_x_i_j_-f_x_i_cdots_x_i_j-1_x_i_j_-x_i]: https://latex.csdn.net/eq?f%5Bx_i%2Cx_%7Bi&plus;1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bi&plus;j%7D%5D%3D%5Cfrac%7Bf%5Bx_%7Bi&plus;1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bi&plus;j%7D%5D-f%5Bx_i%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bi&plus;j-1%7D%5D%7D%7Bx_%7Bi&plus;j%7D-x_i%7D
[I_i]: https://latex.csdn.net/eq?I_i
[I_i_int_x_i_x_i_1_p_i_x_dx_sum_j_0_n_frac_f_x_i_x_i_1_cdots_x_i_j_j_1_x_i_1_-x_i_j_1]: https://latex.csdn.net/eq?I_i%3D%5Cint_%7Bx_i%7D%5E%7Bx_%7Bi&plus;1%7D%7Dp_i%28x%29dx%3D%5Csum_%7Bj%3D0%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Bf%5Bx_i%2Cx_%7Bi&plus;1%7D%2C%5Ccdots%2Cx_%7Bi&plus;j%7D%5D%7D%7B%28j&plus;1%29%21%7D%28x_%7Bi&plus;1%7D-x_i%29%5E%7Bj&plus;1%7D
[w_i_int_x_i_x_i_1_prod_j_0_j_neq i_n_frac_x-x_j_x_i-x_j_dx]: https://latex.csdn.net/eq?w_i%3D%5Cint_%7Bx_i%7D%5E%7Bx_%7Bi&plus;1%7D%7D%5Cprod_%7Bj%3D0%2Cj%5Cneq%20i%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7Bx-x_j%7D%7Bx_i-x_j%7Ddx
[sum_i_1_n_w_i_1]: https://latex.csdn.net/eq?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dw_i%3D1
[w_i_w_n-i_1]: https://latex.csdn.net/eq?w_i%3Dw_%7Bn-i&plus;1%7D