编程任务|随机摆放的刀叉开始认识数学思维

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2024-03-02 08:16 7阅读 0赞

任务源自旧版的Brilliant数学讨论问题。2019-09-02我曾经发布过，可惜已经下线，幸活大喵做足备份。

该问题看似是概率问题，实则不然。

官方给出的解法透露出一个非常重要的数学思维方法：

数学语言 —— 为何以及如何构造一个函数 f(n)；

运用恰当构造的函数为逻辑推理的起点；

Python随机模块模拟验证之；

先从关键词开始——常用英文短语：

consecutive：连续 如1，2，3，4

in the line-up：排成一列

“There's a randomly ordered line of 15 forks and 15 spoons on the counter. Chef Nidhi only needs 5 forks and 5 spoons.Can she always pick up exactly what she needs by selecting 10 consecutive utensils starting from somewhere in the line-up?

![alt][]

图片

15把叉子和15把勺子随机摆放的，图为示例

题目考察数学思维：

丁丁猫一家的厨房有30付餐具，包含15个叉子和15把刀。丁大喵说了，叉子和勺子的摆放要方便拿取，家里5个人吃饭，桌子上需要摆放5付刀叉，取餐具的时候，很方便地找出5把叉子和5把刀。

一家之主的丁老喵让孩子们想想，该怎么摆放？

丁小喵抢先发话：“每次刷碗后，叉子和勺子要分开摆放”

“不需要” 丁大喵说："不必这么麻烦，经常有不自觉的取走不按规则放回去，

“ 无论刀叉怎样摆放顺序，都可以找到10个连续摆放的餐具，恰好满足有5个叉子和5个勺子！”

哦？真的可以做到吗？

丁大喵说的是真的吗？

任务场景之二

学校举办新学期的运动会，首先班级推荐10个旗手，要有5男生和5个女生组成方阵，走在班级队伍的最前面，要求10人的身高要尽量接近。

班里共有30人其中15个男生和15个女生。老师先按身高排出30人有高到低排出顺序。请问应该如何选出 5 对男女生推荐为旗手方阵的人选。

——似乎和刀叉的摆放有异曲同工之妙！

逻辑推理的思路梳理：

将30个餐具分成 20个连续的组。最左边开始选10个，即1到10为第1组，2-11为第2组，... 第20-30为第20组 —— 分组是整个思路的关键！！

设一个函数f(n)返回一组器具中叉的数量—— 数学语言描述

该函数显然是连续的，满足：

(1)因为两个连续组的叉的数目之间的差不能大于1。

考虑30把厨具里必然有15把叉子，那么下面必然成立

f(1)+f(10)+f(20) = 15

再看 f(1)，f(10)，f(20) 3个组中有没有等于5的，如果有，就是我们要找的那一组。如果没有，这三个函数的返回值必然要满足：

(2)至少一个必须大于5，其中一个小于5。

然后，如上所述函数返回值必然满足(1)，(2)，那么存在某个f(n)，n不在1，10，20之间，但f(n)必然是小于5和大于5之间某个数，连续变化的数列中：

譬如3，4，5，6，7之间，可见，由于满足下面两个条件，必然存在某个n，f(n)的返回值恰好为5!

(1)两个连续组的叉的数目之间的差不能大于1

(2)至少一个必须大于5，其中一个小于5

丁小喵说：

“总觉的不踏实，能不能验证下呢？

怎么验证呢

... ...

丁大喵提醒小喵，你这学期学python了

试试python可以啊？！

![alt][alt 1]

编程时刻开始 ...

叉子表达为1，勺子表达为0

随机生成一个只有0，1的数列

... ...

import random
    from collections import Counter
    while True:
        group = [random.randint(0, 1) for i in range(30)]   
        #叉子为1，勺子为0，随机数量生成数组group
        num_fork = str(group).count("1")
        num_spoon = str(group).count("0")
        if num_fork == 15 and num_spoon ==15:
            print(group)
            print(Counter(group))
            break
    j = 0
    while True:
        #print('随机顺序摆放的叉子和勺子:',group[j:j+10])
        fork = str((group[j:j+10])).count("1")
        spoon = str(group[j:j+10]).count("0")
        if fork == 5 and spoon == 5:
            print ('j =',j)
            print (group[j:j+10])
            break
        j += 1

生成刀叉的随机摆放顺序：

[1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 
    1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 
    0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0]

保证刀叉各有15把：

Counter({1: 15, 0: 15})

j = 4

[0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1]

解读：j =4 就是数列第5个数开始算起，10个连续厨具恰好满足5个叉子和5个勺子

时至今日，再看该任务依然启发力道十足！看能否再做些改进，也只能在随机生成函数的代码做些精简而已。

如何精简？

1.  构造一个随机数列包含15个 1（folk）和 15个 0 （spoon）
2.  长度为 30 的数组，包含30个 0
3.  随机生成 15个数为0-29之间的地址脚标

random_index = [random.randint(0,29) for _ in range(30)]
    
    print('random_index =',len(random_index),random_index)
    
    random_index = 30 [13, 22, 4, 21, 7, 27, 2, 1, 27, 6, 
    15, 20, 26, 22, 24, 29, 22, 29, 2, 4, 11, 2, 13, 27, 
    2, 25, 28, 10, 23, 0]

显然有重复的值,不可取。不过可以去重操作完善之。 数组求和结果为15则验证随机数组符合要求。

def randomIndex(n):
        cunt,inbox = 0,[]
        init = [0] * n
        while sum(init) < n//2:
            #循环终止条件是恰好一半的元素值为 1
            idx = random.randint(0,29)
            if idx not in inbox: #地址去重
                inbox.append(idx)
                init[idx] = 1
            else:pass
            cunt += 1
        return init,sum(init)
        
    n = 30
    print(randomIndex(n))
    
    ([0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0,
    1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 
    0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1], 15)

以上输出的随机数组满足要求！

def check(s,l):
        for i in range(len(s)-l):        
            if s[i:i+l].count(0) == s[i:i+l].count(1):
                return s[i:i+l],i
        else:return None
    
    s = [1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 
         1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0,
         1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0]
         
    l = 10
    
    print(check(seq,l))
    ([0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0], 8)

第 8 个元素开始连续 10 个恰好包含 5个叉和5个勺。

课程设计：丁丁猫亲子创客

本节课两个任务场景激发编程的动力，适于小学6年级以上的孩子；

锻炼孩子遇到实际场景需求，先抽象为可用编程实现的思维过程；

熟悉并使用python数组的切片、数组元素统计函数使用；

使用英文描述和理解问题需求，掌握两个math里常见的单词 consecutive in the line-up

理解f(n)函数的本质，用函数描述问题的好习惯；

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