HDU 1394 Minimum Inversion Number（线段树 || 树状数组+逆序数）

古城微笑少年丶 2024-02-17 21:08 72阅读 0赞

## Minimum Inversion Number ##

Problem Description

The inversion number of a given number sequence a1, a2, ..., an is the number of pairs (ai, aj) that satisfy i < j and ai > aj.  
  
For a given sequence of numbers a1, a2, ..., an, if we move the first m >= 0 numbers to the end of the seqence, we will obtain another sequence. There are totally n such sequences as the following:  
  
a1, a2, ..., an-1, an (where m = 0 - the initial seqence)  
a2, a3, ..., an, a1 (where m = 1)  
a3, a4, ..., an, a1, a2 (where m = 2)  
...  
an, a1, a2, ..., an-1 (where m = n-1)  
  
You are asked to write a program to find the minimum inversion number out of the above sequences.

Input

The input consists of a number of test cases. Each case consists of two lines: the first line contains a positive integer n (n <= 5000); the next line contains a permutation of the n integers from 0 to n-1.

Output

For each case, output the minimum inversion number on a single line.

Sample Input

10
    1 3 6 9 0 8 5 7 4 2

Sample Output

（网上找到的分析，理解了这题就容易了）

先百科一下逆序数的概念： 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的 逆序数 。逆序数为偶数的排列称为 偶排列 ；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。

逆序数计算方法是：在逐个元素读取原始数列时，每次读取都要查询当前已读取元素中大于当前元素的个数，加到sum里，最后得到的sum即为原始数列的逆序数。

接下来找数列平移后得到的最小逆序数，假设当前序列逆序数是sum，那么将a\[0\]移到尾部后逆序数的改变是之前比a\[0\]大的数全部与尾部a\[0\]组合成逆序数，假设数量为x,则x=n-1-a\[0\]，而之前比a\[0\]小的数（也就是之前能和a\[0\]组合为逆序数的元素）不再与a\[0\]组合成逆序数，假设数量为y,则y=n-x-1，这样，新序列的逆序数就是sum+x-y=sum-2\*a\[0\]+n-1;

接下来说明下线段树的作用，线段区间表示当前已读取的元素个数，比如\[m,n\]表示在数字m到n之间有多少个数已经读入，build时所有树节点全部为0就是因为尚未读数，update函数是将新读入的数字更新到线段树里，点更新，query函数是查询当前数字区间已存在的数字个数。

AC代码：

#include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int maxn=5000+10;
    int sum[maxn<<2];  //区间[i,j]逆序数的总个数 
    int a[maxn];  //存储原序列 
    int n;
    
    void build(int l,int r,int rt){  //建树 
    	sum[rt]=0;
    	if(l==r)return ;
    	int m=(l+r)>>1;
        build(l,m,rt<<1);
        build(m+1,r,rt<<1|1);
    }
    
    int Query(int i,int j,int l,int r,int rt){  //查询 
    	if(i<=l && j>=r){
    		return sum[rt];
    	}
    	
    	int m=(l+r)>>1;
    	int ans=0;
    	if(i<=m)
    	 ans+=Query(i,j,l,m,rt<<1);
    	if(j>m)
    	 ans+=Query(i,j,m+1,r,rt<<1|1);
    	 
    	return ans;
    }
    
    void Update(int i,int j,int l,int r,int rt){  //更新 
        if(l==r){
    	 sum[rt]++;	
    	 return ;
    	}
    	
    	int m=(l+r)>>1;
    	if(i<=m)
    	 Update(i,j,l,m,rt<<1);
    	else 
    	 Update(i,j,m+1,r,rt<<1|1);	
    	
    	sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
    }
    
    int main(){
    	while(scanf("%d",&n)==1){
    		build(0,n-1,1);
    		
    		int tol=0;
    		for(int i=0;i<n;i++){
    			scanf("%d",&a[i]);
    			tol+=Query(a[i],n-1,0,n-1,1);
    			Update(a[i],n-1,0,n-1,1);
    		}
    		
    		int cnt=tol;
    		for(int i=0;i<n;i++){
    			cnt=cnt+n-a[i]*2-1;
    			tol=min(tol,cnt);
    		}
    		
    		printf("%d\n",tol);
    	}
    	return 0;
    }

解法二：树状数组

首先输入数据存入数组a\[i\]当中，然后逆着从n-1往前计算（这样找的就是比a\[i\]小的个数，也就是每个a\[i\]对应的逆序数）。

AC代码：

#include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int maxn=5000+10;
    int C[maxn]; 
    int a[maxn]; 
    int n;
    
    int lowbit(int i){
    	return i&-i;
    }
    
    void add(int i){
    	while(i<=n){
    		C[i]++;
    		i+=lowbit(i);
    	}
    }
    
    int sum(int i){
    	int ans=0;
    	while(i){
    		ans+=C[i];
    		i-=lowbit(i);
    	}
    	return ans;
    }
    
    int main(){
    	while(scanf("%d",&n)==1){
    		memset(C,0,sizeof(C));
    		
    		for(int i=0;i<n;i++){
    			scanf("%d",&a[i]);
    		}
    		
    		int tol=0;
    		for(int i=n-1;i>=0;i--){
    			add(a[i]+1);  //因为a[i]可以为0，而树状数组下标从1开始 
    			tol+=sum(a[i]);
    		}
    		
    		int cnt=tol;
    		for(int i=0;i<n;i++){
    			cnt=cnt+n-a[i]*2-1;
    			tol=min(tol,cnt);
    		}
    		
    		printf("%d\n",tol);
    	}
    	return 0;
    }