高等数学：e值计算方法

- 日理万妓 2023-10-15 11:23 22阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  Dirichlet卷积与幂级数
 *  黄金分割

e e e的算法相当的多，最经典的有  e = lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ) e=\\lim\_\{n\\to\\infty\}\\left(1+\\frac1n\\right)^n=\\sum\_\{k=0\}^\\infty\{1\\over k!\}) e=limn→∞(1\+n1)n=∑k=0∞k!1)等。然而这些式子都隶属数学分析的范围。因此，我们不妨绕开分析到数论的板块来看一看。我们的旅程将从一个无穷级数开始……

## Dirichlet卷积与幂级数 ##

对于任何一个数论函数 a ( n ) a(n) a(n)，有：  
 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( ∑ d ∣ n a ( d ) ) x n = ∑ m , k ≥ 1 a ( m ) m k x m k = ∑ m = 1 ∞ a ( m ) m ∑ k = 1 ∞ x m k k = ∑ m = 1 ∞ a ( m ) m \[ − log ⁡ ( 1 − x m ) \] \\begin\{aligned\} \\sum\_\{n=1\}^\\infty\\frac1n\\left(\\sum\_\{d|n\}a(d)\\right)x^n &=\\sum\_\{m,k\\ge1\}\{a(m)\\over mk\}x^\{mk\}=\\sum\_\{m=1\}^\\infty\{a(m)\\over m\}\\sum\_\{k=1\}^\\infty\{x^\{mk\}\\over k\} \\\\ &=\\sum\_\{m=1\}^\\infty\{a(m)\\over m\}\[-\\log(1-x^\{m\})\] \\end\{aligned\} n=1∑∞n1d∣n∑a(d)xn=m,k≥1∑mka(m)xmk=m=1∑∞ma(m)k=1∑∞kxmk=m=1∑∞ma(m)\[−log(1−xm)\]  
其中当  a ( n ) = μ ( n ) a(n)=\\mu(n) a(n)=μ(n) 时，可知：

∑ m = 1 ∞ μ ( m ) m \[ − log ⁡ ( 1 − x m ) \] = x (1) \\sum\_\{m=1\}^\\infty\{\\mu(m)\\over m\}\[-\\log(1-x^\{m\})\]=x\\tag1 m=1∑∞mμ(m)\[−log(1−xm)\]=x(1)  
而当  a ( n ) = φ ( n ) a(n)=\\varphi(n) a(n)=φ(n)时，可得：  
 ∑ m = 1 ∞ φ ( m ) m \[ − log ⁡ ( 1 − x m ) \] = x 1 − x (2) \\sum\_\{m=1\}^\\infty\{\\varphi(m)\\over m\}\[-\\log(1-x^\{m\})\]=\{x\\over1-x\}\\tag2 m=1∑∞mφ(m)\[−log(1−xm)\]=1−xx(2)  
但实际上如果按照这么算下去，理论上笔算是可行的，算出来的数字会无线接近于  e e e ，但永远小于  e e e 。如果用泰勒分解  e = ∑ k = 0 i n f 1 / k ! e=\\sum\_\{k=0\}^\{inf\}\{1/k!\} e=∑k=0inf1/k! 好处是可以在前一步手算的基础上提高精度，但是依然是接近  e e e 的下界。而不可能算出 2.73 2.73 2.73。

## 黄金分割 ##

分别将  x = 1 ϕ = ( 1 + 5 2 ) − 1 x=\\frac1\\phi=\\left(1+\\sqrt5\\over2\\right)^\{-1\} x=ϕ1=(21\+5)−1 代入 ( 1 ) (1) (1)和 ( 2 ) (2) (2)，则有：  
 ∑ m = 1 ∞ μ ( m ) m \[ − log ⁡ ( 1 − 1 ϕ m ) \] = 1 ϕ \\sum\_\{m=1\}^\\infty\{\\mu(m)\\over m\}\\left\[-\\log\\left(1-\{1\\over\\phi^m\}\\right)\\right\]=\\frac1\\phi m=1∑∞mμ(m)\[−log(1−ϕm1)\]=ϕ1  
 ∑ m = 1 ∞ φ ( m ) m \[ − log ⁡ ( 1 − 1 ϕ m ) \] = − 1 1 − ϕ = ϕ \\sum\_\{m=1\}^\\infty\{\\varphi(m)\\over m\}\\left\[-\\log\\left(1-\{1\\over\\phi^m\}\\right)\\right\]=-\{1\\over1-\\phi\}=\\phi m=1∑∞mφ(m)\[−log(1−ϕm1)\]=−1−ϕ1=ϕ

因此根据  ϕ − 1 ϕ = 1 + 5 2 − 5 − 1 2 = 1 \\phi-\\frac1\\phi=\{1+\\sqrt5\\over2\}-\{\\sqrt5-1\\over2\}=1 ϕ−ϕ1=21\+5−25−1=1 ，有：  
 ∑ m = 1 ∞ μ ( m ) − φ ( m ) m log ⁡ ( 1 − 1 ϕ m ) = 1 \\sum\_\{m=1\}^\\infty\{\\mu(m)-\\varphi(m)\\over m\}\\log\\left(1-\{1\\over\\phi^m\}\\right)=1 m=1∑∞mμ(m)−φ(m)log(1−ϕm1)=1  
对两侧求指数，得：  
 e = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − 1 ϕ m ) μ ( m ) − φ ( m ) m \\fbox\{$e=\\prod\_\{m=1\}^\\infty\\left(1-\{1\\over\\phi^m\}\\right)^\{\\mu(m)-\\varphi(m)\\over m\}$\} e=∏m=1∞(1−ϕm1)mμ(m)−φ(m)  
于是现在 e e e和黄金分割也能被联系在一起辣！