高等数学：线性代数-第一章

青旅半醒 2023-10-15 09:08 129阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  第1章 行列式
 *   *  1.1 全排列和对换
     *  1.2 n阶行列式
     *  1.3 行列式的性质
     *  1.4 行列式按行（列）展开

## 第1章 行列式 ##

### 1.1 全排列和对换 ###

全排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列。

例如,  \{ 5 , 3 , 4 , 2 , 1 \} \\\{ 5, 3, 4, 2, 1 \\\} \{ 5,3,4,2,1\} 是一个排列。

全排列的个数 记  P n P\_\{n\} Pn 为 n 个元素的全排列的个数，则有  
 P n = n ! P\_\{n\} = n! \\\\ Pn=n!  
排列数 记  P n m P\_\{n\}^\{m\} Pnm 为从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的全排列的个数，则有  
 P n m = A n m = n ! ( n − m ) ! P\_\{n\}^\{m\} = A\_\{n\}^\{m\} = \\frac\{n!\}\{(n - m)!\} \\\\ Pnm=Anm=(n−m)!n!  
特别地，当 m=n 时，  P n m = P n P\_\{n\}^\{m\} = P\_\{n\} Pnm=Pn成立。

逆序 在全排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成 1 个逆序。

逆序数 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。记排列  a n a\_\{n\} an 的逆序数为 t ，则有  
 t = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i − 1 \[ a i < a j \] t = \\sum\_\{i = 1\}^\{n\}\{\\sum\_\{j = 1\}^\{i - 1\}\{\[a\_\{i\} < a\_\{j\}\]\}\} \\\\ t=i=1∑nj=1∑i−1\[ai<aj\]  
奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动的操作叫做对换。特别地，将相邻的两个元素对换，叫做相邻对换。

对换定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

### 1.2 n阶行列式 ###

n \\bm\{n\} n 阶行列式 设有  n 2 n^\{2\} n2个数，排成 n 行 n 列的数表  
 a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n \\begin\{matrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\\\ \\end\{matrix\} \\\\ a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann  
定义 n! 项代数和  
$$  
D = \\sum\_\{i = 1\}^\{n\} (-1)^\{t\}\\prod\_\{j = 1\}^\{n\} a\_\{jp\_\{j\}\} \\  
$  
其中  p 1 , p 2 , ⋯   , p n p\_\{1\}, p\_\{2\}, \\cdots, p\_\{n\} p1,p2,⋯,pn为 n 的所有排列， t 为排列  p n p\_\{n\} pn 的逆序数。则称上式为n 阶行列式，记作

D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\\\ \\end\{vmatrix\} \\\\ D=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann  
简记作  det ⁡ ( a i j ) \\det(a\_\{ij\}) det(aij)，其中  a i j a\_\{ij\} aij 为行列式 D 的 (i,j) 元。

上（下）三角行列式 主对角线以下（上）的元素都为 0 的行列式叫做上（下）三角行列式；特别地，除主对角线以外，其余元素都为 0 的行列式叫做对角行列式。

上（下）三角行列式和对角行列式满足  
 ∣ a 11 a 21 a 22 ⋮ ⋮ ⋱ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∏ i = 1 n a i i ∣ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ∣ = ∏ i = 1 n λ i \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & & & \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & & \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{i = 1\}^\{n\}\{a\_\{ii\}\} \\\\ \\begin\{vmatrix\} \\lambda\_\{1\} & & & \\\\ & \\lambda\_\{2\} & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ & & & \\lambda\_\{n\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{i = 1\}^\{n\}\{\\lambda\_\{i\}\} \\\\ a11a21⋮an1a22⋮an2⋱⋯ann=i=1∏naiiλ1λ2⋱λn=i=1∏nλi

### 1.3 行列式的性质 ###

性质1 行列式 D 与它的转置行列式 D^\{T\} 相等，即  
 det ⁡ ( a i j ) = det ⁡ ( a j i ) \\det(a\_\{ij\}) = \\det(a\_\{ji\}) det(aij)=det(aji)  
性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。

性质2推论 若行列式 D 存在两行（列）完全相同，则 D = 0 .

性质3 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式，即  
 D = r i × k k D D = c j × k k D D \\xlongequal\{r\_\{i\} \\times k\}\{\} kD \\\\ D \\xlongequal\{c\_\{j\} \\times k\}\{\} kD \\\\ Dri×kkDDcj×kkD  
性质4 若行列式 D 中存在两行（列）元素成比例，则 D = 0 .

性质5 若行列式 D 的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式 D 满足  
 D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + a i 1 ′ a i 2 + a i 2 ′ ⋯ a i n + a i n ′ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 ′ a i 2 ′ ⋯ a i n ′ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ \\begin\{align\} D &= \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{i1\} + a\_\{i1\}^\{\\prime\} & a\_\{i2\} + a\_\{i2\}^\{\\prime\} & \\cdots & a\_\{in\} + a\_\{in\}^\{\\prime\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\\\ \\end\{vmatrix\} \\\\ &= \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} & \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\\\ \\end\{vmatrix\} + \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} & \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{i1\}^\{\\prime\} & a\_\{i2\}^\{\\prime\} & \\cdots & a\_\{in\}^\{\\prime\} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{n1\} & a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{nn\} \\\\ \\end\{vmatrix\} \\\\ \\end\{align\} \\\\ D=a11⋮ai1\+ai1′⋮an1a12⋮ai2\+ai2′⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain\+ain′⋮ann=a11⋮a21⋮an1a12⋮a22⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮a2n⋮ann\+a11⋮ai1′⋮an1a12⋮ai2′⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain′⋮ann  
性质6 把行列式 D 的某一行（列）的各元素的 k 倍加到另一行（列），行列式不变，即  
 D = r j + k r i k D D = c q + k c p k D D \\xlongequal\{r\_\{j\} + kr\_\{i\}\}\{\} kD \\\\ D \\xlongequal\{c\_\{q\} + kc\_\{p\}\}\{\} kD \\\\ Drj\+krikDDcq\+kcpkD  
分块（矩阵）行列式 设  
 D = ∣ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋮ a k 1 ⋯ a k k c 11 ⋯ c 1 k b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c n 1 ⋯ c n k b n 1 ⋯ b n n ∣ = ∣ A O C B ∣ D = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & \\cdots & a\_\{1k\} & & & & \\\\ \\vdots & & \\vdots & & & & \\\\ a\_\{k1\} & \\cdots & a\_\{kk\} & & & & \\\\ c\_\{11\} & \\cdots & c\_\{1k\} & b\_\{11\} & \\cdots & b\_\{1n\} & \\\\ \\vdots & & \\vdots & \\vdots & & \\vdots & \\\\ c\_\{n1\} & \\cdots & c\_\{nk\} & b\_\{n1\} & \\cdots & b\_\{nn\} & \\\\ \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} A & O \\\\ C & B \\\\ \\end\{vmatrix\} \\\\ D=a11⋮ak1c11⋮cn1⋯⋯⋯⋯a1k⋮akkc1k⋮cnkb11⋮bn1⋯⋯b1n⋮bnn=ACOB  
则有  
 D = ∣ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋮ a k 1 ⋯ a k k ∣ ∣ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ b n 1 ⋯ b n n ∣ = A B D = \\begin\{vmatrix\} a\_\{11\} & \\cdots & a\_\{1k\} \\\\ \\vdots & & \\vdots \\\\ a\_\{k1\} & \\cdots & a\_\{kk\} \\\\ \\end\{vmatrix\} \\begin\{vmatrix\} b\_\{11\} & \\cdots & b\_\{1n\} \\\\ \\vdots & & \\vdots \\\\ b\_\{n1\} & \\cdots & b\_\{nn\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = AB \\\\ D=a11⋮ak1⋯⋯a1k⋮akkb11⋮bn1⋯⋯b1n⋮bnn=AB  
类似地，有  
 ∣ A C O B ∣ = A B \\begin\{vmatrix\} A & C \\\\ O & B \\\\ \\end\{vmatrix\} =AB \\\\ AOCB=AB

### 1.4 行列式按行（列）展开 ###

余子式 在 n 阶行列式中，把  a i j a\_\{ij\} aij 所在的行和列划去后，留下的 n-1 阶行列式叫做  a i j a\_\{ij\} aij的余子式，记作  M i j M\_\{ij\} Mij .

代数余子式 记  
 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A\_\{ij\} = (-1)^\{i + j\}M\_\{ij\} \\\\ Aij=(−1)i\+jMij  
则  A i j A\_\{ij\} Aij 叫做  a i j a\_\{ij\} aij的代数余子式。

行列式按行（列）展开法则 行列式 D 等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即  
 D = ∑ i = 1 n a p i A p i = ∑ i = 1 n a i q A i q D = \\sum\_\{i = 1\}^\{n\}a\_\{pi\}A\_\{pi\} = \\sum\_\{i = 1\}^\{n\}a\_\{iq\}A\_\{iq\} \\\\ D=i=1∑napiApi=i=1∑naiqAiq  
Vandermonde行列式  
 D n = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ n ≥ i > j ≥ 1 ( x i − x j ) D\_\{n\} = \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 & \\cdots & 1 \\\\ x\_\{1\} & x\_\{2\} & \\cdots & x\_\{n\} \\\\ x\_\{1\}^\{2\} & x\_\{2\}^\{2\} & \\cdots & x\_\{n\}^\{2\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ x\_\{1\}^\{n - 1\} & x\_\{2\}^\{n - 1\} & \\cdots & x\_\{n\}^\{n - 1\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{n \\geq i > j \\geq 1\}(x\_\{i\} - x\_\{j\}) \\\\ Dn=1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋱⋯1xnxn2⋮xnn−1=n≥i>j≥1∏(xi−xj)