高等数学：线性代数-第四章

向右看齐 2023-10-15 09:08 117阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  第4章 向量组的线性相关性
 *   *  4.1 向量组及其线性组合
     *  4.2 向量组的线性相关性
     *  4.3 向量组的秩
     *  4.4 线性方程组解的结构
     *  4.5 向量空间

## 第4章 向量组的线性相关性 ##

### 4.1 向量组及其线性组合 ###

向量组的线性组合 给定向量组 A:  
 a 1 , a 2 , ⋯   , a m \\bm\{a\}\_1,\\bm\{a\}\_2,\\cdots,\\bm\{a\}\_m a1,a2,⋯,am  
，对于任何一组实数  k 1 , k 2 , ⋯   , k m k\_1,k\_2,\\cdots,k\_m k1,k2,⋯,km ，表达式  
 ∑ i = 1 m k i a i \\sum\_\{i=1\}^\{m\}k\_i\\bm\{a\}\_i \\\\ i=1∑mkiai  
称为向量组 A 的一个线性组合，  k i ( 1 ≤ i ≤ m ) k\_i~(1\\leq i\\leq m) ki(1≤i≤m) 称为这个线性组合的系数。

向量的线性表示 给定向量组 A:  a 1 , a 2 , ⋯   , a m \\bm\{a\}\_1,\\bm\{a\}\_2,\\cdots,\\bm\{a\}\_m a1,a2,⋯,am和向量  b \\bm\{b\} b ，如果存在一组数  k 1 , k 2 , ⋯   , k m k\_1,k\_2,\\cdots,k\_m k1,k2,⋯,km ，使  
 b = ∑ i = 1 m k i a i \\bm b=\\sum\_\{i=1\}^\{m\} k\_i\\bm\{a\}\_i \\\\ b=i=1∑mkiai  
则称向量  b \\bm b b 能由向量组 A 线性表示。

向量组 A 可以写成 n 行 m 列的矩阵

A = ( a 1 a 2 ⋯ a m ) \\bm A= \\begin\{pmatrix\} \\bm a\_1 & \\bm a\_2 & \\cdots & \\bm a\_m \\\\ \\end\{pmatrix\} A=(a1a2⋯am)  
则向量  b \\bm b b 能由向量组 A 线性表示可写成  
 b = A ( k 1 k 2 ⋮ k m ) \\bm b=\\bm \{A\} \\begin\{pmatrix\} k\_1 \\\\ k\_2 \\\\ \\vdots \\\\ k\_m \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ b=Ak1k2⋮km  
有解，即  R ( A ) = R ( A , b ) R(\\bm A)=R(\\bm A,\\bm b) R(A)=R(A,b) .

向量组的线性表示 给定向量组 A:  
 a 1 , a 2 , ⋯   , a m \\bm\{a\}\_1,\\bm\{a\}\_2,\\cdots,\\bm\{a\}\_m a1,a2,⋯,am 和 B:  b 1 , b 2 , ⋯   , b l \\bm\{b\}\_1,\\bm\{b\}\_2,\\cdots,\\bm\{b\}\_l b1,b2,⋯,bl ，若 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。类似地，有  
 B = A ( k 11 k 12 ⋯ k 1 l k 21 k 22 ⋯ k 2 l ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ k m 1 k m 2 ⋯ k m l ) \\bm B=\\bm A \\begin\{pmatrix\} k\_\{11\} & k\_\{12\} & \\cdots & k\_\{1l\} \\\\ k\_\{21\} & k\_\{22\} & \\cdots & k\_\{2l\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ k\_\{m1\} & k\_\{m2\} & \\cdots & k\_\{ml\} \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ B=Ak11k21⋮km1k12k22⋮km2⋯⋯⋱⋯k1lk2l⋮kml  
有解，即  R ( A ) = R ( A , B ) R(\\bm A)=R(\\bm A,\\bm B) R(A)=R(A,B) .

向量组等价 给定向量组 A 和 B ，如果它们能互相线性表示，则称这两个向量组等价。类似地，有  
 B = A ( p 11 p 12 ⋯ p 1 l p 21 p 22 ⋯ p 2 l ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ p m 1 p m 2 ⋯ p m l ) A = B ( q 11 q 12 ⋯ q 1 l q 21 q 22 ⋯ q 2 l ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ q m 1 q m 2 ⋯ q m l ) \\bm B=\\bm A \\begin\{pmatrix\} p\_\{11\} & p\_\{12\} & \\cdots & p\_\{1l\} \\\\ p\_\{21\} & p\_\{22\} & \\cdots & p\_\{2l\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ p\_\{m1\} & p\_\{m2\} & \\cdots & p\_\{ml\} \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ \\bm A=\\bm B \\begin\{pmatrix\} q\_\{11\} & q\_\{12\} & \\cdots & q\_\{1l\} \\\\ q\_\{21\} & q\_\{22\} & \\cdots & q\_\{2l\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ q\_\{m1\} & q\_\{m2\} & \\cdots & q\_\{ml\} \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ B=Ap11p21⋮pm1p12p22⋮pm2⋯⋯⋱⋯p1lp2l⋮pmlA=Bq11q21⋮qm1q12q22⋮qm2⋯⋯⋱⋯q1lq2l⋮qml  
有解，即  R ( A ) = R ( A , B ) = R ( B ) R(\\bm A)=R(\\bm A,\\bm B)=R(\\bm B) R(A)=R(A,B)=R(B)

### 4.2 向量组的线性相关性 ###

向量组的线性相关性 给定向量组 A:  a 1 , a 2 , ⋯   , a m \\bm\{a\}\_1,\\bm\{a\}\_2,\\cdots,\\bm\{a\}\_m a1,a2,⋯,am ，如果存在不全为零的数  k 1 , k 2 , ⋯   , k m k\_1,k\_2,\\cdots,k\_m k1,k2,⋯,km ，使  
 ∑ i = 1 m k i a i = 0 \\sum\_\{i=1\}^\{m\} k\_i\\bm\{a\}\_i=\\bm 0 \\\\ i=1∑mkiai=0  
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的。

向量组 A 线性相关的充分必要条件是  R ( A ) < m R(\\bm A)<m R(A)<m  
向量组 A 线性无关的充分必要条件是  R ( A ) = m R(\\bm A)=m R(A)=m

### 4.3 向量组的秩 ###

向量组的秩 给定向量组 A ，如果能在 A 中选出 r 个向量  a 1 , a 2 , ⋯   , a r \\bm a\_1,\\bm a\_2,\\cdots,\\bm a\_r a1,a2,⋯,ar，满足

向量组  A 0 : a 1 , a 2 , ⋯   , a r A\_0:\\bm a\_1,\\bm a\_2,\\cdots,\\bm a\_r A0:a1,a2,⋯,ar 线性无关  
向量组 A 中任意 r+1 个向量都线性相关  
则称向量组 A\_0 是向量组 A 的一个最大线性无关组，简称最大无关组， r 称为向量组 A 的秩，记作  R A R\_A RA .

定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

### 4.4 线性方程组解的结构 ###

对于一个向量方程  A x = 0 \\bm\{Ax\}=\\bm 0 Ax=0 ：

若  x = ξ 1 , x = ξ 2 \\bm x=\\bm\\xi\_1, \\bm x=\\bm\\xi\_2 x=ξ1,x=ξ2是该方程的解，则  x = ξ 1 + ξ 2 \\bm x=\\bm\\xi\_1+\\bm\\xi\_2 x=ξ1\+ξ2 也是该方程的解  
若  x = ξ 1 \\bm x=\\bm\\xi\_1 x=ξ1是该方程的解，则  x = k ξ 1 ( k ∈ R ) \\bm x=k\\bm\\xi\_1~(k\\in\\mathbb R) x=kξ1(k∈R) 也是该方程的解  
基础解系 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。

齐次线性方程组解的结构 设向量方程  A x = 0 \\bm\{Ax\}=\\bm 0 Ax=0的系数矩阵  A \\bm A A 的秩为 r ，则增广矩阵  ( A , 0 ) (\\bm A,\\bm 0) (A,0)的行最简形矩阵为  
 ( 1 ⋯ 0 b 11 ⋯ b 1 , n − r 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 b r 1 ⋯ b r , n − r 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 0 ) \\begin\{pmatrix\} 1 & \\cdots & 0 & b\_\{11\} & \\cdots & b\_\{1,n-r\} & 0 \\\\ \\vdots & & \\vdots & \\vdots & & \\vdots & \\vdots \\\\ 0 & \\cdots & 1 & b\_\{r1\} & \\cdots & b\_\{r,n-r\} & 0 \\\\ 0 & & & \\cdots & & 0 & 0 \\\\ \\vdots & & & & & \\vdots & \\vdots \\\\ 0 & & & \\cdots & & 0 & 0 \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ 1⋮00⋮0⋯⋯0⋮1b11⋮br1⋯⋯⋯⋯b1,n−r⋮br,n−r0⋮00⋮00⋮0  
则有  
 \{ x 1 = − b 11 x r + 1 − ⋯ − b 1 , n − r x n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ x r = − b r 1 x r + 1 − ⋯ − b r , n − r x n \\begin\{cases\} x\_1 = -b\_\{11\}x\_\{r+1\}-\\cdots-b\_\{1,n-r\}x\_n \\\\ \\cdots\\cdots\\cdots\\cdots \\\\ x\_r = -b\_\{r1\}x\_\{r+1\}-\\cdots-b\_\{r,n-r\}x\_n \\\\ \\end\{cases\} \\\\ ⎩⎨⎧x1=−b11xr\+1−⋯−b1,n−rxn⋯⋯⋯⋯xr=−br1xr\+1−⋯−br,n−rxn  
令  x r + 1 , ⋯   , x n x\_\{r+1\},\\cdots,x\_n xr\+1,⋯,xn作为自由变量，并令它们依次等于  c 1 , ⋯   , c n − r c\_1,\\cdots,c\_\{n-r\} c1,⋯,cn−r，可得齐次线性方程组的通解  
 ( x 1 ⋮ x r x r + 1 x r + 2 ⋮ x n ) = c 1 ( − b 11 ⋮ − b r 1 1 0 ⋮ 0 ) + c 2 ( − b 12 ⋮ − b r 2 0 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + c n − r ( − b 1 , n − r ⋮ − b r , n − r 0 0 ⋮ 1 ) \\begin\{pmatrix\} x\_1 \\\\ \\vdots \\\\ x\_r \\\\ x\_\{r+1\} \\\\ x\_\{r+2\} \\\\ \\vdots \\\\ x\_n \\\\ \\end\{pmatrix\} =c\_1 \\begin\{pmatrix\} -b\_\{11\} \\\\ \\vdots \\\\ -b\_\{r1\} \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\\\ \\end\{pmatrix\} +c\_2 \\begin\{pmatrix\} -b\_\{12\} \\\\ \\vdots \\\\ -b\_\{r2\} \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\\\ \\end\{pmatrix\} +\\cdots+c\_\{n-r\} \\begin\{pmatrix\} -b\_\{1,n-r\} \\\\ \\vdots \\\\ -b\_\{r,n-r\} \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \\\\ 1 \\\\ \\end\{pmatrix\} \\\\ x1⋮xrxr\+1xr\+2⋮xn=c1−b11⋮−br110⋮0\+c2−b12⋮−br201⋮0\+⋯\+cn−r−b1,n−r⋮−br,n−r00⋮1  
把上式记作  x = ∑ i = 1 n − r c i ξ i \\bm x=\\sum\_\{i=1\}^\{n-r\}c\_i\\bm\\xi\_i x=∑i=1n−rciξi，则  ξ i \\bm\\xi\_i ξi为齐次线性方程组的基础解系。

定理 设  m × n m \\times n m×n矩阵  A \\bm A A的秩  R ( A ) = r R(\\bm A)=r R(A)=r ，则 n 元齐次线性方程组  A x = 0 \\bm\{Ax\}=\\bm 0 Ax=0的解集 S 的秩  R S = n − r R\_S=n-r RS=n−r

对于一个向量方程  A x = b \\bm\{Ax\}=\\bm b Ax=b ：

若 x = η 1 , x = η 2 \\bm x=\\bm\\eta\_1,\\bm x=\\bm\\eta\_2 x=η1,x=η2是该方程的解，则  x = η 1 − η 2 \\bm x=\\bm\\eta\_1-\\bm\\eta\_2 x=η1−η2是方程  A x = 0 \\bm\{Ax\}=\\bm 0 Ax=0 的解  
若  x = η \\bm x=\\bm\\eta x=η 是该方程的解，  x = ξ \\bm x=\\bm\\xi x=ξ是方程  A x = 0 \\bm\{Ax\}=\\bm 0 Ax=0 的解，则  x = ξ + η \\bm x=\\bm\\xi+\\bm\\eta x=ξ\+η也是方程  A x = 0 \\bm\{Ax\}=\\bm 0 Ax=0的解  
非齐次线性方程组解的结构 向量方程  A x = b \\bm\{Ax\}=\\bm b Ax=b 的通解为  
 x = η ∗ + ∑ i = 1 n − r c i ξ i \\bm x=\\bm\\eta^\*+\\sum\_\{i=1\}^\{n-r\}c\_i\\bm\\xi\_i \\\\ x=η∗\+i=1∑n−rciξi  
其中  ∑ i = 1 n − r c i ξ i \\sum\_\{i=1\}^\{n-r\}c\_i\\bm\\xi\_i ∑i=1n−rciξi 是方程  A x = 0 \\bm\{Ax\}=\\bm 0 Ax=0 的通解，  η ∗ \\bm\\eta^\* η∗是方程  A x = b \\bm\{Ax\}=\\bm b Ax=b 的任一解（称为特解）。

### 4.5 向量空间 ###

向量空间 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 满足  
 V ≠ ϕ ∀ a , b ∈ V , k ∈ R , s . t . a + b ∈ V , k a ∈ V V\\ne\\phi \\forall \\bm a,\\bm b\\in V,~k\\in\\mathbb R,~s.t.~\\bm a+\\bm b\\in V,~k\\bm a\\in V V=ϕ∀a,b∈V,k∈R,s.t.a\+b∈V,ka∈V

则称集合 V 为向量空间。特别地，全体 n 维向量构成的向量空间记作  R n \\mathbb R^n Rn.

一般地，由向量组  a 1 , a 2 , ⋯   , a m \\bm a\_1,\\bm a\_2,\\cdots,\\bm a\_m a1,a2,⋯,am 所张成的向量空间为  
 L = \{ x = ∑ i = 1 m k i a i ∣ k 1 , ⋯   , k m ∈ R \} L=\\\{\\bm x=\\sum\_\{i=1\}^\{m\}k\_i\\bm a\_i | k\_1,\\cdots,k\_m\\in\\mathbb R\\\} \\\\ L=\{ x=i=1∑mkiai∣k1,⋯,km∈R\}  
等价向量空间 给定向量空间  
 L 1 = \{ x = ∑ i = 1 m k i a i ∣ k 1 , ⋯   , k m ∈ R \} L 2 = \{ x = ∑ i = 1 m k i b i ∣ k 1 , ⋯   , k m ∈ R \} L\_1=\\\{\\bm x=\\sum\_\{i=1\}^\{m\}k\_i\\bm a\_i | k\_1,\\cdots,k\_m\\in\\mathbb R\\\} \\\\ L\_2=\\\{\\bm x=\\sum\_\{i=1\}^\{m\}k\_i\\bm b\_i | k\_1,\\cdots,k\_m\\in\\mathbb R\\\} \\\\ L1=\{ x=i=1∑mkiai∣k1,⋯,km∈R\}L2=\{ x=i=1∑mkibi∣k1,⋯,km∈R\}  
若向量组  a 1 , a 2 , ⋯   , a m 和 b 1 , b 2 , ⋯   , b m \\bm a\_1,\\bm a\_2,\\cdots,\\bm a\_m 和 \\bm b\_1,\\bm b\_2,\\cdots,\\bm b\_m a1,a2,⋯,am和b1,b2,⋯,bm等价，则向量空间  L 1 L\_1 L1和  L 2 L\_2 L2 等价。

子空间 给定向量空间 V 和  V s u b V\_\{sub\} Vsub ，若  V s u b ⊆ V V\_\{sub\}\\subseteq V Vsub⊆V ，则称  V s u b V\_\{sub\} Vsub是 V 的子空间。

基 设 V 为向量空间，若  a i ∈ V ( 1 ≤ i ≤ r ) \\bm a\_i\\in V~(1\\leq i\\leq r) ai∈V(1≤i≤r) ，且满足

a i \\bm a\_i ai 线性无关  
 v ∈ V , s . t . v = ∑ i = 1 r k i a i ( k i ∈ R ) \\bm v\\in V,~s.t.~\\bm v=\\sum\_\{i=1\}^\{r\}k\_i\\bm a\_i~(k\_i\\in\\mathbb R) v∈V,s.t.v=∑i=1rkiai(ki∈R)  
那么，向量组  a 1 , a 2 , ⋯   , a m \\bm a\_1,\\bm a\_2,\\cdots,\\bm a\_m a1,a2,⋯,am就称为向量空间 V 的一个基， r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为r 维向量空间。

如果在向量空间 V 中取定一个基  a 1 , a 2 , ⋯   , a r \\bm a\_1,\\bm a\_2,\\cdots,\\bm a\_r a1,a2,⋯,ar，那么 V 中任一向量  x \\bm x x 可惟一表示为  
 x = ∑ i = 1 r k i a i \\bm x=\\sum\_\{i=1\}^\{r\}k\_i\\bm a\_i \\\\ x=i=1∑rkiai  
数组  ( k 1 , k 2 , ⋯   , k r ) (k\_1,k\_2,\\cdots,k\_r) (k1,k2,⋯,kr)称为向量  x \\bm x x在基  a 1 , a 2 , ⋯   , a r \\bm a\_1,\\bm a\_2,\\cdots,\\bm a\_r a1,a2,⋯,ar 中的坐标。