矩阵、向量

Myth丶恋晨 2023-09-29 08:41 129阅读 0赞

数学：矩阵、向量

*  什么是矩阵和向量
 *  矩阵的加法,乘法
 *  矩阵的逆和转置
 *  应用np.matmul、np.dot实现矩阵运算

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### 1 矩阵和向量 ###

#### 1.1 矩阵 ####

矩阵，英文matrix，**和array的区别矩阵必须是2维的，但是array可以是多维的。**

如图:这个是 3×2 矩阵，即 3 行 2 列，如 m 为行，n 为列，那么 m×n 即 3×2  
 \[ 1 2 3 4 5 6 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 6 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎡135246⎦⎤  
矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素(矩阵项):  
 A = \[ 1 2 3 4 5 6 \] A = \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 6 \\end\{matrix\} \\right\] A=⎣⎡135246⎦⎤  
Aij 指第 i 行，第 j 列的元素。

#### 1.2 向量 ####

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，下面展示的就是三维列  
向量(3×1)。)  
 A = \[ 1 2 3 \] A = \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end\{matrix\} \\right\] A=⎣⎡123⎦⎤

### 2 加法和标量乘法 ###

矩阵的加法:行列数相等的可以加。

例:  
 \[ 1 2 3 4 5 6 \] + \[ 1 2 3 4 5 6 \] = \[ 2 4 6 8 10 12 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 6 \\end\{matrix\} \\right\] + \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 6 \\end\{matrix\} \\right\] = \\left\[ \\begin\{matrix\} 2 & 4 \\\\ 6 & 8 \\\\ 10 & 12 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎡135246⎦⎤\+⎣⎡135246⎦⎤=⎣⎡26104812⎦⎤  
矩阵的乘法:每个元素都要乘。

例:  
 3 ∗ \[ 1 2 3 4 5 6 \] = \[ 3 6 9 12 15 18 \] 3 \* \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 6 \\end\{matrix\} \\right\] = \\left\[ \\begin\{matrix\} 3 & 6 \\\\ 9 & 12 \\\\ 15 & 18 \\end\{matrix\} \\right\] 3∗⎣⎡135246⎦⎤=⎣⎡391561218⎦⎤  
组合算法也类似。

### 3 矩阵向量乘法 ###

矩阵和向量的乘法如图：m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量，得到的是 m×1 的向量

例:  
 \[ 1 3 4 0 2 1 \] ∗ \[ 1 5 \] = \[ 16 4 7 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 3 \\\\ 4 & 0 \\\\ 2 & 1 \\end\{matrix\} \\right\] \* \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 \\\\ 5 \\end\{matrix\} \\right\] = \\left\[ \\begin\{matrix\} 16 \\\\ 4 \\\\ 7 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎡142301⎦⎤∗\[15\]=⎣⎡1647⎦⎤

1*1+3*5 = 16
    4*1+0*5 = 4
    2*1+1*5 = 7

**矩阵乘法遵循准则：**

**(M行, N列)\*(N行, L列) = (M行, L列)**

### 4 矩阵乘法 ###

矩阵乘法：

m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵，变成 m×o 矩阵。

举例：比如说现在有两个矩阵 A 和 B，那 么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTMyNTA4NjE_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

*  ##### 练一练 #####

A = \[ 1 2 3 4 5 6 7 8 0 \] B = \[ 1 2 1 1 1 2 2 1 1 \] A= \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 0 \\end\{matrix\} \\right\] B= \\left\[ \\begin\{matrix\} 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 1 \\end\{matrix\} \\right\] A=⎣⎡147258360⎦⎤B=⎣⎡112211121⎦⎤

求矩阵AB的结果

答案：  
 B = \[ 1 ∗ 1 + 2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 1 ∗ 2 + 2 ∗ 1 + 3 ∗ 1 1 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 3 ∗ 1 4 ∗ 1 + 5 ∗ 1 + 6 ∗ 2 4 ∗ 2 + 5 ∗ 1 + 6 ∗ 1 4 ∗ 1 + 5 ∗ 2 + 6 ∗ 1 7 ∗ 1 + 8 ∗ 1 + 0 ∗ 2 7 ∗ 2 + 8 ∗ 1 + 0 ∗ 1 7 ∗ 1 + 8 ∗ 2 + 0 ∗ 1 \] = \[ 9 7 8 21 19 20 15 22 23 \] B= \\left\[ \\begin\{matrix\} 1\*1+2\*1+3\*2 & 1\*2+2\*1+3\*1 & 1\*1+2\*2+3\*1 \\\\ 4\*1+5\*1+6\*2 & 4\*2+5\*1+6\*1 & 4\*1+5\*2+6\*1 \\\\ 7\*1+8\*1+0\*2 & 7\*2+8\*1+0\*1 & 7\*1+8\*2+0\*1 \\end\{matrix\} \\right\] =\\left\[ \\begin\{matrix\} 9 & 7 & 8 \\\\ 21 & 19 & 20 \\\\ 15 & 22 & 23 \\end\{matrix\} \\right\] B=⎣⎡1∗1\+2∗1\+3∗24∗1\+5∗1\+6∗27∗1\+8∗1\+0∗21∗2\+2∗1\+3∗14∗2\+5∗1\+6∗17∗2\+8∗1\+0∗11∗1\+2∗2\+3∗14∗1\+5∗2\+6∗17∗1\+8∗2\+0∗1⎦⎤=⎣⎡921157192282023⎦⎤

### 5 矩阵乘法的性质 ###

矩阵的乘法不满足交换律：A×B≠B×A

矩阵的乘法满足结合律。即：A×（B×C）=（A×B）×C

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称 这种矩阵为**单位矩阵**．它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，从 左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。如：

![在这里插入图片描述][20201024184343438.png_pic_center]

### 6 逆、转置 ###

矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：

AA\-1 = A\-1A = I

**低阶矩阵求逆的方法:**

1.待定系数法

2.初等变换

矩阵的转置：设 A 为 m×n 阶矩阵（即 m 行 n 列），第 i 行 j 列的元素是 a(i,j)，即：

A=a(i,j)

定义 A 的转置为这样一个 n×m 阶矩阵 B，满足 B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素），记 AT =B。

直观来看，将 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作 镜面反转，即得到 A 的转置。

例：  
 \[ a b c d e f \] T = \[ a c e b d f \] \\left\[ \\begin\{matrix\} a & b \\\\ c & d \\\\ e & f \\end\{matrix\} \\right\]^T =\\left\[ \\begin\{matrix\} a & c & e \\\\ b & d & f \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎡acebdf⎦⎤T=\[abcdef\]

### 7 矩阵运算 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTMyNTA4NjE_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

\[ 80 86 82 80 85 78 90 90 86 82 82 90 78 80 92 94 \] ∗ \[ 0.3 0.7 \] = \[ 84.2 80.6 80.1 90 83.2 87.6 79.4 93.4 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} 80 & 86 \\\\ 82 & 80 \\\\ 85 & 78 \\\\ 90 & 90 \\\\ 86 & 82 \\\\ 82 & 90 \\\\ 78 & 80 \\\\ 92 & 94 \\end\{matrix\} \\right\]\* \\left\[ \\begin\{matrix\} 0.3 \\\\ 0.7 \\end\{matrix\} \\right\]= \\left\[ \\begin\{matrix\} 84.2 \\\\ 80.6 \\\\ 80.1 \\\\ 90 \\\\ 83.2 \\\\ 87.6 \\\\ 79.4 \\\\ 93.4 \\end\{matrix\} \\right\] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡80828590868278928680789082908094⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∗\[0.30.7\]=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡84.280.680.19083.287.679.493.4⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

#### 7.1 矩阵乘法api： ####

*  np.matmul
 *  np.dot

>>> a = np.array([[80, 86],
    [82, 80],
    [85, 78],
    [90, 90],
    [86, 82],
    [82, 90],
    [78, 80],
    [92, 94]])
    >>> b = np.array([[0.7], [0.3]])
    
    >>> np.matmul(a, b)
    array([[81.8],
           [81.4],
           [82.9],
           [90. ],
           [84.8],
           [84.4],
           [78.6],
           [92.6]])
    
    >>> np.dot(a,b)
    array([[81.8],
           [81.4],
           [82.9],
           [90. ],
           [84.8],
           [84.4],
           [78.6],
           [92.6]])

**np.matmul和np.dot的区别:**

*  二者都是矩阵乘法。
 *  np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。
 *  在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。

### 8 小结 ###

*  1.矩阵和向量
    
     *  矩阵就是特殊的二维数组
     *  向量就是一行或者一列的数据
 *  2.矩阵加法和标量乘法
    
     *  矩阵的加法:行列数相等的可以加。
     *  矩阵的乘法:每个元素都要乘。
 *  3.矩阵和矩阵(向量)相乘
    
     *  (M行, N列)\*(N行, L列) = (M行, L列)
 *  4.矩阵性质
    
     *  矩阵不满足交换率,满足结合律
 *  5.单位矩阵
    
     *  对角线都是1的矩阵,其他位置都为0
 *  6.矩阵运算
    
     *  np.matmul
     *  np.dot
     *  注意：二者都是矩阵乘法。 np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。 在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。

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