【刷题笔记】之二分查找（搜索插入位置。在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置、x的平方根、有效的完全平方数）

清疚 2023-09-25 15:49 11阅读 0赞

## 1. 二分查找 ##

题目链接 [704. 二分查找 - 力扣（LeetCode）][704. _ - _LeetCode]

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

**示例 1:**

> 输入: nums = \[-1,0,3,5,9,12\], target = 9  
> 输出: 4  
> 解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

**示例 2:**

> 输入: nums = \[-1,0,3,5,9,12\], target = 2  
> 输出: -1  
> 解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

**提示：**

1.  你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。

1.  n 将在 \[1, 10000\]之间。

1.  nums 的每个元素都将在 \[-9999, 9999\]之间。

### 思路 ###

进行二分查找的前置条件：**数组有序并且数组中无重复元素**

写二分查找题的代码，需要考虑清楚边界条件，比如应该是 while(left < right) 还是 where(left <= right)，应该是 right = mid - 1 还是 right = mid

主要在写代码时要考虑清楚**区间的范围**，必须要在二分查找的过程中，根据范围保持不变量，也就是在 while 中每一次边界的处理根据区间进行操作

写二分查找，区间的定义一般有两种，左闭右闭 \[left , right\]，左闭右开 \[left , right)

### 写法一：左闭右闭 ###

首先明确，我们定义的 target 是在区间 \[left , right\] 中，其次根据范围确定两点

*  while (left <= right) 这里要使用 <=，因为是左闭右闭的区间， left == right 有意义

*  if (nums\[mid\] > target) right = mid - 1，因为 nums\[mid\] > target，所以当前这个 nums\[mid\] 一定不是 target，并且是左闭右闭区间，所以缩小范围，right = mid - 1

class Solution {
        public int search(int[] nums, int target) {
            int left = 0, right = nums.length - 1;
            if (target < nums[left] || target > nums[right]) {
                return -1;
            }
            while (left <= right) {
                int mid = left + (right - left)/2;
                if (nums[mid] > target) {
                    right = mid - 1;
                } else if (nums[mid] < target) {
                    left = mid + 1;
                } else {
                    return mid;
                }
            }
            return -1;
        }
    }

### 写法二：左闭右开 ###

首先明确，我们定义的 target 是在区间 \[left , right) 中，其次根据范围确定两点

*  while (left < right) 这里要使用 <， left == right 没有意义，因为是左闭右开的区间

*  if (nums\[mid\] > target) right = mid ，因为 nums\[mid\] > target，所以当前这个 nums\[mid\] 一定不是 target，那么就要去左区间寻找，因为区间范围是左闭右开的，所以 right = mid，下一次查询区间不会去比较 nums\[mid\]

class Solution {
        public int search(int[] nums, int target) {
            int left = 0, right = nums.length;
            while (left < right) {
                int mid = left + (right - left)/2;
                if (nums[mid] > target) {
                    right = mid;
                } else if (nums[mid] < target) {
                    left = mid + 1;
                } else {
                    return mid;
                }
            }
            return -1;
        }
    }

## 2. 搜索插入位置 ##

题目链接：[35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）][35. _ - _LeetCode]

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

**示例 1:**

> 输入: nums = \[1,3,5,6\], target = 5  
> 输出: 2

**示例 2:**

> 输入: nums = \[1,3,5,6\], target = 2  
> 输出: 1

**示例 3:**

> 输入: nums = \[1,3,5,6\], target = 7  
> 输出: 4

**提示:**

1.  1 <= nums.length <= 104

1.  \-104 <= nums\[i\] <= 104

1.  nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组

1.  \-104 <= target <= 104

### 思路 ###

在数组中插入目标值 target，只有这四种情况

![5c2f862c2bfd4bfd36100f90e3ded800.png][]

*  target 在数组所有元素之前

*  target == 数组中某一个元素

*  target 插入数组中位置

*  target 在数组所有元素之后

### 写法一：暴力解法 ###

这道题最为直接的暴力解法，遍历数组中每个元素，只要发现遍历到某个元素 >= target 时直接返回下标，如果遍历完 target 是最大的那就返回 nums.length 直接插入到最后

class Solution {
        public int searchInsert(int[] nums, int target) {
            for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
                if(target <= nums[i]) {
                    return i;
                }
            }
            return nums.length;
        }
    }

*  时间复杂度 O(n)

*  空间复杂度 O(1)

### 写法二：二分法 ###

使用二分法前提，数组有序，并且无重复元素

**确定边界 \[left , right\]**

class Solution {
        public int searchInsert(int[] nums, int target) {
            int left = 0, right = nums.length - 1;
            while(left <= right) {
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(nums[mid] == target) {
                    return mid;
                } else if(nums[mid] < target) {
                    left = mid + 1;
                } else {
                    right = mid - 1;
                }
            }
            // 分析四种上面四种插入的情况
            // target 在数组所有元素之前 0
            // target == 数组某个元素  mid
            // target 插入到数组中某个位置 right + 1 
            // target 在数组所有元素之后 right + 1
            return right + 1;
        }
    }

*  时间复杂度 O(log n)

*  空间复杂度 O(1)

## 3. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 ##

题目链接：[34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）][34. _ - _LeetCode]

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 \[-1, -1\]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

**示例 1：**

> 输入：nums = \[5,7,7,8,8,10\], target = 8  
> 输出：\[3,4\]

**示例 2：**

> 输入：nums = \[5,7,7,8,8,10\], target = 6  
> 输出：\[-1,-1\]

**示例 3：**

> 输入：nums = \[\], target = 0  
> 输出：\[-1,-1\]

**提示：**

1.  0 <= nums.length <= 105

1.  \-109 <= nums\[i\] <= 109

1.  nums 是一个非递减数组

1.  \-109 <= target <= 109

### 思路： ###

寻找 target 在数组中的左右边界，有这三种情况：

1.  target 在数组范围的右边或左边，比如数组 \{3,4,5\}，target = 2 或 target = 6，此时应该返回 \{-1，-1\}

1.  target 在数组范围中，且数组中不存在 target，比如数组 \{3,4,7\}，target = 6，此时应该返回 \{-1，-1\}

1.  target 在数组范围中，且数组中存在 target，比如数组 \{3,4,5\}，target = 4，此时应该返回 \{1, 1\}

下面就是找左右边界了，采用二分法寻找左右边界

### 写法一：二分法 ###

二分查找，寻找 target 的右边界（不包括 target）

如果 rightBorder 为没有被赋值（即 target 在数组范围的左边，比如 数组 \{3,3\}，target = 2，为了处理这种情况）

class Solution {
        public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
            int leftBorder = getLeftBorder(nums, target);
            int rightBorder = getRightBorder(nums, target);
    
            // 情况一
            if (leftBorder == -2 || rightBorder == -2) {
                return new int[]{-1, -1};
            } 
            // 情况三
            if (rightBorder - leftBorder > 1) {
                return new int[]{leftBorder+1, rightBorder-1};
            }
            // 情况二
            return new int[]{-1, -1};
        }
    
        private int getLeftBorder(int[] nums, int target) {
            int left = 0, right = nums.length - 1;
            int leftBorder = -2;
            while (left <= right) {
                int mid = left + (right - left)/2;
                if (target <= nums[mid]) {
                    // 找左边界，nums[mid]==target 时更新 right
                    right = mid - 1;
                    leftBorder = right;
                } else {
                    left = mid + 1;
                }
            }
            return leftBorder;
        }
    
        private int getRightBorder(int[] nums, int target) {
            int left = 0, right = nums.length - 1;
            int rightBorder = -2;
            while (left <= right) {
                int mid = left + (right - left)/2;
                if (target >= nums[mid]) {
                    //找右边界，nums[mid]==target 时更新 left
                    left = mid + 1;
                    rightBorder = left;
                } else {
                    right = mid - 1;
                }
            }
            return rightBorder;
        }
    }

### 写法二：二分法+双指针（推荐） ###

1.  在 nums 数组中二分查找 target

1.  如果二分查找失败，则 binarySearch 返回 -1，表名 nums 中没有 target，此时直接返回 \{-1，-1\}

1.  如果二分查找成功，则 binarySearch 返回 nums 中值为 target 的一个下标，**通过左右滑动指针**，来找到符合题意的区间

class Solution {
        public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
            int index = binarySearch(nums, target);
            if(index == -1) {
                return new int[]{-1,-1};
            }    
            int left = index, right = index;
            while(left - 1 >= 0 && nums[left - 1] == target) {
                left--;
            }
            while(right + 1 <= nums.length - 1 && nums[right + 1] == target) {
                right++;
            }
            return new int[]{left,right};
        }
    
        private int binarySearch(int[] nums, int target) {
            int left = 0, right = nums.length - 1;
            while(left <= right) {
                int mid = left + (right - left)/2;
                if(target == nums[mid]) {
                    return mid;
                } else if(target < nums[mid]) {
                    right = mid - 1;
                } else {
                    left = mid + 1;
                }
            }
            return -1;
        }
    }

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## 4. x 的平方根 ##

题目链接：[69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）][69. x _ - _LeetCode]

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x \*\* 0.5 。

**示例 1：**

> 输入：x = 4  
> 输出：2

**示例 2：**

> 输入：x = 8  
> 输出：2  
> 解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

**提示：**

0 <= x <= 231 - 1

class Solution {
        public int mySqrt(int x) {
            long left = 0,right = x,ans = -1;
            while(left <= right) {
                long mid = left + (right - left)/2;
                if((long)(mid*mid) <= x) {
                    ans = mid;
                    left = mid + 1;
                } else {
                    right = mid - 1;
                }
            }
            return (int)ans;
        }
    }

## 5. 有效的完全平方数 ##

题目链接：[367. 有效的完全平方数 - 力扣（LeetCode）][367. _ - _LeetCode]

给你一个正整数 num 。如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

完全平方数 是一个可以写成某个整数的平方的整数。换句话说，它可以写成某个整数和自身的乘积。

不能使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

**示例 1：**

> 输入：num = 16  
> 输出：true  
> 解释：返回 true ，因为 4 \* 4 = 16 且 4 是一个整数。

**示例 2：**

> 输入：num = 14  
> 输出：false  
> 解释：返回 false ，因为 3.742 \* 3.742 = 14 但 3.742 不是一个整数。

**提示：**

1 <= num <= 231 - 1

class Solution {
        public boolean isPerfectSquare(int num) {
            int left = 0, right = num;
            while(left <= right) {
                int mid = left + (right - left)/2;
                long square = (long)mid*mid;
                if(square > num) {
                    right = mid - 1;
                } else if(square < num) {
                   left = mid + 1;
                } else {
                    return true;
                }
            }
            return false;
        }
    }

[704. _ - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/binary-search/
[35. _ - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/
[5c2f862c2bfd4bfd36100f90e3ded800.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/5c2f862c2bfd4bfd36100f90e3ded800.png
[34. _ - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/
[69. x _ - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/sqrtx/
[367. _ - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/valid-perfect-square/