导数中的题型和破解思路【三轮总结】

水深无声 2023-08-17 17:31 8阅读 0赞

## 前言 ##

> 导数章节中的题型总结，编辑中。。。

## 知识储备 ##

> 本节用到的数学思想：分类讨论；转化划归；数形结合；函数与方程；

> 本节用到的数学方法：导数法，多项式除法，试商法，分组分解法，分离参数法，

> 恒成立、能成立类命题

## 题型结构图1 ##

graph TD A((导数章节题型总结1))-->B\{求曲线或函数的切线\} A-->C\{判定函数的单调性或求单调区间\} A-->D\{已知单调性求参数取值范围\} A-->E\{存在单调性求参数取值范围\} A-->F\{已知函数极值点求参数取值范围\}

## 题型归类 ##

题型Ⅰ求曲线\$f(x，y)=0\$或函数\$y=f(x)\$的切线

>  *  类型1：一曲线一直线的单切线形

思路方法：若是在点处，利用点斜式写出切线方程：\$y-f(x\_0)=f'(x\_0)(x-x\_0)\$；若是过点处，则设切点\$(x\_0，y\_0)\$，然后利用方程组求切点，再代入计算切线即可。

例1【在点处】【2017全国卷1文科第14题高考真题】曲线\$y=x^2+\\frac\{1\}\{x\}\$在点\$(1，2)\$处的切线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：利用点斜式来求解，

其中斜率\$k=f'(x)\_\{|x=1\}=(2x-\\cfrac\{1\}\{x^2\})\_\{|x=1\}=1\$，切点是\$(1，2)\$，

故切线方程为\$y-2=1(x-1)\$，整理为\$y=x+1\$。

例2【过点处】：求曲线\$C:y=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3+\\cfrac\{4\}\{3\}\$经过点\$P(2，4)\$的切线方程；（\$4x-y-4=0\$或\$x-y+2=0\$）

分析：设经过点\$P(2，4)\$的切线方程与曲线相切于点\$P\_0(x\_0，y\_0)\$，则有

\$\\begin\{cases\}y\_0=\\cfrac\{1\}\{3\}x\_0^3+\\cfrac\{4\}\{3\}\\\\ k=f'(x\_0)=x\_0^2\\\\ y-y\_0=f'(x\_0)(x-x\_0) \\end\{cases\}\$

又因为点\$P(2，4)\$在切线方程上，则有\$4-(\\cfrac\{1\}\{3\}x\_0^3+\\cfrac\{4\}\{3\})=x\_0^2(2-x\_0)\$

整理得到，\$x\_0^3-3x\_0^2+4=0\$

\$x\_0^3-3x\_0^2+4=(x\_0^3+1)-3(x\_0^2-1)\$

\$=(x\_0+1)(x\_0^2-x\_0+1)-3(x\_0+1)(x\_0-1)\$

\$=(x\_0+1)(x\_0^2-x\_0+1-3x\_0+3)\$

\$=(x\_0+1)(x\_0-2)^2=0\$；

即\$(x\_0+1)(x\_0-2)^2=0\$，解得\$x\_0=-1\$，或\$x\_0=2\$

当\$x\_0=-1\$时，切点为\$(-1，1)\$，\$k\_1=1\$，切线方程为\$x-y+2=0\$；

当\$x\_0=2\$时，切点为\$(2，4)\$，\$k\_2=4\$，切线方程为\$4x-y-4=0\$；

注意：常用的变形方法有试商法、分组分解法、多项式除法；

>  *  类型2：两曲线一直线的公切线型

思路方法：转化为一曲线和一直线型；或者利用同一法求解

例3(2017•潍坊模拟)若存在过点\$(1，0)\$的直线与曲线\$y＝x^3\$和\$y＝ax^2+\\cfrac\{15\}\{4\}x-9\$都相切，则\$a\$等于【 】

$A.-1或-\\cfrac\{25\}\{64\}$ $B.-1或-\\cfrac\{21\}\{4\}$ $C.-\\cfrac\{7\}\{4\}或-\\cfrac\{25\}\{64\}$ $D.-\\cfrac\{7\}\{4\}或7$

分析：本题目属于公切线问题，可以先求得过点\$(1，0)\$处的与\$y=x^3\$相切的直线，然后联立该直线和抛物线(二次函数)，利用\$\\Delta=0\$来保证另一个相切的成立。

解析：设过点\$(1，0)\$的直线与曲线\$y＝x^3\$相切于点\$(x\_0，y\_0)\$，由\$f'(x)=3x^2\$可得，

\$\\begin\{cases\}k=f'(x\_0)=3x\_0^2\\\\y\_0=x\_0^3\\\\y-y\_0=f'(x\_0)(x-x\_0)\\end\{cases\}\$，又点\$(1，0)\$在切线上，故有\$0-x\_0^3=3x\_0^2(1-x\_0)\$，

解得\$x\_0=0\$或\$x\_0=\\cfrac\{3\}\{2\}\$；

当\$x\_0=0\$时，\$y\_0=0\$，即切点是\$(0，0)\$，斜率\$k=0\$，故切线方程为\$y=0\$，

与曲线\$y=ax^2+\\cfrac\{15\}\{4\}x-9\$相切，消\$y\$得到\$ax^2+\\cfrac\{15\}\{4\}x-9=0\$，

利用\$\\Delta=(\\cfrac\{15\}\{4\})^2+4\\times 9a=0\$，解得\$a=-\\cfrac\{25\}\{64\}\$；

当\$x\_0=\\cfrac\{3\}\{2\}\$时，\$y\_0=\\cfrac\{27\}\{8\}\$，即切点是\$(\\cfrac\{3\}\{2\}，\\cfrac\{27\}\{8\})\$，斜率\$k=\\cfrac\{27\}\{4\}\$，

故切线方程为\$y-\\cfrac\{27\}\{8\}=\\cfrac\{27\}\{4\}(x-\\cfrac\{3\}\{2\})\$，

与曲线\$y=ax^2+\\cfrac\{15\}\{4\}x-9\$相切，消\$y\$得到\$ax^2-3x-\\cfrac\{9\}\{4\}=0\$，

利用\$\\Delta=(-3)^2-4\\times a\\times(-\\cfrac\{9\}\{4\})=0\$，解得\$a=-1\$；

综上，\$a=-1\$或\$-\\cfrac\{25\}\{64\}\$，故选A。

反思总结：直线与三次曲线的相切问题，我们用导数解决；直线与二次曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的相切问题，我们常用\$\\Delta=0\$来解决，相对运算能快一些。

题型Ⅱ求函数\$y=f(x)\$的单调区间或判断单调性

>  *  类型1：数字系数的函数的单调性的求解或证明

思路方法：转化为数字系数的不等式的求解，求解过程可以借助导函数的图像或者导函数的分子图像或者导函数的组成部分的图像，以形助数，简化求解；

例1已知函数\$f(x)=2x^3+ax^2+bx+1\$的导函数为\$f'(x)\$，若函数\$y=f'(x)\$的对称轴是\$x=-\\cfrac\{1\}\{2\}\$，且\$f'(1)=0\$

(1).求\$a，b\$的值。

【分析】(1)通过导函数方程和二次函数对称轴方程建立方程组，即可解得a、b，

由于\$f'(x)=6x^2+2ax+b\$，且对称轴为\$x=-\\cfrac\{1\}\{2\}\$，

则有\$-\\cfrac\{a\}\{6\}=-\\cfrac\{1\}\{2\}\$，则\$a=3\$，

又由于\$f'(1)=0\$，则\$6+2a+b=0\$，解得\$b=-12\$，

所以\$a=3，b=-12\$。

(2).判断函数的单调性，并求函数的极值。

【解答】数字系数的三次多项式函数求极值，用常规的思路和步骤求解即可。

因为\$f(x)=2x^3+3x^2-12x+1\$，\$f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)\$

![992978-20180731085426260-2019421896.png][]

常规的解法这样写道：

令\$f'(x)≥0\$，即\$x^2+x-2≥0\$，解得\$x≥1\$或\$x≤-2\$，

令\$f'(x) ≤0\$，即\$x^2+x-2 ≤0\$，解得$ -2≤x ≤1$，

有了辅助图像后，我们这些写：

当\$x< -2\$时，\$f'(x)>0\$，\$f(x)\$单调递增；

当\$-2<x<1\$时，\$f'(x)<0\$，\$f(x)\$单调递减；

当\$x>1\$时，\$f'(x)>0\$，\$f(x)\$单调递增；

然后做总结：

所以函数\$f(x)\$在\$(-2，1)\$上单调递减，在\$(-\\infty，-2)\$和\$(1，+\\infty)\$上单调递增，

当\$x=-2\$时，\$f(x)\$取得极大值，为\$f(-2)=21\$，

当\$x=1\$时，\$f(x)\$取得极小值，为\$f(1)=-6\$。

>  *  类型2：字母系数的函数的单调性的求解

思路方法：转化含参不等式的求解，难点是分类讨论和数形结合

例2已知函数\$f(x)=x^2+2mlnx-(m+4)x+lnm+2\$，当\$m＞0\$时，试讨论函数\$f(x)\$的单调性；

【分析】借助导函数的分子函数的动态图像，即可判断导函数的正负，从而判断原函数的单调性。

【解答】[辅助图像][Link 1]

\$f'(x)=2x+\\cfrac\{2m\}\{x\}-(m+4)=\\cfrac\{2x^2-(m+4)x+2m\}\{x\}=\\cfrac\{(x-2)(2x-m)\}\{x\}\$，

令\$f'(x)=0\$，得到\$x=2\$或\$x=\\cfrac\{m\}\{2\}>0\$，只需要借助分子函数的图像，即可判断导函数的正负，

当\$0<\\cfrac\{m\}\{2\}<2\$时，即\$0< m <4\$时， \$x\\in (0，\\cfrac\{m\}\{2\})\$时，\$f'(x)>0\$，\$f(x)\$单调递增，

\$x\\in (\\cfrac\{m\}\{2\}，2)\$时，\$f'(x)<0\$，\$f(x)\$单调递减，\$x\\in (2，+\\infty)\$时，\$f'(x)>0\$，\$f(x)\$单调递增，

当\$\\cfrac\{m\}\{2\}=2\$时，即\$m=4\$时，此时\$f'(x)\\ge 0\$恒成立，

当且仅当\$x=2\$时取得等号，故\$f(x)\$在\$(0，+\\infty)\$上单调递增，

当\$\\cfrac\{m\}\{2\}>2\$时，即\$m >4\$时， \$x\\in (0，2)\$时，\$f'(x) >0\$，\$f(x)\$单调递增，

\$x\\in (2，\\cfrac\{m\}\{2\})\$时，\$f'(x) <0\$，\$f(x)\$单调递减， \$x\\in (\\cfrac\{m\}\{2\}，+\\infty)\$时，\$f'(x) >0\$，\$f(x)\$单调递增，

综上所述，

当\$0< m <4\$时， \$x\\in (0，\\cfrac\{m\}\{2\})\$时，\$f(x)\$单调递增，

\$x\\in (\\cfrac\{m\}\{2\}，2)\$时，\$f(x)\$单调递减，

\$x\\in (2，+\\infty)\$时，\$f(x)\$单调递增，

当\$m=4\$时，\$f(x)\$在\$(0，+\\infty)\$上单调递增，

当\$m >4\$时， \$x\\in (0，2)\$时，\$f(x)\$单调递增，

\$x\\in (2，\\cfrac\{m\}\{2\})\$时，\$f(x)\$单调递减，

\$x\\in (\\cfrac\{m\}\{2\}，+\\infty)\$时，\$f(x)\$单调递增，

题型Ⅲ已知函数\$y=f(x)\$的单调性，求参数的取值范围

>  *  类型1：参数包含在函数的系数中

思路方法：若函数\$y=f(x)\$在区间\$\[a，b\]\$单调递增，则\$f'(x)\\ge 0\$在区间\$\[a，b\]\$上恒成立，且导函数\$f'(x)\$不恒为\$0\$；若函数\$y=f(x)\$在区间\$\[a，b\]\$单调递减，则\$f'(x) \\leq 0\$在区间\$\[a，b\]\$上恒成立，且导函数\$f'(x)\$不恒为\$0\$；  
易错警示：漏掉等号，忘掉验证；

例1【2019高三理科数学资料用题】设函数\$f(x)=(x+a)e^\{ax\}(a\\in R)\$，若函数在区间\$(-4，4)\$内单调递增，求\$a\$的取值范围。

【解答】由函数\$f(x)\$在在区间\$(-4，4)\$内单调递增，则\$f'(x)\\ge 0\$在区间\$(-4，4)\$内恒成立，

又\$f'(x)=(ax+a^2+1)e^\{ax\}\$，注意到\$e^\{ax\}>0\$恒成立，即有\$ax+a^2+1\\ge 0\$在区间\$(-4，4)\$内恒成立，

令\$g(x)=ax+a^2+1\$为一次型的函数，故只需要满足\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{g(-4)\\ge 0\}\\\\\{g(4)\\ge 0\}\\end\{array\}\\right.\$，

即\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{a^2-4a+1\\ge 0\}\\\\\{a^2+4a+1\\ge 0\}\\end\{array\}\\right.\$，

解得，\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{a\\ge 2+\\sqrt\{3\}或a\\leq 2-\\sqrt\{3\}\}\\\\\{a\\leq -2-\\sqrt\{3\}或a\\ge -2+\\sqrt\{3\}\}\\end\{array\}\\right.\$，

即\$a\\in (-\\infty，-2-\\sqrt\{3\}\]\\cup\[-2+\\sqrt\{3\}，2-\\sqrt\{3\}\]\\cup\[2+\\sqrt\{3\}，+\\infty)\$。

>  *  类型2：参数包含在给定区间端点处

思路方法：用常规方法求出单调区间，那么给定区间必然是求出的单调区间的子区间，转化为集合的关系求解；

例2已知函数\$f(x)=x^3+\\cfrac\{3\}\{2\}x^2-6x+1\$在区间\$\[a，a+1\]\$上单调递减，求参数\$a\$的取值范围。1

分析：集合法，先用导数的方法求得函数\$f(x)\$的单调递减区间，\$f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\$，

令\$f'(x)<0\$，解得\$x\\in (-2，1)\$，即其单调递减区间为\$\[-2，1\]\$，此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值。

而题设又已知函数在\$\[a，a+1\]\$上单调递减，故\$\[a，a+1\]\\subseteq \[-2，1\]\$，即问题转化为集合的包含关系问题了。

此时只需要满足\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{-2\\leqslant a\}\\\\\{a+1\\leqslant 1\}\\end\{array\}\\right.\$，解得\$-2\\leqslant a\\leqslant 0\$，

故参数\$a\$的取值范围为\$\[-2，0\]\$。

导数法，由题设可知，\$f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\$，由于函数在区间\$\[a，a+1\]\$上单调递减，

则\$f'(x)=3(x+2)(x-1)\\leq 0\$在区间\$\[a，a+1\]\$上恒成立，则\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{f'(a)\\leqslant 0\}\\\\\{f'(a+1)\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\$

即\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{3(a+2)(a-1)\\leqslant 0\}\\\\\{3(a+3)a\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\$，解得\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{-2\\leqslant a\\leqslant 1\}\\\\\{-3\\leqslant a\\leqslant 0\}\\end\{array\}\\right.\$，则\$a\\in \[-2，0\]\$。

题型Ⅳ函数\$y=f(x)\$存在单调区间，求参数的取值范围

>  *  类型1：参数包含在函数的系数中

直接法：函数\$y=f(x)\$在区间\$\[a，b\]\$上存在单调递增区间，则\$f'(x)>0\$在区间\$\[a，b\]\$上能成立(或有解)；  
函数\$y=f(x)\$在区间\$\[a，b\]\$上存在单调递减区间，则\$f'(x)<0\$在区间\$\[a，b\]\$上能成立(或有解)；易错警示：多添加了等号；

间接法：不存在单调递增区间，则函数为常函数或单调递减，则恒有\$f'(x)=0\$或\$f'(x)\\leq 0\$在区间\$\[a，b\]\$上恒成立；不存在单调递减区间，则函数为常函数或单调递增，则恒有\$f'(x)=0\$或\$f'(x)\\ge 0\$在区间\$\[a，b\]\$上恒成立；

交集法：若能容易求得给定函数的单调区间，则求得的该区间和已知的单调区间求交集，即可求得参数的取值范围。

例1【2019高三理科数学资料用题】【2018荆州模拟改编】设函数\$f(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3-\\cfrac\{a\}\{2\}x^2+1\$，函数\$g(x)=f(x)+2x\$，且\$g(x)\$在区间\$(-2，-1)\$内存在单调递减区间，求实数\$a\$的取值范围；

【法1，直接法】：\$g(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3-\\cfrac\{a\}\{2\}x^2+1+2x\$，则\$g'(x)=x^2-ax+2\$，

由\$g(x)\$在区间\$(-2，-1)\$内存在单调递减区间，得到，

\$g'(x)=x^2-ax+2<0\$在区间\$(-2，-1)\$上能成立，

分离参数得到，\$a < x+\\cfrac\{2\}\{x\}\$在区间\$(-2，-1)\$上能成立，

而\$\\left(x+\\cfrac\{2\}\{x\}\\right)\_\{max\}=-2\\sqrt\{2\}\$，当且仅当\$x=\\cfrac\{2\}\{x\}\$，即\$x=-\\sqrt\{2\}\$时取到等号，

故实数\$a\$的取值范围为\$(-\\infty，-2\\sqrt\{2\})\$。

注意：若函数\$f(x)\$在区间\$(a，b)\$存在单调递减区间，应该得到\$f'(x)<0\$在区间\$(a，b)\$有解或能成立，而不是\$f'(x)\\leq 0\$在区间\$(a，b)\$有解或能成立。

学生认为：函数\$f(x)\$在区间\$(a，b)\$存在单调递减区间，应该得到\$f'(x)\\leq 0\$在区间\$(a，b)\$有解或能成立，这种认识是错误的，这样解释一下啊，

\$f'(x)\\leqslant 0\$在区间\$(a，b)\$上有解，对应情形一：\$f'(x)<0\$在区间\$(a，b)\$上有解；或情形二：\$f'(x)=0\$在区间\$(a，b)\$上有解；这两个情形只要有一个满足即可，其中情形一求解结果是区间，而情形二求解结果不是区间，故不符合题意，自然就舍去了。

\[反例说明\]若\$a=-2\\sqrt\{2\}\$，由\$g'(x)=x^2+2\\sqrt\{2\}x+2=(x+\\sqrt\{2\})^2\\ge 0\$恒成立，则函数\$g(x)\$只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。

反例已知\$f(x)=4x^2-kx-8\$在\$\[5，20\]\$上存在单调递增区间，求参数\$k\$的取值范围；

【交集法，正解】函数\$f(x)\$的单调递增区间为\$\[\\cfrac\{k\}\{8\}，+\\infty)\$，由题设可知

区间\$\[\\cfrac\{k\}\{8\}，+\\infty)\$和区间\$\[5，20\]\$的交集区间必然不会为空集，否则函数就是空函数了，

则\$\\cfrac\{k\}\{8\}<20\$，解得\$k<160\$；即\$k\\in(-\\infty，160)\$；

【导数法，正解】\$f'(x)=8x-k>0\$在区间\$\[5，20\]\$上有解；分离参数得到，\$k<8x\$在区间\$\[5，20\]\$上有解；

即\$k<(8x)\_\{max\}=160\$，即\$k\\in(-\\infty，160)\$；

【导数法，错解】\$f'(x)=8x-k\\geqslant 0\$在区间\$\[5，20\]\$上有解；分离参数得到，\$k\\leqslant 8x\$在区间\$\[5，20\]\$上有解；

即\$k\\leqslant (8x)\_\{max\}=160\$，即\$k\\in(-\\infty，160\]\$；但若\$k=160\$时，单调区间为\$\[20，+\\infty)\$，故在\$\[5，20\]\$上没有增区间，故错误；

【法2，间接法】假设函数\$g(x)\$在区间\$(-2，-1)\$内不存在单调递减区间，

则函数\$g(x)\$在区间\$(-2，-1)\$内为常函数或单调递增，

则恒有\$g'(x)=0\$或\$g'(x)\\ge 0\$在区间\$(-2，-1)\$内恒成立，

由于\$g'(x)=x^2-ax+2\$，显然恒有\$g'(x)=0\$不成立，

故重点探究\$g'(x)\\ge 0\$在区间\$(-2，-1)\$内恒成立，

\$g'(x)=x^2-ax+2\\ge 0\$在区间\$(-2，-1)\$内恒成立，分离参数，

得到\$a\\ge x+\\cfrac\{2\}\{x\}(-2< x <-1)\$在区间\$(-2，-1)\$内恒成立，

由于\$h(x)=x+\\cfrac\{2\}\{x\}\$在\$(-2，-\\sqrt\{2\}\]\$上单调递增，在\$\[-\\sqrt\{2\}，-1)\$上单调递减，

故\$h(x)\_\{max\}=h(-\\sqrt\{2\})=-2\\sqrt\{2\}\$，

故函数\$g(x)\$在区间\$(-2，-1)\$内不存在单调递减区间时，\$a\\ge -2\\sqrt\{2\}\$；

即存在单调递减区间时，\$a< -2\\sqrt\{2\}\$，即\$a\\in (-\\infty，-2\\sqrt\{2\})\$。

>  *  类型2：参数包含在给定区间端点处

思路方法：用常规方法求出单调区间，转化为集合之间的包含关系求解；

例2\[自编\]已知函数\$f(x)=x^3-3x+1\$存在单调递减区间\$(a，a+1)\$，求参数\$a\$的取值范围；

分析：由\$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\$，则可知函数\$f(x)\$的单调递减区间为\$\[-1，1\]\$，

又由题设可知，函数\$f(x)=x^3-3x+1\$存在单调递减区间\$(a，a+1)\$，

则\$f'(x)=3x^2-3<0\$在区间\$(a，a+1)\$上恒成立，注意：此处不是能成立；

即有\$(a，a+1)\\subseteq \[-1，1\]\$，即满足\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{a<a+1\}\\\\\{a\\geqslant -1\}\\\\\{a+1\\leqslant 1\}\\end\{array\}\\right.\$

解得，\$-1\\leqslant a\\leqslant 0\$，即\$a\\in \[-1，0\]\$。

解后反思：①这类题目应该转化为恒成立而不是能成立类型，否则就不能保证存在这样的单调区间\$(a，a+1)\$；

②此类题目在命制时要注意，给定的单调区间\$A\$和求解得到的单调区间\$B\$的关系，\$A\\subseteq B\$，否则解集为空集。

题型Ⅴ已知函数的极值点或者最值点，求参数的取值范围

>  *  类型1：已知函数的极值点或最值点(\$x\$值)

思路方法：①针对参数分类讨论，注意结合题目中的有效信息；

②数形结合法，则函数\$y=f'(x)\$有变号零点，接下来数形结合求解或分离参数求解；

例1【2019届高三理科数学资料用题】设函数\$f(x)=\\cfrac\{e^x\}\{x^2\}-k(\\cfrac\{2\}\{x\}+lnx)\$，(\$k\$为常数)，

(1)当\$k\\leq 0\$时，求函数\$f(x)\$的单调区间；

分析：函数的定义域为\$(0，+\\infty)\$，

\$f'(x)=\\cfrac\{e^x\\cdot x^2-e^x\\cdot 2x\}\{x^4\}-k(-\\cfrac\{2\}\{x^2\}+\\cfrac\{1\}\{x\})\$

\$=\\cfrac\{e^x(x-2)\}\{x^3\}-\\cfrac\{kx(x-2)\}\{x^3\}=\\cfrac\{(x-2)(e^x-kx)\}\{x^3\}\$

【将上述分式看成三个部分，\$y=x-2\$和\$y=e^x-kx\$和\$y=x^3\$，每一个部分的正负必然会影响和决定整体的正负】

注意到\$x^3>0\$，当\$k\\leq 0\$时，\$e^x-kx>0\$，故我们只需要借助\$y=x-2(x>0)\$的图像，就可以判断\$f'(x)\$的正负。

当\$x\\in (0，2)\$时，\$f'(x)<0\$，\$f(x)\$单调递减；

当\$x\\in (2，+\\infty)\$时，\$f'(x)>0\$，\$f(x)\$单调递增；

故单减区间为\$(0，2)\$，单增区间为\$(2，+\\infty)\$。

(2)若函数\$f(x)\$在\$(0，2)\$内存在两个极值点，求\$k\$的取值范围。

法1：分类讨论法，

由(1)知，当\$k\\leq 0\$时，函数\$f(x)\$在\$(0，2)\$内单调递减，

故\$f(x)\$在\$(0，2)\$内不存在极值点；

当\$k > 0\$时，设函数\$g(x)=e^x-kx\$，\$x\\in (0，+\\infty)\$，

由于\$g'(x)=e^x-k=e^x-e^\{lnk\}\$，

当\$x\\in (0，2)\$时，\$e^x \\in (1，e^2)\$，先考虑\$g'(x)\\ge 0\$的情形，故由此找到分点\$k=1\$；

当\$0< k \\leq 1\$时，\$x\\in (0，2)\$时，\$g'(x)=e^x-k >0\$，

\$y=g(x)\$单调递增，故\$g(x)\_\{min\}=g(0)=1>0\$；

故函数\$f(x)\$在\$(0，2)\$内单调递减，故不存在极值点；

当\$k >1\$时，则\$x\\in (0，lnk)\$时，\$g'(x)<0\$，\$g(x)\$单调递减，

\$x\\in (lnk，+\\infty)\$时，\$g'(x) >0\$，\$g(x)\$单调递增，

所以函数\$y=g(x)\$的最小值为\$g(lnk)=k(1-lnk)\$，

那么函数\$f(x)\$在\$(0，2)\$内存在两个极值点应该等价于函数\$g(x)\$在\$(0，2)\$内存在两个极值点，

函数\$g(x)\$在\$(0，2)\$内存在两个极值点当且仅当

\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{g(0) >0\}\\\\\{g(lnk) <0\}\\\\\{g(2)>0\}\\\\\{0< lnk <2\}\\end\{array\}\\right.\$

即\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{e^0-0>0\}\\\\\{k(1-lnk) <0\}\\\\\{e^2-2k >0\}\\\\\{0< lnk <2\}\\end\{array\}\\right.\$

解得\$e< k <\\cfrac\{e^2\}\{2\}\$；

综上所述，函数\$f(x)\$在\$(0，2)\$内存在两个极值点，则\$k\\in (e，\\cfrac\{e^2\}\{2\})\$。

法2：由于函数\$f(x)\$在\$(0，2)\$内存在两个极值点，

则函数\$y=f'(x)\$在区间\$(0，2)\$内存在两个零点，且为变号零点，

又\$f'(x)=\\cfrac\{(x-2)(e^x-kx)\}\{x^3\}\$，则方程\$f'(x)=\\cfrac\{(x-2)(e^x-kx)\}\{x^3\}=0\$在\$(0，2)\$内有两个不同的实根，

由于\$x\\in (0，2)\$，即方程\$e^x-kx=0\$在\$(0，2)\$内有两个不同的实根，

分离参数，即方程\$k=\\cfrac\{e^x\}\{x\}\$在\$(0，2)\$内有两个不同的实根，

即函数\$y=k\$和函数\$h(x)=\\cfrac\{e^x\}\{x\}\$的图像在\$(0，2)\$内有两个不同的交点，

函数\$y=h(x)\$的限定定义域为\$(0，2)\$，

由于\$h'(x)=\\cfrac\{e^x\\cdot x-e^x\\cdot 1\}\{x^2\}=\\cfrac\{e^x(x-1)\}\{x^2\}\$，

故\$x\\in (0，1)\$时，\$h'(x)<0\$，\$h(x)\$单调递减，

\$x\\in (1，+\\infty)\$时，\$h'(x)>0\$，\$h(x)\$单调递增，

又由于\$h(1)=e\$，根据以上做出函数\$h(x)\$的简图如下，

由图像可知，两个函数的图像要有两个不同的交点，则\$k\\in (e，\\cfrac\{e^2\}\{2\})\$。

故函数\$f(x)\$在\$(0，2)\$内存在两个极值点，则\$k\\in (e，\\cfrac\{e^2\}\{2\})\$。

>  *  类型2：已知函数的极值或最值(\$y\$值)

思路方法：已知函数的极值或最值，常常向讨论函数的单调性方向转化，然后由单调性得到极值或最值，由相等关系得到参数的值；

例2【广西桂林北海2016调研】已知函数\$f(x)=ax-lnx\$，当\$x\\in (0，e\]\$时(\$e\$为自然常数)，函数\$f(x)\$的最小值为\$3\$，则\$a\$的值为【】

$A.e$ $B.e^2$ $C.2e$ $D.2e^2$

分析：\$f'(x)=a-\\cfrac\{1\}\{x\}\$，\$x\\in (0，e\]\$，令\$f'(x)=0\$，解得\$x=\\cfrac\{1\}\{a\}\$，

结合图像可知，函数在\$(0，\\cfrac\{1\}\{a\}\]\$上单调递减，在\$\[\\cfrac\{1\}\{a\}，e\]\$上单调递增，

故\$f(x)\_\{min\}=f(\\cfrac\{1\}\{a\})=a\\times \\cfrac\{1\}\{a\}-ln\\cfrac\{1\}\{a\}=1+lna=3\$，解得\$lna=2\$，即\$a=e^2\$，故选\$B\$。

## 题型结构图2 ##

graph TD A((导数章节题型总结2))-->B\{已知函数零点个数求参数取值范围\} A-->C\{已知函数有极值求参数取值范围\} A-->D\{已知方程有n个根求参数取值范围\} A-->E\{已知方程有解或无解求参数取值范围\} A-->F\{已知函数单调或不单调求参数取值范围\}

题型Ⅵ已知函数\$f(x)\$的零点个数，求参数的取值范围

>  *  类型1：给定函数的零点个数

思路方法：常考虑①利用已有的单调性分类讨论确定参数的范围；②不完全分离参数法；③完全分离参数法；

例1【2017西安模拟】已知函数\$f(x)=kx^2-lnx\$有两个零点，求参数\$k\$的取值范围。

$A.k > \\cfrac\{e\}\{2\}$ $B.0 < k < \\sqrt\{e\}$ $C.k > \\cfrac\{\\sqrt\{2\}e\}\{2\}$ $D.0 < k < \\cfrac\{1\}\{2e\}$

【法1】：数形结合法，定义域为\$(0，+\\infty)\$，转化为方程\$kx^2=lnx\$有两个不同的实数根，

再转化为函数\$y=kx^2\$与函数\$y=lnx\$的图像有两个不同的交点，

如图设两个函数的图像相切于点为\$(x\_0，y\_0)\$，

![992978-20171111184849684-666963787.png][]

则有关系式\$\\begin\{cases\}2kx\_0=\\cfrac\{1\}\{x\_0\}\\\\kx\_0^2=y\_0\\\\y\_0=lnx\_0\\end\{cases\}\$，

解得\$y\_0=\\cfrac\{1\}\{2\}，x\_0=\\sqrt\{e\}\$，即切点为\$(\\sqrt\{e\}，\\cfrac\{1\}\{2\})\$，

再代入函数\$y=kx^2\$，求得此时的\$k=\\cfrac\{1\}\{2e\}\$，

再结合函数\$y=kx^2\$的系数\$k\$的作用，可得两个函数要有两个不同的交点，

则\$k\\in(0，\\cfrac\{1\}\{2e\})\$。

【法2】：分离参数法，定义域为\$(0，+\\infty)\$，转化为方程\$kx^2=lnx\$有两个不同的实数根，

再转化为\$k=\\cfrac\{lnx\}\{x^2\}\$有两个不同的实数根，

再转化为函数\$y=k\$和函数\$y=g(x)=\\cfrac\{lnx\}\{x^2\}\$的图像有两个不同的交点，

用导数研究函数\$g(x)\$的单调性，\$g'(x)=\\cfrac\{\\cfrac\{1\}\{x\}\\cdot x^2-lnx\\cdot 2x\}\{(x^2)^2\}=\\cfrac\{1-2lnx\}\{x^3\}\$，

令\$1-2lnx>0\$，得到\$0< x<\\sqrt\{e\}\$，令\$1-2lnx<0\$，得到\$x >\\sqrt\{e\}\$，

即函数\$g(x)\$在区间\$(0，\\sqrt\{e\}\]\$上单调递增，在\$\[\\sqrt\{e\}，+\\infty)\$上单调递减，

故\$g(x)\_\{max\}=g(\\sqrt\{e\})=\\cfrac\{1\}\{2e\}\$，

![992978-20171111184856059-1836486122.png][]

作出函数\$g(x)\$和函数\$y=k\$的简图，由图像可得\$k\$的取值范围是\$k\\in(0，\\cfrac\{1\}\{2e\})\$。

题型Ⅶ已知函数\$f(x)\$有极值，求参数的取值范围

>  *  类型1：含参函数\$f(x)\$有极值，

思路方法：常考虑函数\$y=f'(x)\$有变号零点，再数形结合转化有交点或分离参数转化有解

例1已知\$|\\vec\{a\}|=2|\\vec\{b\}|\$，\$|\\vec\{b\}| \\neq 0\$，且关于\$x\$的函数\$f(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3+\\cfrac\{1\}\{2\}|\\vec\{a\}|x^2+\\vec\{a\}\\cdot \\vec\{b\}x\$在\$R\$上有极值，则\$\\vec\{a\}\$与\$\\vec\{b\}\$的夹角范围是【】

$A.\[0，\\cfrac\{\\pi\}\{6\})$ $B.(\\cfrac\{\\pi\}\{3\}，\\pi\]$ $C.(\\cfrac\{\\pi\}\{3\}，\\cfrac\{2\\pi\}\{3\}\]$ $D.(\\cfrac\{\\pi\}\{6\}，\\pi\]$

分析：函数\$f(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3+\\cfrac\{1\}\{2\}|\\vec\{a\}|x^2+\\vec\{a\}\\cdot \\vec\{b\}x\$在\$R\$上有极值，

其充要条件是其导函数\$y=f'(x)\$存在变号零点，

\$f'(x)=x^2+|\\vec\{a\}|x+\\vec\{a\}\\cdot \\vec\{b\}\$，其\$\\Delta =|\\vec\{a\}|^2-4\\vec\{a\}\\cdot \\vec\{b\}>0\$，

设\$\\vec\{a\}\$与\$\\vec\{b\}\$的夹角为\$\\theta\$，

则\$4|\\vec\{b\}|^2-4\\times 2|\\vec\{b\}| \\cdot |\\vec\{b\}| cos\\theta>0\$，

即\$cos\\theta<\\cfrac\{1\}\{2\}\$，由于\$\\theta\\in \[0，\\pi\]\$，

所以\$\\theta \\in (\\cfrac\{\\pi\}\{3\}，\\pi\]\$，故选\$B\$。

>  *  类型2：含参函数\$f(x)\$有且仅有一个极值

思路方法：常考虑函数\$y=f'(x)\$有且仅有一个变号零点，再数形结合转化为仅有一个交点或分离参数转化有解；

例2若函数\$f(x)=x^4-ax^3+x^2-2\$有且仅有一个极值点，则实数\$a\$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：\$f'(x)=4x^3-3ax^2+2x=x(4x^2-3ax+2)\$，

函数\$f(x)=x^4-ax^3+x^2-2\$有且仅有一个极值点，

其充要条件是因子函数\$h(x)=4x^2-3ax+2\$不存在变号零点，

即\$\\Delta=9a^2-32\\leq 0\$，解得\$-\\cfrac\{4\\sqrt\{2\}\}\{3\}\\leq a\\leq \\cfrac\{4\\sqrt\{2\}\}\{3\}\$，

即\$a\\in \[-\\cfrac\{4\\sqrt\{2\}\}\{3\}，\\cfrac\{4\\sqrt\{2\}\}\{3\}\]\$。

题型Ⅷ已知方程\$a=f(x)\$有\$n\$个根，求参数的取值范围

>  *  类型1：给定或能转化为形如方程\$a=f(x)\$有\$n\$个根

思路方法：需要将所给的题目转化为上述方程有\$n\$个根的形式，难点是利用导数或其他方法做出函数\$f(x)\$的图像，数形结合求解即可。

例1【已知方程的零点个数，求参数的取值范围】【2019届高三理科函数与方程课时作业第16题改编】已知函数\$f(x)=\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{x^2-2x，x\\ge 0\}\\\\\{-x^2-2x，x<0\}\\end\{array\}\\right.\$，若方程\$f(x)=a\$恰有\$3\$个不同的解，求\$a\$的取值范围。

分析：转化为函数\$y=f(x)\$和函数\$y=3\$的图像恰有\$3\$个不同的交点，

做出两个函数的图像，由图像可知，要使其有\$3\$个不同的交点，

只需要\$-1< a <1\$，故\$a\\in (-1，1)\$。

>  *  类型2：函数\$g(x)=f(x)-a\$有\$n\$个不同的零点

思路方法：将函数\$g(x)=f(x)-a\$有\$n\$个不同的零点，转化为方程\$a=f(x)\$有\$n\$个不同的根，转化为类型1。

№16【2019届高三理科数学月考三试题】已知定义在\$R\$上的偶函数\$f(x)\$满足\$f(x+4)=f(x)\$，且当\$0\\leq x\\leq 2\$时，\$f(x)=min\\\{-x^2+2x，2-x\\\}\$，\[若函数\$g(x)=f(x)-mx\$恰有两个零点\]若方程\$f(x)-mx=0\$恰有两个根，则\$m\$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：先由奇偶性和周期性推知对称性，\$f(-x)=f(x)\$，和\$f(x+4)=f(x)\$，则有\$f(4+x)=f(-x)\$，

则函数\$f(x)\$的对称轴\$x=2\$，

由于当\$0\\leq x\\leq 2\$时，\$f(x)=min\\\{-x^2+2x，2-x\\\}\$，

即当\$0\\leq x \\leq 2\$时，函数\$f(x)\$的解析式如下，它是做图像的基础。

\$f(x)=\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{-x^2+2x，0\\leq x\\leq 1\}\\\\\{2-x，1<x\\leq 2\}\\end\{array\}\\right.\$，

由于方程\$f(x)-mx\$恰有两个根，则函数\$y=f(x)\$与\$y=mx\$恰有两个交点，

做函数\$y=f(x)\$与\$y=mx\$的图像如下图所示，

先看\$x>0\$这一段，记过点\$(0，0)\$和\$(3，1)\$的直线的斜率为\$k\_1\$，则\$k\_1=\\cfrac\{1\}\{3\}\$，

记过点\$(0，0)\$且和函数\$y=f(x)=-x^2+2x(0\\leq x\\leq 1)\$相切的直线的斜率为\$k\_2\$，切点为\$(x\_0，y\_0)\$，

则有\$f'(x\_0)=-2x\_0+2=m①\$；\$y\_0=mx\_0②\$；\$y\_0=-x\_0^2+2x\_0③\$，

解得\$x\_0=0\$，\$y\_0=0\$，则切点坐标为\$(0，0)\$，斜率\$k\_2=2\$，

故在\$x>0\$这一段，两个函数要有两个交点，由图像可得，\$\\cfrac\{1\}\{3\}<m<2\$，

又由于函数\$f(x)\$定义在\$R\$上，且为偶函数，故在\$x<0\$这一段上，两个函数要有两个交点，\$-2<m<-\\cfrac\{1\}\{3\}\$，

综上所述，\$m\\in (-2，-\\cfrac\{1\}\{3\})\\cup(\\cfrac\{1\}\{3\}，2)\$。

题型Ⅸ已知\$a=f(x)\$有解或无解，求参数的取值范围

>  *  类型1：给定方程\$a=f(x)\$有解或能转化为方程有解

思路方法：求解行不通时就数形结合；即函数\$y=a\$和函数\$y=f(x)\$的图像有交点，难点：①能顺利转化为本类型；②做函数\$f(x)\$的图像；

例1函数\$f(x)=x^2\$，\$g(x)=2lnx+a\$有公共点，则\$a\$的取值范围是【】

$A.(e，+\\infty)$ $B.(1，+\\infty)$ $C.\[1，+\\infty)$ $D.(-\\infty，1)$

法1：在同一个坐标系中，分别作出两个函数的图像，由动函数的图像平移可知\$a\\geqslant 1\$，故选\$C\$.

法2：转化法，转化为函数\$h(x)=f(x)-g(x)=x^2-2lnx-a\$有零点，分析单调性，令\$h(x)\_\{min\}\\leqslant 0\$，故选\$C\$.

法3：\[重点方法\]转化法+分离参数法，转化为\$a=x^2-2lnx\$有解，即函数\$y=a\$和函数\$y=x^2-2lnx\$图像有交点，故选\$C\$.

引申：可能还会同时考查整体思想，比如以下的题目；

函数\$f(x)=x^2\$，\$g(x)=2lnx+b^2-b\$有公共点，则\$b\$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

函数\$f(x)=x^2\$，\$g(x)=2lnx+a+\\cfrac\{1\}\{a\}\$有公共点，则\$a\$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

>  *  类型2：给定方程\$a=f(x)\$无解或能转化为方程无解

思路方法：求解行不通时就数形结合；即函数\$y=a\$和函数\$y=f(x)\$的图像无交点，难点：①能顺利转化为本类型；②做函数\$f(x)\$的图像；

例2方程\$x^2-2lnx-a=0\$无解，则\$a\$的取值范围是【】

$A.(e，+\\infty)$ $B.(1，+\\infty)$ $C.\[1，+\\infty)$ $D.(-\\infty，1)$

法1：在同一个坐标系中，分别作出两个函数的图像，由动函数的图像平移可知\$a\\geqslant 1\$，故选\$D\$.

法2：转化法，转化为函数\$h(x)=x^2-2lnx-a\$无零点，分析单调性，令\$h(x)\_\{min\}> 0\$，故选\$D\$.

法3：\[重点方法\]转化法+分离参数法，转化为\$a=x^2-2lnx\$无解，即函数\$y=a\$和函数\$y=x^2-2lnx\$图像无交点，故选\$D\$.

引申：可能还会同时考查整体思想，比如以下的题目；

函数\$f(x)=x^2\$，\$g(x)=2lnx+b^2-b\$无公共点，则\$b\$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

函数\$f(x)=x^2\$，\$g(x)=2lnx+a+\\cfrac\{1\}\{a\}\$无公共点，则\$a\$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

题型Ⅹ函数\$y=f(x)\$在区间\$(a，b)\$上单调或不单调，求参数的取值范围

>  *  类型1：函数\$y=f(x)\$在区间\$(a，b)\$上单调

思路方法：①分类讨论，单调递增时，\$f'(x)\\ge 0\$恒成立；单调递减时，\$f'(x)\\leq 0\$恒成立；结果求并集；

②直接法，由于函数单调，则\$y=f'(x)\$无零点，或有不变号零点，再转化为方程\$f'(x)=0\$无解或有切点解的形式。

例1函数\$f(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3-x^2+ax-5\$在区间\$\[-1，2\]\$上单调，则实数\$a\$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

法1：分类讨论法，\$f'(x)=x^2-2x+a\$，

若函数\$f(x)\$在\$\[-1，2\]\$上单增，则\$f'(x)=x^2-2x+a\\ge 0\$恒成立，

分离参数得到\$a\\ge -x^2+2x\$恒成立，

在\$\[-1，2\]\$上求得函数\$f(x)\_\{max\}=1\$，故\$a\\ge 1\$；

若函数\$f(x)\$在\$\[-1，2\]\$上单减，则\$f'(x)=x^2-2x+a\\leq 0\$恒成立，

分离参数得到\$a\\leq -x^2+2x\$恒成立，

![992978-20171123173034602-1211950551.png][]

在\$\[-1，2\]\$上求得函数\$f(x)\_\{min\}=-3\$，故\$a\\leq -3\$；

故当\$a\\in (-\\infty，-3\]\\cup\[1，+\\infty)\$时，函数\$f(x)\$在区间\$\[-1，2\]\$上单调。

法2：直接法，由于函数\$f(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3-x^2+ax-5\$在区间\$\[-1，2\]\$上单调，

则函数\$y=f'(x)\$在区间\$\[1，2\]\$上无零点，

即方程\$f'(x)=x^2-2x+a=0\$在区间\$\[1，2\]\$上无解，

即方程\$a=-x^2+2x\$在区间\$\[1，2\]\$上无解，

由图像可知，\$f'(x)\$的值域为\$\[-3，1\]\$，

故方程\$f'(x)=0\$无解时得到，\$a < -3\$或\$a >1\$，

由于上述的转化是不等价的，以下检验端点值是否满足题意。

当\$a=-3\$时，\$f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\$，此时若\$x\\in \[-1，2\]\$，

则有\$f'(x)\\leq 0\$恒成立，故函数\$f(x)\$在区间\$\[-1，2\]\$上单调递减，

符合题意，添加\$a=-3\$；

当\$a=1\$时，\$f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\$，此时若\$x\\in \[-1，2\]\$，

则有\$f'(x)\\ge 0\$恒成立，故函数\$f(x)\$在区间\$\[-1，2\]\$上单调递增，

符合题意，添加\$a=1\$；

综上所述，函数\$f(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3-x^2+ax-5\$在区间\$\[-1，2\]\$上单调，

则实数\$a\$的取值范围是\$a\\in (-\\infty，-3\]\\cup\[1，+\\infty)\$。

>  *  类型2：函数\$y=f(x)\$在区间\$(a，b)\$上不单调

思路方法：①补集法，先求在区间\$(a，b)\$上单调时的参数范围，再求其补集

②直接法，函数不单调，则\$y=f'(x)\$有变号零点，则方程\$f'(x)=0\$有解，且为变号解的形式；

例2函数\$f(x)=\\cfrac\{1\}\{3\}x^3-x^2+ax-5\$在区间\$\[-1，2\]\$上不单调，则实数\$a\$的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 \$(-3，1)\$

法1：补集思想，\$f'(x)=x^2-2x+a\$，

若函数\$f(x)\$在\$\[-1，2\]\$上单增，则\$f'(x)=x^2-2x+a\\ge 0\$恒成立，

分离参数得到\$a\\ge -x^2+2x\$恒成立，

在\$\[-1，2\]\$上求得函数\$f(x)\_\{max\}=1\$，故\$a\\ge 1\$；

若函数\$f(x)\$在\$\[-1，2\]\$上单减，则\$f'(x)=x^2-2x+a\\leq 0\$恒成立，

分离参数得到\$a\\leq -x^2+2x\$恒成立，

![992978-20171123173034602-1211950551.png][]

在\$\[-1，2\]\$上求得函数\$f(x)\_\{min\}=-3\$，故\$a\\leq -3\$；

故取其补集，当\$-3< a <1\$时，函数\$f(x)\$在区间\$\[-1，2\]\$上不单调。

法2：直接法，由题可知\$f(x)\$不单调，则导函数\$y=f'(x)\$在区间\$(-1，2)\$上至少有一个变号零点，

当只有一个变号零点时，由\$f'(-1)\\cdot f'(2)< 0\$可得，\$-3< a< 0\$；

当有两个变号零点时，由\$\\begin\{cases\}f'(-1)>0\\\\f'(2)>0\\\\\\Delta >0\\end\{cases\}\$，解得\$0<a<1\$；

再验证当\$a=0\$时也是满足的；

综上所述，实数\$a\$的取值范围是\$(-3，1)\$。

解后反思：其实应该转化为导函数\$y=f'(x)\$在区间\$(-1，2)\$上至少有一个变号零点，不应该包含端点值，如果是仅仅过一个端点值，或者刚好过两个端点值时，函数都是单调的。

法3：(转化为方程有解类型求解)由法2可知，导函数\$y=f'(x)\$在区间\$\[-1，2\]\$上至少有一个变号零点，

即方程\$f'(x)=0\$至少有一个解，故\$a=-x^2+2x\$在\$\[-1，2\]\$上至少有一个解，

到此转化为方程有解类型，需要求函数的值域。

需要求出函数\$y=-x^2+2x，x\\in \[-1，2\]\$上的值域\$\[-3，1\]\$，

由于上述的转化过程不是等价的，故需要检验。

当\$a=-3\$时，\$f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\$，此时若\$x\\in \[-1，2\]\$，

则有\$f'(x)\\leq 0\$恒成立，故函数\$f(x)\$在区间\$\[-1，2\]\$上单调递减，

不符合题意，舍去；

当\$a=1\$时，\$f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\$，此时若\$x\\in \[-1，2\]\$，

则有\$f'(x)\\ge 0\$恒成立，故函数\$f(x)\$在区间\$\[-1，2\]\$上单调递增，

不符合题意，舍去；

故实数\$a\$的取值范围是\$(-3，1)\$。

解后反思：若能直接转化为导函数\$y=f'(x)\$在区间\$(-1，2)\$上至少有一个变号零点，就省却了验证了。

例？【2018宝鸡市高三数学第一次质量检测第21题】已知函数\$f(x)=\\cfrac\{x\}\{lnx\}+ax，x>1\$；

(1).若函数\$f(x)\$在区间\$(1，+\\infty)\$上单调递减，求实数\$a\$的取值范围；

(1). 分析：切入点，函数\$f(x)\$在某区间单调递减，则导函数\$f'(x)\\leq 0\$在此区间恒成立，(本来还需要验证\$a\$的取值不能使原函数成为常函数，此题中口算验证就可以)。

\$f'(x)=\\cfrac\{lnx-1\}\{ln^2x\}+a\$，由题可知\$f'(x)=\\cfrac\{lnx-1\}\{ln^2x\}+a\\leq 0\$在区间\$(1，+\\infty)\$上恒成立，

分离参数得到，\$a\\leq \\cfrac\{1-lnx\}\{ln^2x\}=\\cfrac\{1\}\{ln^2x\}-\\cfrac\{1\}\{lnx\}\$，

令\$g(x)=\\cfrac\{1\}\{ln^2x\}-\\cfrac\{1\}\{lnx\}\$，此时只需要求出\$g(x)\_\{min\}\$即可。

为了求得\$g(x)\_\{min\}\$，我们可以考虑导数法，不过如果能注意到函数的结构特征，还可以有其他的选择。

思路1(二次函数法)：令\$lnx=t\$，则由于\$x>1\$，得到\$lnx=t>0\$，这样\$g(x)=\\cfrac\{1\}\{ln^2x\}-\\cfrac\{1\}\{lnx\}=(\\cfrac\{1\}\{t\})^2-\\cfrac\{1\}\{t\}=h(t)\$

\$h(t)=(\\cfrac\{1\}\{t\}-\\cfrac\{1\}\{2\})^2-\\cfrac\{1\}\{4\}\$，

当\$\\cfrac\{1\}\{t\}=\\cfrac\{1\}\{2\}\$，即\$t=2=lnx\$，即\$x=e^2>1\$时，\$h(t)\_\{min\}=g(x)\_\{min\}=-\\cfrac\{1\}\{4\}\$，

故实数\$a\$的取值范围为\$a\\leq -\\cfrac\{1\}\{4\}\$，即\$a\\in(-\\infty，-\\cfrac\{1\}\{4\}\]\$。

思路2(导数法)：令\$g(x)=\\cfrac\{1-lnx\}\{ln^2x\}\$，则\$g'(x)=\\cfrac\{(1-lnx)'\\cdot ln^2x-(1-lnx)\\cdot 2lnx\\cdot \\cfrac\{1\}\{x\}\}\{(ln^2x)^2\}\$

\$g'(x)=\\cfrac\{-\\cfrac\{1\}\{x\}\\cdot ln^2x-(1-lnx)\\cdot \\cfrac\{2\}\{x\}\\cdot lnx\}\{ln^4x\}=\\cfrac\{-\\cfrac\{1\}\{x\}\\cdot lnx-\\cfrac\{2\}\{x\}+\\cfrac\{2\}\{x\}\\cdot lnx\}\{ln^3x\}\$

\$g'(x)=\\cfrac\{\\cfrac\{1\}\{x\}\\cdot lnx-\\cfrac\{2\}\{x\}\}\{ln^3x\}=\\cfrac\{\\cfrac\{1\}\{x\}(lnx-2)\}\{ln^3x\}\$

由于\$x>1\$，故\$g'(x)\$的表达式中的因子\$\\cfrac\{1\}\{x\}>0\$和分母\$ln^3x>0\$，故我们到时候解不等式，就可以只解\$lnx-2>0(lnx-2<0)\$，

当然如果我们能借助导函数的部分\$y=lnx-2\$的图像，就可以直接读出解集来，这也就是数形结合思想给我们的启示。

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由图可知当\$x\\in(1，e^2)\$时，\$lnx-2<0\$，即\$g'(x)<0\$；当\$x>e^2\$时，\$lnx-2>0\$，即\$g'(x)>0\$；

故\$g'(x)\$在\$(1，e^2\]\$上单调递减，在\$\[e^2，+\\infty)\$上单调递增；

故\$g(x)\_\{min\}=g(e^2)=\\cfrac\{1-lne^2\}\{(lne^2)^2\}=\\cfrac\{1-2\}\{2^2\}=-\\cfrac\{1\}\{4\}\$，即\$a\\leq -\\cfrac\{1\}\{4\}\$。

反思：①、求函数\$g(x)\$的最小值时，这两个思路都是比较常用的，不过很明显二次函数法要简单一些。尽可能的防止不好的思维定式，不要一想到求最值就求导，当然求导是一种选择，不过是没有其他办法时的备选方法。

②、\$ln^2x\$的求导是复合函数的求导，容易出错。\$(ln^2x)'=2lnx\\cdot (lnx)'=2lnx\\cdot \\cfrac\{1\}\{x\}\$.

③、其他内容请参阅[【恒成立等三类命题赏析】][Link 2] [【恒成立命题习题】][Link 3]

(2).若方程\$(2x-m)lnx+x=0\$在区间\$(1，e\]\$上有两个不相等实根，求实数\$m\$的取值范围；

分析：这类题目往往需要分离参数，得到形如\$m=g(x)\$的形式，然后转化为函数有两个交点的问题，从而数形结合求解；

由题目分离参数，\$2x\\cdot lnx-mlnx+x=0\$，变形整理为\$m=\\cfrac\{2xlnx+x\}\{lnx\}=\\cfrac\{x\}\{lnx\}+2x\$，  
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令\$h(x)=\\cfrac\{x\}\{lnx\}+2x，x\\in(1，e\]\$，则往下的思路是想办法在同一个坐标系中做函数\$h(x)\$和函数\$y=m\$的图像，其中做函数\$h(x)\$的图像一般要用到导数方法，主要是涉及的函数比较复杂，一般方法不能处理。

则\$h'(x)=2+\\cfrac\{lnx-1\}\{ln^2x\}=\\cfrac\{2ln^2x+lnx-1\}\{ln^2x\}=\\cfrac\{(lnx+1)(2lnx-1)\}\{ln^2x\}\$，由于\$x>1\$，则\$lnx+1>0\$且\$ln^2x>0\$，故我们只需要解不等式\$2lnx-1>0(2lnx-1<0)\$就可以求得单调区间；在这里我们自然还可以借助图像，做出导函数的部分函数的图像如右图，

由图可知，\$x\\in (1，\\sqrt\{e\}\]\$时，\$2lnx-1<0\$，\$h'(x)<0\$，函数\$h(x)\$单调递减；\$x\\in \[\\sqrt\{e\}，e\]\$时，\$2lnx-1>0\$，\$h'(x)>0\$，函数\$h(x)\$单调递增；

![992978-20180119125854303-1872758465.png][]

又\$h(\\sqrt\{e\})=2\\sqrt\{e\}+\\cfrac\{\\sqrt\{e\}\}\{ln\\sqrt\{e\}\}=4\\sqrt\{e\}\$；\$h(e)=2e+\\cfrac\{e\}\{lne\}=3e\$，其中\$x=1\$是函数\$h(x)\$的渐近线，如右图所示，

由图可知，实数\$m\$的取值范围为\$m\\in (4\\sqrt\{e\}，e\]\$。

解后反思：①、函数\$h(x)\$的单调性的求法(一般题目复杂时常常首选导数法)；

②、注意函数图像的作图细节；

③、如果题目变成\$m=g(x)\$有解，则\$m\$的取值范围就是\$g(x)\$的值域，看看刚才的图形，这一点不需要我多解释了吧。

④、如果题目变成方程\$m=g(x)\$有\$n\$个解，那更需要数形结合来处理了；因为用代数的方法求解，只能处理简单的方程的情形，复杂一些的只能交给图形来直观观察

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1.  [集合的关系习题][Link 4]↩

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11140751.html

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