887. 鸡蛋掉落(动态规划经典题)

淩亂°似流年 2023-07-24 11:37 53阅读 0赞

题目描述:

你将获得 K 个鸡蛋,并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。

每个蛋的功能都是一样的,如果一个蛋碎了,你就不能再把它掉下去。

你知道存在楼层 F ,满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎,从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次移动,你可以取一个鸡蛋(如果你有完整的鸡蛋)并把它从任一楼层 X 扔下(满足 1 <= X <= N)。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。

无论 F 的初始值如何,你确定 F 的值的最小移动次数是多少?

示例 1:

  1. 输入:K = 1, N = 2
  2. 输出:2
  3. 解释:
  4. 鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了,我们肯定知道 F = 0
  5. 否则,鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了,我们肯定知道 F = 1
  6. 如果它没碎,那么我们肯定知道 F = 2
  7. 因此,在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

示例 2:

  1. 输入:K = 2, N = 6
  2. 输出:3

示例 3:

  1. 输入:K = 3, N = 14
  2. 输出:4

解题思路:动态规划 + 二分搜索

本题是谷歌的一道经典面试题。由于本题过于经典,谷歌公司已经不再将这题作为面试的候选题目了。

本题难度较高,要想通过本题,需要一定的动态规划优化或数学功底。本题的标准解法为动态规划,由于篇幅有限,不会叙述 动态规划的边界条件自底向上的动态规划和自顶向下的动态规划分别怎么实现 等较为基础的知识,而是把重点放在推导动态规划状态转移方程的过程,以及优化的思路、证明以及方法。

思路和算法

我们可以考虑使用动态规划来做这道题,状态可以表示成 (K,N)(K, N)(K,N),其中 KKK 为鸡蛋数,NNN 为楼层数。当我们从第 XXX 楼扔鸡蛋的时候:

  • 如果鸡蛋不碎,那么状态变成 (K,N−X)(K, N-X)(K,N−X),即我们鸡蛋的数目不变,但答案只可能在上方的 N−XN-XN−X 层楼了。也就是说,我们把原问题缩小成了一个规模为 (K,N−X)(K, N-X)(K,N−X) 的子问题;
  • 如果鸡蛋碎了,那么状态变成 (K−1,X−1)(K-1, X-1)(K−1,X−1),即我们少了一个鸡蛋,但我们知道答案只可能在第 XXX 楼下方的 X−1X-1X−1 层楼中了。也就是说,我们把原问题缩小成了一个规模为 (K−1,X−1)(K-1, X-1)(K−1,X−1) 的子问题。

这样一来,我们定义 dp(K,N)dp(K, N)dp(K,N) 为在状态 (K,N)(K, N)(K,N) 下最少需要的步数。根据以上分析我们可以列出状态转移方程:

d p ( K , N ) = 1 + min ⁡ 1 ≤ X ≤ N ( max ⁡ ( d p ( K − 1 , X − 1 ) , d p ( K , N − X ) ) ) d p(K, N)=1+\min _{1 \leq X \leq N}(\max (d p(K-1, X-1), d p(K, N-X))) dp(K,N)=1+min1≤X≤N(max(dp(K−1,X−1),dp(K,N−X)))

这个状态转移方程是如何得来的,详细解释: leetcode官网


代码:

  1. class Solution:
  2. def superEggDrop(self, K, N):
  3. memo = {
  4. }
  5. def dp(k, n):
  6. if (k, n) not in memo:
  7. if n == 0:
  8. ans = 0
  9. elif k == 1:
  10. ans = n
  11. else:
  12. lo, hi = 1, n
  13. # keep a gap of 2 X values to manually check later
  14. while lo + 1 < hi:
  15. x = (lo + hi) // 2
  16. t1 = dp(k-1, x-1)
  17. t2 = dp(k, n-x)
  18. if t1 < t2:
  19. lo = x
  20. elif t1 > t2:
  21. hi = x
  22. else:
  23. lo = hi = x
  24. ans = 1 + min(max(dp(k-1, x-1), dp(k, n-x))
  25. for x in (lo, hi))
  26. memo[k, n] = ans
  27. return memo[k, n]
  28. return dp(K, N)

题目来源:

[1]. https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop
[2]. 动态规划(只解释官方题解方法一)
[3]. 题目理解 + 基本解法 + 进阶解法

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