887. 鸡蛋掉落(动态规划经典题)
题目描述:
你将获得 K 个鸡蛋,并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的,如果一个蛋碎了,你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ,满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎,从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动,你可以取一个鸡蛋(如果你有完整的鸡蛋)并把它从任一楼层 X 扔下(满足 1 <= X <= N)。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何,你确定 F 的值的最小移动次数是多少?
示例 1:
输入:K = 1, N = 2
输出:2
解释:
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了,我们肯定知道 F = 0 。
否则,鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了,我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎,那么我们肯定知道 F = 2 。
因此,在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。
示例 2:
输入:K = 2, N = 6
输出:3
示例 3:
输入:K = 3, N = 14
输出:4
解题思路:动态规划 + 二分搜索
本题是谷歌的一道经典面试题。由于本题过于经典,谷歌公司已经不再将这题作为面试的候选题目了。
本题难度较高,要想通过本题,需要一定的动态规划优化或数学功底。本题的标准解法为动态规划,由于篇幅有限,不会叙述 动态规划的边界条件、自底向上的动态规划和自顶向下的动态规划分别怎么实现 等较为基础的知识,而是把重点放在推导动态规划状态转移方程的过程,以及优化的思路、证明以及方法。
思路和算法
我们可以考虑使用动态规划来做这道题,状态可以表示成 (K,N)(K, N)(K,N),其中 KKK 为鸡蛋数,NNN 为楼层数。当我们从第 XXX 楼扔鸡蛋的时候:
- 如果鸡蛋不碎,那么状态变成 (K,N−X)(K, N-X)(K,N−X),即我们鸡蛋的数目不变,但答案只可能在上方的 N−XN-XN−X 层楼了。也就是说,我们把原问题缩小成了一个规模为 (K,N−X)(K, N-X)(K,N−X) 的子问题;
- 如果鸡蛋碎了,那么状态变成 (K−1,X−1)(K-1, X-1)(K−1,X−1),即我们少了一个鸡蛋,但我们知道答案只可能在第 XXX 楼下方的 X−1X-1X−1 层楼中了。也就是说,我们把原问题缩小成了一个规模为 (K−1,X−1)(K-1, X-1)(K−1,X−1) 的子问题。
这样一来,我们定义 dp(K,N)dp(K, N)dp(K,N) 为在状态 (K,N)(K, N)(K,N) 下最少需要的步数。根据以上分析我们可以列出状态转移方程:
d p ( K , N ) = 1 + min 1 ≤ X ≤ N ( max ( d p ( K − 1 , X − 1 ) , d p ( K , N − X ) ) ) d p(K, N)=1+\min _{1 \leq X \leq N}(\max (d p(K-1, X-1), d p(K, N-X))) dp(K,N)=1+min1≤X≤N(max(dp(K−1,X−1),dp(K,N−X)))
这个状态转移方程是如何得来的,详细解释: leetcode官网
代码:
class Solution:
def superEggDrop(self, K, N):
memo = {
}
def dp(k, n):
if (k, n) not in memo:
if n == 0:
ans = 0
elif k == 1:
ans = n
else:
lo, hi = 1, n
# keep a gap of 2 X values to manually check later
while lo + 1 < hi:
x = (lo + hi) // 2
t1 = dp(k-1, x-1)
t2 = dp(k, n-x)
if t1 < t2:
lo = x
elif t1 > t2:
hi = x
else:
lo = hi = x
ans = 1 + min(max(dp(k-1, x-1), dp(k, n-x))
for x in (lo, hi))
memo[k, n] = ans
return memo[k, n]
return dp(K, N)
题目来源:
[1]. https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop
[2]. 动态规划(只解释官方题解方法一)
[3]. 题目理解 + 基本解法 + 进阶解法
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