887. 鸡蛋掉落(动态规划经典题)-蒲公英云

887. 鸡蛋掉落(动态规划经典题)

题目描述：

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。

每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。

无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

示例 1：

输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

示例 2：

输入：K = 2, N = 6
输出：3

示例 3：

输入：K = 3, N = 14
输出：4

解题思路:动态规划 + 二分搜索

本题是谷歌的一道经典面试题。由于本题过于经典，谷歌公司已经不再将这题作为面试的候选题目了。

本题难度较高，要想通过本题，需要一定的动态规划优化或数学功底。本题的标准解法为动态规划，由于篇幅有限，不会叙述 动态规划的边界条件、自底向上的动态规划和自顶向下的动态规划分别怎么实现 等较为基础的知识，而是把重点放在推导动态规划状态转移方程的过程，以及优化的思路、证明以及方法。

思路和算法

我们可以考虑使用动态规划来做这道题，状态可以表示成 (K,N)(K, N)(K,N)，其中 KKK 为鸡蛋数，NNN 为楼层数。当我们从第 XXX 楼扔鸡蛋的时候：

如果鸡蛋不碎，那么状态变成 (K,N−X)(K, N-X)(K,N−X)，即我们鸡蛋的数目不变，但答案只可能在上方的 N−XN-XN−X 层楼了。也就是说，我们把原问题缩小成了一个规模为 (K,N−X)(K, N-X)(K,N−X) 的子问题；
如果鸡蛋碎了，那么状态变成 (K−1,X−1)(K-1, X-1)(K−1,X−1)，即我们少了一个鸡蛋，但我们知道答案只可能在第 XXX 楼下方的 X−1X-1X−1 层楼中了。也就是说，我们把原问题缩小成了一个规模为 (K−1,X−1)(K-1, X-1)(K−1,X−1) 的子问题。

这样一来，我们定义 dp(K,N)dp(K, N)dp(K,N) 为在状态 (K,N)(K, N)(K,N) 下最少需要的步数。根据以上分析我们可以列出状态转移方程：

d p ( K , N ) = 1 + min ⁡ 1 ≤ X ≤ N ( max ⁡ ( d p ( K − 1 , X − 1 ) , d p ( K , N − X ) ) ) d p(K, N)=1+\min _{1 \leq X \leq N}(\max (d p(K-1, X-1), d p(K, N-X))) dp(K,N)=1+min1≤X≤N(max(dp(K−1,X−1),dp(K,N−X)))

这个状态转移方程是如何得来的，详细解释： leetcode官网

代码：

class Solution:
    def superEggDrop(self, K, N):
        memo = {
    }
        def dp(k, n):
            if (k, n) not in memo:
                if n == 0:
                    ans = 0
                elif k == 1:
                    ans = n
                else:
                    lo, hi = 1, n
                    # keep a gap of 2 X values to manually check later
                    while lo + 1 < hi:
                        x = (lo + hi) // 2
                        t1 = dp(k-1, x-1)
                        t2 = dp(k, n-x)
                        if t1 < t2:
                            lo = x
                        elif t1 > t2:
                            hi = x
                        else:
                            lo = hi = x
                    ans = 1 + min(max(dp(k-1, x-1), dp(k, n-x))
                                  for x in (lo, hi))
                memo[k, n] = ans
            return memo[k, n]
        return dp(K, N)