四元数系列1——什么是四元数

红太狼 2023-07-24 08:38 29阅读 0赞

### 什么是四元数 ###

在介绍四元数之前，我们先来回顾一下复数，对于复数，一个比较直观的介绍就是形如 a + b i a+bi a\+bi的形式的数，其中， i i i为虚部单位，满足 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1。从复数的定义中我们可以看出，复数是由一个实部和一个虚部构成的，那么如果一个数有不止一个虚部的话，比如2个，或者3个，那么这个数该怎么称呼呢？这里，我们就引入了四元数。  
**四元数(quaternion)**：类似于上文复数的定义，此处，我们将四元数定义如下：形如 a + b i + c j + d k a+bi+cj+dk a\+bi\+cj\+dk形式的数被称为四元数，其中 i , j , k i,j,k i,j,k为虚数单位，满足 i 2 = j 2 = k 2 = − 1 i^2=j^2=k^2=-1 i2=j2=k2=−1。由此可以看出四元数是由一个实部和最多三个虚部构成的，因此，我们也将四元数称之为超复数。

**更新：** 之前这里少了一些内容，现在补上，就是关于虚数单位 i , j , k i,j,k i,j,k之间的关系的，他们之间存在着这样的关系： i × j = k , j × k = i , k × i = j i\\times j = k, j\\times k =i, k\\times i = j i×j=k,j×k=i,k×i=j以及将他们调换顺序 j × i = − k , i × k = − j , k × j = − i j \\times i = -k, i\\times k =-j, k\\times j =-i j×i=−k,i×k=−j,k×j=−i，上述关系在四元数直接相乘的时候会用到。

我们知道，关于复数，我们是有共轭、模等概念的，那么对于四元数，我们如何定义这些概念呢？

对于四元数 q = a + b i + c j + d k q=a+bi+cj+dk q=a\+bi\+cj\+dk：  
**共轭：** 我们将 q ‾ = a − b i − c j − d k \\overline\{q\}=a-bi-cj-dk q=a−bi−cj−dk称为四元数 q q q的共轭  
**模：** 我们称 ∣ q ∣ 2 = q ‾ q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 |q|^2=\\overline\{q\}q=a^2+b^2+c^2+d^2 ∣q∣2=qq=a2\+b2\+c2\+d2为四元数 q q q的模  
**取逆：** 每一个非零四元数都是可逆的，并且满足 1 / q = q ‾ / ∣ q ∣ 2 1/q=\\overline\{q\}/|q|^2 1/q=q/∣q∣2

在实数中，我们有相似这种说法，比如矩阵中就有关于两个矩阵相似的一个定义，在四元数中也有，不过这里不叫相似，叫“**属于同一个特征类**”.  
如果两个四元数满足关系式： q = s − 1 p s , s ∈ H q=s^\{-1\}ps, s \\in H q=s−1ps,s∈H，则称四元数 p p p与 q q q属于同一个特征类。  
当两个四元数属于同一个特征类时，他们之间有以下关系： R e ( q ) = R e ( s − 1 p s ) = R e ( p ) Re(q)=Re(s^\{-1\}ps)=Re(p) Re(q)=Re(s−1ps)=Re(p)，并且 ∣ q ∣ = ∣ s − 1 p s ∣ = ∣ ∣ p |q|=|s^\{-1\}ps|=||p ∣q∣=∣s−1ps∣=∣∣p。  
即若两个四元数属于同一个特征类，则他们的实部和模相等(此处的Re表示对四元数取实部)。

四元数在很多方面都有应用，比如彩色图像处理，在四元数的应用过程中，不可避免的需要用到一些数值算法，比如svd、QR等。由于四元数包含一个实部和三个虚部，因此在进行一些数值算法的运算的时候，计算复杂度会非常高，从下一篇开始，我将引入介绍一下四元数的保结构算法，能够极大的减少四元数数值运算的运算时间。