Ogre的四元数quaternion

阳光穿透心脏的1/2处 2022-07-13 16:57 136阅读 0赞

quaternion是一个标量和一个3D向量的组合。q=\{ w,x,y,z\},Ogre中一个默认的quaternion =\{1,0,0,0\} ,一般用于空间一点的旋转,假设空间一点叫p,将要旋转角度是α,旋转轴是(x,y,z),那么:

p=\{0,x0,y0,z0\}

q= \{cos(α/ 2) , sina(α/ 2) **N**x, sin(α/ 2)**N**y, sin(α/ 2)**N**z \} (**N**为单位向量)

p结果 =q\*p\*q\-1

在数学上，quaternion表示复数w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虚数单位,而复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。这也是OGRE为什么要用quaternion的原因(比Matrix更快捷更节省空间),对最简单的二维复数p= x + yi来说，和另一个q = ( conα，sinα)相乘，则表示把p沿逆时针方向旋转α：p’ = pq ,这是2D旋转.

如果要表示3D旋转,就需要3D复数了,于是就有了"四元数",q=w+ix+jy+kz (i,j,k都是虚数)

其中j,j,k关系如下:

**   i**2 **= j**2 **= k**2 **= -1**  
**   i \* j = k = -j \* i**  
**   j \* k = i = -k \* j**  
**   k \* i = j = -i \* k**

四元数加法:  
q1 \+ q2 = (w1\+w2) + (x1\+x2) i + (y1\+y2) j + (z1\+z2) k  
四元数乘法:  
**q1 \* q2 =**  
**(w1\*w2 \- x1\*x2 \- y1\*y2 \- z1\*z2) +**  
**(w****1****\*x****2** **+ x****1****\*w****2** **+ y****1****\*z****2** **- z****1****\*y****2****) i +**  
**(w****1****\*y****2** **- x****1****\*z****2** **+ y****1****\*w****2** **+ z****1****\*x****1****) j +**  
**(w****1****\*z****2** **+ x****1****\*y****2** **- y****1****\*x****2** **+ z****1****\*w****2****)    k**

**OGRE源代码里这样定义乘法:**

Quaternion Quaternion::operator\* (const Quaternion& rkQ) const  
    \{  
        // cases p\*q != q\*p.

return Quaternion  
        (  
            w \* rkQ.w - x \* rkQ.x - y \* rkQ.y - z \* rkQ.z,  
            w \* rkQ.x + x \* rkQ.w + y \* rkQ.z - z \* rkQ.y,  
            w \* rkQ.y + y \* rkQ.w + z \* rkQ.x - x \* rkQ.z,  
            w \* rkQ.z + z \* rkQ.w + x \* rkQ.y - y \* rkQ.x  
        );  
    \}