Java数据结构与算法_13 常用算法（贪心算法-集合覆盖问题、普利姆算法-修路问题、克鲁斯卡尔算法-公交站问题、迪杰斯特拉+弗洛伊德算法-最短路径问题、马踏棋盘算法）

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2023-07-18 11:27 29阅读 0赞

### Java数据结构与算法\_13 常用算法 ###

*  贪心算法
 *   *  应用-集合覆盖
     *   *  完整代码
 *  最小生成树相关概念
 *  普里姆算法
 *   *  应用-修路问题
     *   *  完整代码
 *  克鲁斯卡尔算法
 *   *  应用-公交站问题
     *   *  完整代码
 *  迪杰斯特拉(Dijkstra)算法
 *   *  应用-最短路径
     *   *  完整代码
 *  弗洛伊德(Floyd)算法
 *   *  应用-最短路径
     *   *  完整代码
 *  马踏棋盘算法
 *   *  完整代码

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***本人是个新手，写下博客用于自我复习、自我总结。  
如有错误之处，请各位大佬指出。  
学习资料来源于：尚硅谷***

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# 贪心算法 #

**贪心算法介绍**

1.  贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择，从而希望结果是最好或者最优的算法
2.  贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果

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## 应用-集合覆盖 ##

假设存在如下表的需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号  
![在这里插入图片描述][20200327075650324.png]  
如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢？假如真的使用穷举法实现，假设总共有n个广播台，列出所有可能的广播台的集合，则广播台的组合总共有2ⁿ -1 个。假设每秒可以计算10个子集：![在这里插入图片描述][20200327075703839.png]  
显然数量很大，效率会很低。

**思路分析：**

目前并没有算法可以快速计算得到准确的值，但使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合:

1.  遍历所有的广播电台，找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）
2.  将这个电台加入到一个集合中(比如ArrayList)，想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
3.  重复第1步直到覆盖了全部的地区

**贪心算法注意事项和细节**

1.  贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
2.  比如上题的算法选出的是K1, K2, K3, K5，符合覆盖了全部的地区
3.  但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区，如果K2 的使用成本低于K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件，但是并不是最优的.

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### 完整代码 ###

import java.util.ArrayList;
    import java.util.HashMap;
    import java.util.HashSet;
    
    public class GreedyAlgorithm { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		// 创建广播电台,放入到Map
    		HashMap<String, HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<String, HashSet<String>>();
    		// 将各个电台放入到broadcasts
    		HashSet<String> hashSet1 = new HashSet<String>();
    		hashSet1.add("北京");
    		hashSet1.add("上海");
    		hashSet1.add("天津");
    
    		HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<String>();
    		hashSet2.add("广州");
    		hashSet2.add("北京");
    		hashSet2.add("深圳");
    
    		HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<String>();
    		hashSet3.add("成都");
    		hashSet3.add("上海");
    		hashSet3.add("杭州");
    
    		HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<String>();
    		hashSet4.add("上海");
    		hashSet4.add("天津");
    
    		HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<String>();
    		hashSet5.add("杭州");
    		hashSet5.add("大连");
    
    		// 加入到map
    		broadcasts.put("K1", hashSet1);
    		broadcasts.put("K2", hashSet2);
    		broadcasts.put("K3", hashSet3);
    		broadcasts.put("K4", hashSet4);
    		broadcasts.put("K5", hashSet5);
    
    		// allAreas 存放所有的地区
    		HashSet<String> allAreas = new HashSet<String>();
    		allAreas.add("北京");
    		allAreas.add("上海");
    		allAreas.add("天津");
    		allAreas.add("广州");
    		allAreas.add("深圳");
    		allAreas.add("成都");
    		allAreas.add("杭州");
    		allAreas.add("大连");
    
    		// 创建ArrayList, 存放选择的电台集合
    		ArrayList<String> selects = new ArrayList<String>();
    
    		// 定义一个临时的集合，在遍历的过程中，存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集
    		HashSet<String> tempSet = new HashSet<String>();
    
    		// 定义个maxKey，保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key
    		// 如果maxKey 不为null , 则会加入到 selects
    		String maxKey = null;
    
    		while (allAreas.size() != 0) {  // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区
    			// 每进行一次while,都需要重置
    			maxKey = null;
    
    			// 遍历 broadcasts, 取出对应key
    			for (String key : broadcasts.keySet()) { 
    				// 每进行一次for，都需要重置
    				tempSet.clear();
    				// 当前这个key能够覆盖的地区
    				HashSet<String> areas = broadcasts.get(key);
    				tempSet.addAll(areas);
    				// 求出tempSet 和 allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSet
    				tempSet.retainAll(allAreas);
    				// 如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量，比maxKey指向的集合地区还多
    				// 就需要重置maxKey
    				if (tempSet.size() > 0
    						&& (maxKey == null || tempSet.size() > broadcasts.get(
    								maxKey).size())) { 
    					maxKey = key;
    				}
    			}
    			// maxKey != null, 就将maxKey 加入selects
    			if (maxKey != null) { 
    				selects.add(maxKey);
    				// 将maxKey指向的广播电台覆盖的地区，从 allAreas 去掉
    				allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));
    			}else{ 
    				System.out.println("没有办法将所有地区覆盖");
    				break;
    			}
    
    		}
    
    		System.out.println("得到的选择结果是" + selects);// [K1,K2,K3,K5]
    
    	}
    
    }

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# 最小生成树相关概念 #

在进行接下来的算法前，先看最小生成树的概念。

最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

简单来说，给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小。

它有以下特点：

1.  N个顶点，一定有N-1条边
2.  它一定会包含全部顶点
3.  N-1条边都在图中  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
    而求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

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# 普里姆算法 #

**普里姆算法介绍**

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。

**普利姆的算法如下：**

1.  设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
2.  若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited\[u\]=1
3.  若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路。将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited\[vj\]=1。
4.  重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过。此时D中有n-1条边

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## 应用-修路问题 ##

![在这里插入图片描述][20200327083742545.png]

1.  假如某乡里有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
2.  各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
3.  问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

**思路分析：**

根据上面提到的普利姆算法的文字描述，简单来说就是，现在找一个顶点（假如是A）。那么从A开始处理，找与它相连的权值最小的边。可以看出是A-G。把G点加入后，接下来找与A点和G点相连的权值最小的边，是G-B。之后每加入一个顶点就再次判断，同时需要注意看是否形成回路。

**具体步骤：**

1.  从< A >顶点开始处理  
    所有的边：A-C \[7\] A-G\[2\] A-B\[5\]  
    选择A-G
2.  <A,G> 开始 , 将A 和 G 顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理  
    所有的边：A-C\[7\] A-B\[5\] G-B\[3\] G-E\[4\] G-F\[6\]  
    选择G-B
3.  <A,G,B> 开始，将A,G,B 顶点 和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理  
    所有的边：A-C\[7\] G-E\[4\] G-F\[6\] B-D\[9\]  
    选择G-E  
    …
4.  \{A,G,B,E\}->F//第4次大循环 ， 对应 边<E,F> 权值：5
5.  \{A,G,B,E,F\}->D//第5次大循环 ， 对应 边<F,D> 权值：4
6.  \{A,G,B,E,F,D\}->C//第6次大循环 ， 对应 边<A,C> 权值：7

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### 完整代码 ###

import java.util.Arrays;
    
    public class PrimAlgorithm { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		// 测试看看图是否创建ok
    		char[] data = new char[] {  'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
    		int verxs = data.length;
    		// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000用来表示两个点不联通
    		int[][] weight = new int[][] {  
    				{  10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2 },
    				{  5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3 },
    				{  7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000 },
    				{  10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000 },
    				{  10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4 },
    				{  10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6 },
    				{  2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000 }, };
    
    		// 创建MGraph对象
    		MGraph graph = new MGraph(verxs);
    		// 创建一个MinTree对象
    		MinTree minTree = new MinTree();
    		minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
    		// 输出
    		minTree.showGraph(graph);
    		// 测试
    		minTree.prim(graph, 1);
    	}
    
    }
    
    // 创建最小生成树->村庄的图
    class MinTree { 
    	// 创建图的邻接矩阵
    	/** * @param graph * 图对象 * @param verxs * 图对应的顶点个数 * @param data * 图的各个顶点的值 * @param weight * 图的邻接矩阵 */
    	public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) { 
    		int i, j;
    		for (i = 0; i < verxs; i++) { // 顶点
    			graph.data[i] = data[i];
    			for (j = 0; j < verxs; j++) { 
    				graph.weight[i][j] = weight[i][j];
    			}
    		}
    	}
    
    	// 显示图的邻接矩阵
    	public void showGraph(MGraph graph) { 
    		for (int[] link : graph.weight) { 
    			System.out.println(Arrays.toString(link));
    		}
    	}
    
    	// 编写prim算法，得到最小生成树
    	/** * @param graph * 图 * @param v * 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1... */
    	public void prim(MGraph graph, int v) { 
    		// visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
    		int visited[] = new int[graph.verxs];
    		// visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
    
    		// 把当前这个结点标记为已访问
    		visited[v] = 1;
    		// h1 和 h2 记录两个顶点的下标
    		int h1 = -1;
    		int h2 = -1;
    		int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
    		for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { 
    			// 因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有graph.verxs-1边
    			// 这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
    			for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i结点表示被访问过的结点
    				for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j结点表示还没有访问过的结点
    					if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0
    							&& graph.weight[i][j] < minWeight) { 
    						// 替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
    						minWeight = graph.weight[i][j];
    						h1 = i;
    						h2 = j;
    					}
    				}
    			}
    			// 找到一条边是最小
    			System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2]
    					+ "> 权值:" + minWeight);
    			// 将当前这个结点标记为已经访问
    			visited[h2] = 1;
    			// minWeight 重新设置为最大值 10000
    			minWeight = 10000;
    		}
    
    	}
    }
    
    class MGraph { 
    	int verxs; // 表示图的节点个数
    	char[] data;// 存放结点数据
    	int[][] weight; // 存放边，就是我们的邻接矩阵
    
    	public MGraph(int verxs) { 
    		this.verxs = verxs;
    		data = new char[verxs];
    		weight = new int[verxs][verxs];
    	}
    }

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# 克鲁斯卡尔算法 #

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

**基本思想：** 按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路  
**具体做法：** 首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

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## 应用-公交站问题 ##

![在这里插入图片描述][202003270932023.png]

1.  某市有7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
2.  各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
3.  问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

**思路分析：**

假设，用数组R保存最小生成树结果。

第1步：将边<E,F>加入R中。  
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步：将边<C,D>加入R中。  
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步：将边<D,E>加入R中。  
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步：将边<B,F>加入R中。  
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

第5步：将边<E,G>加入R中。  
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步：将边<A,B>加入R中。  
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成。它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

克鲁斯卡尔和普里姆的区别也就可以看出来了。普里姆算法是从顶点出发，不断寻找相连边的最小权值。而克鲁斯卡尔算法是直接从所有边中找权值最小的。

也正是因为上面的这个区别，导致在普里姆中使用的判断是否形成回路的方法，在克鲁斯卡尔中就不能使用了。就比如第三步，把<D,E>加入R中，如果用普里姆的方法，D和E都被访问过，这条边是不能使用的。

其实这很好理解，普里姆算法每次都会找相邻的节点，它永远都是一棵树。但是克鲁斯卡尔不会，它可能会形成多棵树。

**克鲁斯卡尔中判断是否形成回路的方法：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：  
C的终点是F  
D的终点是F  
E的终点是F  
F的终点是F

关于终点的说明：  
就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后，某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

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### 完整代码 ###

import java.util.Arrays;
    
    public class KruskalCase { 
    
    	private int edgeNum; //边的个数
    	private char[] vertexs; //顶点数组
    	private int[][] matrix; //邻接矩阵
    	//使用 INF 表示两个顶点不能连通
    	private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    	
    	public static void main(String[] args) { 
    		char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
    		//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 
    	      int matrix[][] = { 
    	      /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
    	/*A*/ {    0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
    	/*B*/ {   12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
    	/*C*/ {  INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
    	/*D*/ {  INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
    	/*E*/ {  INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
    	/*F*/ {   16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
    	/*G*/ {   14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}}; 
    	      
    	      //创建对象实例
    	      KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
    	      //kruskalCase.print();
    	      //测试
    	      kruskalCase.kruskal();
    	      
    	}
    	
    	//构造器
    	public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { 
    		//初始化顶点数和边的个数
    		int vlen = vertexs.length;
    		
    		//初始化顶点
    		this.vertexs = new char[vlen];
    		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { 
    			this.vertexs[i] = vertexs[i];
    		}
    		
    		//初始化边
    		this.matrix = new int[vlen][vlen];
    		for(int i = 0; i < vlen; i++) { 
    			for(int j = 0; j < vlen; j++) { 
    				this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
    			}
    		}
    		
    		//统计边的条数
    		for(int i = 0; i < vlen; i++) { 
    			for(int j = i + 1; j < vlen; j++) { 
    				if(this.matrix[i][j] != INF) { 
    					edgeNum++;
    				}
    			}
    		}
    	}
    	
    	public void kruskal() { 
    		int index = 0; //表示最后结果数组的索引
    		int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
    		//创建结果数组, 保存最后的最小生成树
    		EData[] rets = new EData[edgeNum];
    		
    		//获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
    		EData[] edges = getEdges();
    		System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges)); 
    		System.out.println("总共"+edges.length+"条边");
    		
    		//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
    		sortEdges(edges);
    		
    		//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
    		for(int i = 0; i < edgeNum; i++) { 
    			//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
    			int p1 = getPosition(edges[i].start); 
    			//获取到第i条边的第二个顶点
    			int p2 = getPosition(edges[i].end); 
    			
    			//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
    			int m = getEnd(ends, p1); 
    			//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
    			int n = getEnd(ends, p2); 
    			//是否构成回路
    			if(m != n) {  //没有构成回路
    				ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 
    				rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
    			}
    		}
    		//统计并打印 "最小生成树", 输出 rets
    		System.out.println("最小生成树为");
    		for(int i = 0; i < index; i++) { 
    			System.out.println(rets[i]);
    		}
    	}
    	
    	//打印邻接矩阵
    	public void print() { 
    		System.out.println("邻接矩阵为: \n");
    		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { 
    			for(int j = 0; j < vertexs.length; j++) { 
    				System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
    			}
    			System.out.println();//换行
    		}
    	}
    
    	/** * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序 * @param edges 边的集合 */
    	private void sortEdges(EData[] edges) { 
    		for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { 
    			for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { 
    				if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) { //交换
    					EData tmp = edges[j];
    					edges[j] = edges[j+1];
    					edges[j+1] = tmp;
    				}
    			}
     		}
    	}
    	/** * @param ch 顶点的值，比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1 */
    	private int getPosition(char ch) { 
    		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { 
    			if(vertexs[i] == ch) {  //找到
    				return i;
    			}
    		}
    		//找不到,返回-1
    		return -1;
    	}
    	/** * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */
    	private EData[] getEdges() { 
    		int index = 0;
    		EData[] edges = new EData[edgeNum];
    		for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { 
    			for(int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) { 
    				if(matrix[i][j] != INF) { 
    					edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
    				}
    			}
    		}
    		return edges;
    	}
    	/** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标 */
    	private int getEnd(int[] ends, int i) {  
    		while(ends[i] != 0) { 
    			i = ends[i];
    		}
    		return i;
    	}
     
    }
    
    //创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
    class EData { 
    	char start; //边的一个点
    	char end; //边的另外一个点
    	int weight; //边的权值
    	//构造器
    	public EData(char start, char end, int weight) { 
    		this.start = start;
    		this.end = end;
    		this.weight = weight;
    	}
    	//重写toString, 便于输出边信息
    	@Override
    	public String toString() { 
    		return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
    	}
    	
    	
    }

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# 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法 #

**迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍**

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

**迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程**

设置出发顶点为v，顶点集合V\{v1,v2,vi…\}，v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis\{d1,d2,di…\}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)

1.  从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
2.  更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
3.  重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

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## 应用-最短路径 ##

![在这里插入图片描述][20200327102857933.png]

1.  战争时期，某乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
2.  各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
3.  问：如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?

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### 完整代码 ###

import java.util.Arrays;
    
    public class DijkstraAlgorithm { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		char[] vertex = {  'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
    		// 邻接矩阵
    		int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
    		final int N = 65535;// 表示不可以连接
    		matrix[0] = new int[] {  N, 5, 7, N, N, N, 2 };
    		matrix[1] = new int[] {  5, N, N, 9, N, N, 3 };
    		matrix[2] = new int[] {  7, N, N, N, 8, N, N };
    		matrix[3] = new int[] {  N, 9, N, N, N, 4, N };
    		matrix[4] = new int[] {  N, N, 8, N, N, 5, 4 };
    		matrix[5] = new int[] {  N, N, N, 4, 5, N, 6 };
    		matrix[6] = new int[] {  2, 3, N, N, 4, 6, N };
    		// 创建 Graph对象
    		Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
    		// 测试
    		//graph.showGraph();
    		// 测试迪杰斯特拉算法
    		graph.dsj(2);
    		graph.showDijkstra();
    	}
    }
    
    class Graph { 
    	private char[] vertex; // 顶点数组
    	private int[][] matrix; // 邻接矩阵
    	private VisitedVertex vv; // 已经访问的顶点的集合
    
    	// 构造器
    	public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) { 
    		this.vertex = vertex;
    		this.matrix = matrix;
    	}
    
    	// 显示结果
    	public void showDijkstra() { 
    		vv.show();
    	}
    
    	// 显示图
    	public void showGraph() { 
    		for (int[] link : matrix) { 
    			System.out.println(Arrays.toString(link));
    		}
    	}
    
    	// 迪杰斯特拉算法实现
    	/** * @param index * 表示出发顶点对应的下标 */
    	public void dsj(int index) { 
    		vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
    		update(index);// 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
    		for (int j = 1; j < vertex.length; j++) { 
    			index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点
    			update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
    		}
    	}
    
    	// 更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点
    	private void update(int index) { 
    		int len = 0;
    		// 根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index]行
    		for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) { 
    			// len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和
    			len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
    			// 如果j顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新
    			if (!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) { 
    				vv.updatePre(j, index); // 更新j顶点的前驱为index顶点
    				vv.updateDis(j, len); // 更新出发顶点到j顶点的距离
    			}
    		}
    	}
    }
    
    // 已访问顶点集合
    class VisitedVertex { 
    	// 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新
    	public int[] already_arr;
    	// 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
    	public int[] pre_visited;
    	// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dis
    	public int[] dis;
    
    	// 构造器
    	/** * @param length * :表示顶点的个数 * @param index * : 出发顶点对应的下标, 比如G顶点，下标就是6 */
    	public VisitedVertex(int length, int index) { 
    		this.already_arr = new int[length];
    		this.pre_visited = new int[length];
    		this.dis = new int[length];
    		// 初始化 dis数组
    		Arrays.fill(dis, 65535);
    		this.already_arr[index] = 1; // 设置出发顶点被访问过
    		this.dis[index] = 0;// 设置出发顶点的访问距离为0
    	}
    
    	/** * 功能: 判断index顶点是否被访问过 * @param index * @return 如果访问过，就返回true, 否则访问false */
    	public boolean in(int index) { 
    		return already_arr[index] == 1;
    	}
    
    	/** * 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离 * * @param index * @param len */
    	public void updateDis(int index, int len) { 
    		dis[index] = len;
    	}
    
    	/** * 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点 * * @param pre * @param index */
    	public void updatePre(int pre, int index) { 
    		pre_visited[pre] = index;
    	}
    
    	/** * 功能:返回出发顶点到index顶点的距离 * @param index */
    	public int getDis(int index) { 
    		return dis[index];
    	}
    
    	/** * 继续选择并返回新的访问顶点 * @return */
    	public int updateArr() { 
    		int min = 65535, index = 0;
    		for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) { 
    			if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) { 
    				min = dis[i];
    				index = i;
    			}
    		}
    		// 更新 index 顶点被访问过
    		already_arr[index] = 1;
    		return index;
    	}
    
    	// 显示最后的结果
    	public void show() { 
    		/* // 输出already_arr for (int i : already_arr) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); // 输出pre_visited for (int i : pre_visited) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); // 输出dis for (int i : dis) { System.out.print(i + " "); } System.out.println(); */
    		
    		// 为了方便看最后的最短距离：
    		char[] vertex = {  'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
    		int count = 0;
    		for (int i : dis) { 
    			if (i != 65535) { 
    				System.out.print(vertex[count] + "(" + i + ") ");
    			} else { 
    				System.out.println("N ");
    			}
    			count++;
    		}
    		System.out.println();
    	}
    }

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# 弗洛伊德(Floyd)算法 #

**弗洛伊德(Floyd)算法介绍**

1.  和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
2.  弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
3.  迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
4.  弗洛伊德算法 和 迪杰斯特拉算法 的比较：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。

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## 应用-最短路径 ##

![在这里插入图片描述][20200327135215936.png]

1.  某乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)
2.  各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
3.  问：如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?

**思路分析：**

1.  设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik，顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj，顶点vi到vj的路径为Lij，则vi到vj的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径
2.  至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得

首先，距离表中只记录和某顶点相邻顶点之间的边。自己与自己就是0，暂时不相邻的为N。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
第一轮循环中，以A(下标为：0)作为中间顶点。

将A作为中间顶点情况有

1.  C-A-G \[9\]
2.  C-A-B \[12\]
3.  G-A-B \[7\]

把A作为中间顶点的所有情况都进行遍历, 就可以用来更新距离表。当然要和之前距离表本来就存在的距离比较，看是否需要更新。

距离表更新为：  
![在这里插入图片描述][20200327103237983.png]  
之后的循环和上面一样。将所有点作为过一次中间顶点，即可完成距离表。

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### 完整代码 ###

package com.guigu.floyd;
    
    import java.util.Arrays;
    
    public class FloydAlgorithm { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		char[] vertex = {  'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
    		// 创建邻接矩阵
    		int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
    		final int N = 65535;
    		matrix[0] = new int[] {  0, 5, 7, N, N, N, 2 };
    		matrix[1] = new int[] {  5, 0, N, 9, N, N, 3 };
    		matrix[2] = new int[] {  7, N, 0, N, 8, N, N };
    		matrix[3] = new int[] {  N, 9, N, 0, N, 4, N };
    		matrix[4] = new int[] {  N, N, 8, N, 0, 5, 4 };
    		matrix[5] = new int[] {  N, N, N, 4, 5, 0, 6 };
    		matrix[6] = new int[] {  2, 3, N, N, 4, 6, 0 };
    
    		// 创建 Graph 对象
    		Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
    		// 调用弗洛伊德算法
    		graph.floyd();
    		graph.show();
    	}
    
    }
    
    // 创建图
    class Graph { 
    	private char[] vertex; // 存放顶点的数组
    	private int[][] dis; // 保存，从各个顶点出发到其它顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组
    	private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点
    
    	// 构造器
    	/** * @param length * 大小 * @param matrix * 邻接矩阵 * @param vertex * 顶点数组 */
    	public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) { 
    		this.vertex = vertex;
    		this.dis = matrix;
    		this.pre = new int[length][length];
    		// 对pre数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标
    		for (int i = 0; i < length; i++) { 
    			Arrays.fill(pre[i], i);
    		}
    	}
    
    	public void show() { 
    		// 为了显示便于阅读：
    		for (int k = 0; k < dis.length; k++) { 
    			/* // 先将pre数组输出的一行 for (int i = 0; i < dis.length; i++) { System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " "); } System.out.println(); */
    			// 输出dis数组的一行数据
    			for (int i = 0; i < dis.length; i++) { 
    				System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是"
    						+ dis[k][i] + ") ");
    			}
    			System.out.println();
    			System.out.println();
    		}
    	}
    
    	// 弗洛伊德算法
    	public void floyd() { 
    		int len = 0; // 变量保存距离
    		// 对中间顶点遍历， k 就是中间顶点的下标 
    		for (int k = 0; k < dis.length; k++) {  
    			// 从i顶点开始出发
    			for (int i = 0; i < dis.length; i++) { 
    				// 到达j顶点 
    				for (int j = 0; j < dis.length; j++) { 
    					// 求出从i 顶点出发，经过 k中间顶点，到达 j顶点距离
    					len = dis[i][k] + dis[k][j];
    					if (len < dis[i][j]) { // 如果len小于 dis[i][j]
    						dis[i][j] = len;// 更新距离
    						pre[i][j] = pre[k][j];// 更新前驱顶点
    					}
    				}
    			}
    		}
    	}
    }

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# 马踏棋盘算法 #

**马踏棋盘算法介绍和游戏演示**

1.  马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题
2.  将马随机放在国际象棋的8×8棋盘Board\[0～7\]\[0～7\]的某个方格中，马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求每个方格只进入一次，走遍棋盘上全部64个方格
3.  游戏演示: http://www.4399.com/flash/146267\_2.htm  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

**马踏棋盘游戏代码实现**

1.  马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。
2.  如果使用回溯（就是深度优先搜索）来解决，假如马儿踏了53个点，如图：走到了第53个，坐标（1,0），发现已经走到尽头，没办法，那就只能回退了，查看其他的路径，就在棋盘上不停的回溯……
3.  除此以外，还可以使用贪心算法进行优化。

**骑士周游问题的解决步骤和思路**

1.  创建棋盘 chessBoard , 是一个二维数组
2.  将当前位置设置为已经访问，然后根据当前位置，计算马儿还能走哪些位置，并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置， 每走一步，就使用step+1
3.  遍历ArrayList中存放的所有位置，看看哪个可以走通 , 如果走通，就继续，走不通，就回溯.
4.  判断马儿是否完成了任务，使用step 和应该走的步数比较 ， 如果没有达到数量，则表示没有完成任务。  
    注意：马儿不同的走法（策略），会得到不同的结果，效率也会有影响(优化)

**使用贪心算法对原来的算法优化**

1.  我们获取当前位置，可以走的下一个位置的集合  
    ArrayList ps = next(new Point(column, row));
2.  我们需要对 ps 中所有的Point 的下一步的所有集合的数目，进行非递减排序,就ok ,

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## 完整代码 ##

import java.awt.Point;
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Collections;
    import java.util.Comparator;
    
    public class HorseChessboard { 
    
    	private static int X; // 棋盘的列数
    	private static int Y; // 棋盘的行数
    	// 创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问过
    	private static boolean visited[];
    	// 使用一个属性，标记是否棋盘的所有位置都被访问
    	private static boolean finished; // 如果为true,表示成功
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		System.out.println("骑士周游算法，开始运行~~");
    		// 测试骑士周游算法是否正确
    		X = 8;
    		Y = 8;
    		int row = 1;    // 马儿初始位置的行，从1开始编号
    		int column = 1; // 马儿初始位置的列，从1开始编号
    		// 创建棋盘
    		int[][] chessboard = new int[X][Y];
    		visited = new boolean[X * Y];// 初始值都是false
    		// 测试一下耗时
    		long start = System.currentTimeMillis();
    		traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);
    		long end = System.currentTimeMillis();
    		System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒");
    
    		// 输出棋盘的最后情况
    		for (int[] rows : chessboard) { 
    			for (int step : rows) { 
    				System.out.print(step + "\t");
    			}
    			System.out.println();
    		}
    	}
    
    	/** * 完成骑士周游问题的算法 * * @param chessboard * 棋盘 * @param row * 马儿当前的位置的行 从0开始 * @param column * 马儿当前的位置的列 从0开始 * @param step * 是第几步 ,初始位置就是第1步 */
    	public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row,
    			int column, int step) { 
    		chessboard[row][column] = step;
    		visited[row * X + column] = true; // 标记该位置已经访问
    		// 获取当前位置可以走的下一个位置的集合
    		ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));
    		// 对ps进行排序,排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置的数目，进行非递减排序
    		sort(ps);
    		// 遍历 ps
    		while (!ps.isEmpty()) { 
    			Point p = ps.remove(0);// 取出下一个可以走的位置
    			// 判断该点是否已经访问过
    			if (!visited[p.y * X + p.x]) { // 说明还没有访问过
    				traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
    			}
    		}
    		// 判断马儿是否完成了任务，使用 step 和应该走的步数比较 ，
    		// 如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0
    		// 说明: step < X * Y 成立的情况有两种
    		// 1. 棋盘到目前位置,仍然没有走完
    		// 2. 棋盘处于一个回溯过程
    		if (step < X * Y && !finished) { 
    			chessboard[row][column] = 0;
    			visited[row * X + column] = false;
    		} else { 
    			finished = true;
    		}
    
    	}
    
    	/** * 功能： 根据当前位置(Point对象)，计算马儿还能走哪些位置(Point)，并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置 * @param curPoint * @return */
    	public static ArrayList<Point> next(Point curPoint) { 
    		// 创建一个ArrayList
    		ArrayList<Point> ps = new ArrayList<Point>();
    		// 创建一个Point
    		Point p1 = new Point();
    		// 表示马儿可以走5这个位置
    		if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) { 
    			ps.add(new Point(p1));
    		}
    		// 判断马儿可以走6这个位置
    		if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) { 
    			ps.add(new Point(p1));
    		}
    		// 判断马儿可以走7这个位置
    		if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) { 
    			ps.add(new Point(p1));
    		}
    		// 判断马儿可以走0这个位置
    		if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) { 
    			ps.add(new Point(p1));
    		}
    		// 判断马儿可以走1这个位置
    		if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) { 
    			ps.add(new Point(p1));
    		}
    		// 判断马儿可以走2这个位置
    		if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) { 
    			ps.add(new Point(p1));
    		}
    		// 判断马儿可以走3这个位置
    		if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) { 
    			ps.add(new Point(p1));
    		}
    		// 判断马儿可以走4这个位置
    		if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) { 
    			ps.add(new Point(p1));
    		}
    		return ps;
    	}
    
    	// 根据当前这个一步的所有的下一步的选择位置，进行非递减排序, 减少回溯的次数
    	public static void sort(ArrayList<Point> ps) { 
    		Collections.sort(ps, new Comparator<Point>() { 
    			@Override
    			public int compare(Point o1, Point o2) { 
    				// TODO Auto-generated method stub
    				// 获取到o1的下一步的所有位置个数
    				int count1 = next(o1).size();
    				// 获取到o2的下一步的所有位置个数
    				int count2 = next(o2).size();
    				if (count1 < count2) { 
    					return -1;
    				} else if (count1 == count2) { 
    					return 0;
    				} else { 
    					return 1;
    				}
    			}
    
    		});
    	}
    }

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