克鲁斯卡尔算法解决公交站问题

喜欢ヅ旅行 2021-07-24 12:35 420阅读 0赞

# 一 问题提出 #

1 某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通。

2 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里。

问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

![20210331172234922.png][]

# 二 克鲁斯卡尔算法 #

1 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

2 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。

3 具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

# 三 克鲁斯卡尔算法图解 #

以公交站问题为例来图解克鲁斯卡尔算法。

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

对于上图所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

现在用克鲁斯卡尔算法来演示最小生成树的生成过程，结果保存到数组R中。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

第1步：将边<E,F>加入R中。

边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步：将边<C,D>加入R中。

上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步：将边<D,E>加入R中。

上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步：将边<B,F>加入R中。

上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

第5步：将边<E,G>加入R中。

上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步：将边<A,B>加入R中。

上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

# 四 克鲁斯卡尔算法分析 #

从前面分析可知：克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二：将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

针对问题一，采用排序算法进行排序即可。

针对问题二，记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

# 五 如何判断是否构成回路 #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

1 C的终点是F。

2 D的终点是F。

3 E的终点是F。

4 F的终点是F。

> 关于终点的说明

1 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后，某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

2 虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

# 六 实战 #

## 1 要求 ##

用克鲁斯卡尔算法解决开篇提出的公交站问题。

## 2 代码 ##

import java.util.Arrays;
    
    /**
    * @className: KruskalCase
    * @description: 克鲁斯卡尔算法
    * @date: 2021/3/31
    * @author: cakin
    */
    public class KruskalCase {
        // 边的个数
        private int edgeNum;
        // 顶点数组
        private char[] vertexs;
        // 邻接矩阵
        private int[][] matrix;
        // INF 表示两个顶点不能连通
        private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    
        /**
         * 功能描述：克鲁斯卡尔算法解决公交站问题
         *
         * @param args 命令行
         * @author cakin
         * @date 2021/3/31
         */
        public static void main(String[] args) {
            // 公交站顶点
            char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
            // 克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
            int matrix[][] = {
                    /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                    /*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
                    /*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
                    /*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                    /*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                    /*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                    /*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                    /*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
            // 创建 克鲁斯卡尔 对象实例
            KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
            kruskalCase.print();
            kruskalCase.kruskal();
        }
    
        // 构造器
        public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
            // 初始化顶点数
            int vlen = vertexs.length;
    
            // 初始化顶点
            this.vertexs = new char[vlen];
            for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                this.vertexs[i] = vertexs[i];
            }
    
            // 初始化边
            this.matrix = new int[vlen][vlen];
            for (int i = 0; i < vlen; i++) {
                for (int j = 0; j < vlen; j++) {
                    this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
                }
            }
            // 统计边的条数
            for (int i = 0; i < vlen; i++) {
                for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {
                    if (this.matrix[i][j] != INF) {
                        edgeNum++;
                    }
                }
            }
        }
    
        /**
         * 功能描述：克鲁斯卡尔算法实现
         *
         * @author cakin
         * @date 2021/3/31
         */
        public void kruskal() {
            int index = 0; //表示最后结果数组的索引
            int[] ends = new int[edgeNum]; // 用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
            // 创建结果数组, 保存最后的最小生成树
            EData[] rets = new EData[edgeNum];
            // 获取图中所有的边的集合，一共有12边
            EData[] edges = getEdges();
            System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共" + edges.length); // 12
            // 按照边的权值大小进行排序(从小到大)
            sortEdges(edges);
            System.out.println("排序后=" + Arrays.toString(edges));
            // 遍历 edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
            for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
                // 获取到第 i 条边的第一个顶点(起点)的下标
                int p1 = getPosition(edges[i].start);
                // 获取到第 i 条边的第二个顶点(终点)的下标
                int p2 = getPosition(edges[i].end);
                // 获取 p1 这个顶点在已有最小生成树中的终点
                int m = getEnd(ends, p1);
                //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
                int n = getEnd(ends, p2);
                // 是否构成回路
                if (m != n) { // 没有构成回路
                    ends[m] = n; // 设置 m 在"已有最小生成树"中的终点
                    rets[index++] = edges[i]; // 将这条边加入到 rets 数组
                }
            }
    
            // 打印"最小生成树"
            System.out.println("最小生成树为");
            // <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>
            for (int i = 0; i < index; i++) {
                System.out.println(rets[i]);
            }
        }
    
        // 打印邻接矩阵
        public void print() {
            System.out.println("邻接矩阵为: \n");
            for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
                    System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
                }
                System.out.println(); // 换行
            }
        }
    
        /**
         * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序，从小到大
         *
         * @param edges 边的集合
         */
        private void sortEdges(EData[] edges) {
            for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
                for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
                    if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {//交换
                        EData tmp = edges[j];
                        edges[j] = edges[j + 1];
                        edges[j + 1] = tmp;
                    }
                }
            }
        }
    
        /**
         * @param ch 顶点的值，比如'A','B'
         * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1
         */
        private int getPosition(char ch) {
            for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                if (vertexs[i] == ch) { // 找到
                    return i;
                }
            }
            // 找不到,返回-1
            return -1;
        }
    
        /**
         * 功能: 获取图中边，放入 EData[] 数组中，主要是通过 matrix 邻接矩阵来获取
         * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
         *
         * @return
         */
        private EData[] getEdges() {
            int index = 0;
            EData[] edges = new EData[edgeNum];
            for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
                for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
                    if (matrix[i][j] != INF) {
                        edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
                    }
                }
            }
            return edges;
        }
    
        /**
         * 功能: 获取下标为 i 的顶点的终点,用于判断两个顶点的终点是否相同
         *
         * @param ends ： 记录各个顶点对应的终点是哪个,该数组是在遍历过程中逐步形成
         * @param i    : 表示传入的顶点对应的下标
         * @return 下标为 i 的这个顶点对应的终点的下标
         */
        private int getEnd(int[] ends, int i) {
            while (ends[i] != 0) {
                i = ends[i];
            }
            return i;
        }
    }
    
    /**
    * @className: EData
    * @description: 表示一条边
    * @date: 2021/3/31
    * @author: cakin
    */
    class EData {
        char start; // 边的开始顶点
        char end; // 边的结束顶点
        int weight; // 边的权值
    
        // 构造器
        public EData(char start, char end, int weight) {
            this.start = start;
            this.end = end;
            this.weight = weight;
        }
    
        // 输出边信息
        @Override
        public String toString() {
            return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
        }
    }

## 3 测试 ##

邻接矩阵为:
               0          12  2147483647  2147483647  2147483647          16          14
              12           0          10  2147483647  2147483647           7  2147483647
      2147483647          10           0           3           5           6  2147483647
      2147483647  2147483647           3           0           4  2147483647  2147483647
      2147483647  2147483647           5           4           0           2           8
              16           7           6  2147483647           2           0           9
              14  2147483647  2147483647  2147483647           8           9           0
    图的边的集合=[EData [<A, B>= 12], EData [<A, F>= 16], EData [<A, G>= 14], EData [<B, C>= 10], EData [<B, F>= 7], EData [<C, D>= 3], EData [<C, E>= 5], EData [<C, F>= 6], EData [<D, E>= 4], EData [<E, F>= 2], EData [<E, G>= 8], EData [<F, G>= 9]] 共12
    排序后=[EData [<E, F>= 2], EData [<C, D>= 3], EData [<D, E>= 4], EData [<C, E>= 5], EData [<C, F>= 6], EData [<B, F>= 7], EData [<E, G>= 8], EData [<F, G>= 9], EData [<B, C>= 10], EData [<A, B>= 12], EData [<A, G>= 14], EData [<A, F>= 16]]
    最小生成树为
    EData [<E, F>= 2]
    EData [<C, D>= 3]
    EData [<D, E>= 4]
    EData [<B, F>= 7]
    EData [<E, G>= 8]
    EData [<A, B>= 12]

[20210331172234922.png]: /images/20210724/dcdbdcb6592343f0b9a2091e21d34fc9.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20210724/6e88ff11e0b84bffa112325e620d06c9.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20210724/53064fca9e524e4c8cbcfcf9970387ca.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20210724/b09a6771860c4225b9899004002d8135.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20210724/5a18e045eff040fb93634ec8bd0a3bbc.png