sympy求积分|微分|极限|解微分方程|解RLC震荡电路

清疚 2023-07-17 15:33 19阅读 0赞

运用python的sympy工具包，可以方便的对相应的方程进行求解。在上一篇文章中，我们用sympy解了复杂的非线性方程组、复数方程组、多元多次方程组，链接如下：

[python求解多元多次方程组或非线性方程组 ][python_]

Sympy中有详细的官方文档和相应的例子：官方文档地址：[https://docs.sympy.org/dev/index.html][https_docs.sympy.org_dev_index.html]

ODE(微分方程组)应用实例：[https://docs.sympy.org/dev/modules/solvers/ode.html\#][https_docs.sympy.org_dev_modules_solvers_ode.html]

**目录**

一、求解方程和方程组

1.1 二元一次方程组

1.2 多解

1.3 复数解

1.4 非线性求解

1.5 较为复杂的二元二次方程

二、高等数学相关

2.1 求微分积分和偏微分

2.2 三角函数化简

三、求解较难的问题

3.1 求解RLC震荡电路

--------------------

# 一、求解方程和方程组 #

python求解方程组的工具包较多。例如：

*   numpy：numpy.linalg.solve 可以直接求解线性方程组，numpy是python非常常用的包，解的方程也较为初级。
 *   scipy：from scipy.optimize import fsolve，可以求解非线性方程组，使用较为方便，但是解集并不完备，可能漏掉一下解（后文会给个例子）scipy可以用于数学、科学、工程领域的常用软件包,可以处理插值、积分、优化，相对较初级易用
 *   sympy：此工具包功能相对强大，支持符号计算、高精度计算、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。github地址：https://github.com/sympy/sympy
 *   sage，不支持位运算，z3约束求解器，等其他工具包，本文不详述，感兴趣的可以查找相应的内容。

本文详细讲述scipy以及sympy求解多次方程的方法。

没安装可以在teiminal中pip install sympy，此工具包涉及支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散 数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。功能较为强大，解方程组时性能也较好。

sympy官方地址：[https://github.com/sympy/sympy][https_github.com_sympy_sympy]

## 1.1 二元一次方程组 ##

![20200224171509557.png][]

较为简单，

from sympy import *
    # 二元一次方程
    x = Symbol('x')
    y = Symbol('y')
    solved_value=solve([2*x+y-1, x-2*y], [x, y])
    print(solved_value)

此方法较为简单，但是相应的自变量应当写成符号的形式，x=Symbol('x')

求解后有分数解：

{x: 2/5, y: 1/5}
    Program done!

## 1.2 多解 ##

多解情况与复数解

例如，多个解的情况，sympy可以很好的进行求解

![20200224173101122.png][]

x = Symbol('x')
        solved_value=solve([x**2-9], [x])
        print(solved_value)

输出结果：

[(-3,), (3,)]

## 1.3 复数解 ##

复数解也可以很好解出：

![20200224174006527.png][]

# 复数解
        solved_value = solve([x ** 2 + 9], [x])
        print(solved_value)
        solved_value = solve([x ** 4 - 9], [x])
        print(solved_value)
    """
    运行结果：
    [(-3*I,), (3*I,)]
    [(-sqrt(3),), (sqrt(3),), (-sqrt(3)*I,), (sqrt(3)*I,)]
    """

复数解也能较好解出

## 1.4 非线性求解 ##

比如三角函数：

![20200224174602295.png][]

程序均能较好解出

# 非线性解
        solved_value = solve([sin(x) - 0.5], [x])
        print(solved_value)
        solved_value = solve([sin(x) - 1], [x])
        print(solved_value)
    
    """
    [(0.523598775598299,), (2.61799387799149,)]
    [(pi/2,)]
    """

## 1.5 较为复杂的二元二次方程 ##

![20200224165317385.png][]

此题较难，无论人来算，很难算出，用scipy工具包也迭代不出解。但是sympy强大的功能可以很好的解出此方程。

# 二元二次方程组
        x = Symbol('x')
        y=  Symbol('y')
        solved_value=solve([x**2+2*x*y-6,2*x*y-2*y**2+3], [x,y])
        print(solved_value)

有四组实数解：

[(-(-3 + sqrt(13))*sqrt(sqrt(13)/2 + 2), -sqrt(sqrt(13)/2 + 2)),
     ((-3 + sqrt(13))*sqrt(sqrt(13)/2 + 2), sqrt(sqrt(13)/2 + 2)), 
    (-sqrt(2 - sqrt(13)/2)*(-sqrt(13) - 3), -sqrt(2 - sqrt(13)/2)), 
    (sqrt(2 - sqrt(13)/2)*(-sqrt(13) - 3), sqrt(2 - sqrt(13)/2))]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

复杂的问题终于解出，有四组实数解！

# 二、高等数学相关 #

[http://www.360doc.com/content/13/1105/05/9934052\_326838602.shtml][http_www.360doc.com_content_13_1105_05_9934052_326838602.shtml]

## 2.1 求微分积分和偏微分 ##

定积分，不定积分等均可进行运算。

x=Symbol('x')
        y=atan(x)
        print("一阶导数:",end=' ')
        print(diff(y,x,1)) #一阶导数
        print("二阶导数:",end=' ')
        print(diff(y,x,2)) #二阶导数
        print("积分:",end=' ')
        print(integrate(y,x))  #积分
        print("定积分:", end=' ')
        print(integrate(y, (x,0,3*pi/2)))   #定积分
        print("广义积分:", end=' ')
        print(integrate(y, (x, 0, +oo)))  # 广义积分
        print('以下为多元方程：')
        a = Symbol('a')
        y2=atan(x+a)
        print("偏导一阶:", end=' ')
        print(diff(y2,x,1)) #偏导一阶
        print("偏导二阶:", end=' ')
        print(diff(y2,x,2)) #偏导二阶
        print("积分:",end=' ')
        print(integrate(y2,x))  #积分
        print("定积分:", end=' ')
        y3=exp(-(x+a+1))
        print(integrate(y3, (x,0,3*pi/2)))   #定积分
        print("广义积分:", end=' ')
        print(integrate(y3, (x, 0, +oo)))  # 广义积分

运行结果：

一阶导数: 1/(x**2 + 1)
    二阶导数: -2*x/(x**2 + 1)**2
    积分: x*atan(x) - log(x**2 + 1)/2
    定积分: -log(1 + 9*pi**2/4)/2 + 3*pi*atan(3*pi/2)/2
    广义积分: oo
    以下为多元方程：
    偏导一阶: 1/((a + x)**2 + 1)
    偏导二阶: -2*(a + x)/((a + x)**2 + 1)**2
    积分: a*atan(a + x) + x*atan(a + x) - log(a**2 + 2*a*x + x**2 + 1)/2
    定积分: exp(-a - 1) - exp(-a - 3*pi/2 - 1)
    广义积分: exp(-1)*exp(-a)

## 2.2 三角函数化简 ##

类似于这种：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNjQ3NDgwOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

#三角函数
        x=Symbol('x')
        print(cos(3*pi/2-x))
        print(cos(3 * pi / 2 + x))
    
    '''
    运行结果：
    -sin(x)
    sin(x)
    '''

直接输出即可化简。

# 三、求解较难的问题 #

## 3.1 求解RLC震荡电路 ##

工程数学和复变函数中，经常遇到一种问题，就是RLC的震荡电路。此类问题，较为复杂，需要微分方程和电路的知识相结合。但是，如果能将相应的方程写出，则问题会简化很多。

例如此类问题：

![20200326164250740.png][]

诸如此类的问题有很多，可以看出左边是电路项，右边是激励项。但是只要能写出公式，sympy即可根据公式给出相应的解。

#求解微分方程
        u = Function('u')
        t = Symbol('t',real=True)
        L = Symbol('L',real=True)
        C = Symbol('C', real=True)
        R = Symbol('R', real=True)
        w = Symbol('w', real=True)
        M = Symbol('M',real=True)
        eq=L*C*u(t).diff(t,2)+R*C*u(t).diff(t,1)+u(t)-M*cos(w*t)
    
        #eq2= u(t).diff(t,2)+2*u(t).diff(t,1)-u(t)
        print(dsolve(Eq(eq,0),u(t)))

得出解为：

Eq(u(t), -C*L*M*w**2*cos(t*w)/(C**2*R**2*w**2 + (C*L*w**2 - 1)**2) + 
    C*M*R*w*sin(t*w)/(C**2*R**2*w**2 + (C*L*w**2 - 1)**2) + 
    C1*exp(t*(-R - sqrt(C*(C*R**2 - 4*L))/C)/(2*L)) + 
    C2*exp(t*(-R + sqrt(C*(C*R**2 - 4*L))/C)/(2*L)) + 
    M*cos(t*w)/(C**2*R**2*w**2 + (C*L*w**2 - 1)**2))

写为公式形式：

![20200326164629704.png][]

至此，这个较难的工程数学方程就得到了较好的解决。如果遇到难解的方程组，需要博主帮忙解，可闲鱼搜索：代解方程组，即可。

博主其他文章：

[python求解多元多次方程组或非线性方程组 ][python_]

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[python_]: https://blog.csdn.net/weixin_36474809/article/details/104476870
[https_docs.sympy.org_dev_index.html]: https://docs.sympy.org/dev/index.html
[https_docs.sympy.org_dev_modules_solvers_ode.html]: https://docs.sympy.org/dev/modules/solvers/ode.html#
[https_github.com_sympy_sympy]: https://github.com/sympy/sympy
[20200224171509557.png]: /images/20230528/35bbe1bdca944f9e937f15a7b18266aa.png
[20200224173101122.png]: /images/20230528/80905829b3e44e5ea97cdb54d4ed57e1.png
[20200224174006527.png]: /images/20230528/65dd47bf0cba46b089ec5fe525033dce.png
[20200224174602295.png]: /images/20230528/c38c60bc53e24fbcad6ee2aefe4ee604.png
[20200224165317385.png]: /images/20230528/61e1b06534314d4ba8efa70319d3dd91.png
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[20200326164250740.png]: /images/20230528/4bab3df106584102ba10000e31b7b71c.png
[20200326164629704.png]: /images/20230528/2b21d63cb9bb45e8b102ac4f39b42150.png
[-_]: https://blog.csdn.net/weixin_36474809/article/details/88884137
[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_36474809/article/details/105038787
[2020_]: https://blog.csdn.net/weixin_36474809/article/details/104907957
[python_logistic_2019-nCov_2_1_]: https://blog.csdn.net/weixin_36474809/article/details/104119494
[python_logistic_2019-nCov_]: https://blog.csdn.net/weixin_36474809/article/details/104101055
[Support Vector Machine_SVM_]: https://blog.csdn.net/weixin_36474809/article/details/103986845
[linux_]: https://blog.csdn.net/weixin_36474809/article/details/103528951