浮点数精度丢失

ゝ一纸荒年。 2023-07-17 14:19 16阅读 0赞

问题提出：12.0f-11.9f=0.10000038，”减不尽”为什么？

来自MSDN的解释：

[http://msdn.microsoft.com/zh-cn/c151dt3s.aspx][http_msdn.microsoft.com_zh-cn_c151dt3s.aspx]

> 为何浮点数可能丢失精度，浮点十进制值通常没有完全相同的二进制表示形式。 这是 CPU 所采用的浮点数据表示形式的副作用。为此，可能会经历一些精度丢失，并且一些浮点运算可能会产生意外的结果。

导致此行为的原因是下面之一：

> 十进制数的二进制表示形式可能不精确。   
> 使用的数字之间类型不匹配（例如，混合使用浮点型和双精度型）。   
> 为解决此行为，大多数程序员或是确保值比需要的大或者小，或是获取并使用可以维护精度的二进制编码的十进制 (BCD) 库。   
> 现在我们就详细剖析一下浮点型运算为什么会造成精度丢失？

1、小数的二进制表示问题

>     首先我们要搞清楚下面两个问题：
>     
>     (1) 十进制整数如何转化为二进制数
>     
>           算法很简单。举个例子，11表示成二进制数：
>     
>                     11/2=5 余   1
>     
>                       5/2=2   余   1
>     
>                       2/2=1   余   0
>     
>                       1/2=0   余   1
>     
>                          0结束         
>       11二进制表示为(从下往上):1011
> 
> 这里提一点：只要遇到除以后的结果为0了就结束了，大家想一想，所有的整数除以2是不是一定能够最终得到0。换句话说，所有的整数转变为二进制数的算法会不会无限循环下去呢？绝对不会，整数永远可以用二进制精确表示 ，但小数就不一定了。
> 
>     (2) 十进制小数如何转化为二进制数
>     
>           算法是乘以2直到没有了小数为止。举个例子，0.9表示成二进制数
>     
>                     0.9*2=1.8   取整数部分 1
>     
>                     0.8(1.8的小数部分)*2=1.6    取整数部分 1
>     
>                     0.6*2=1.2   取整数部分 1
>     
>                     0.2*2=0.4   取整数部分 0
>     
>                     0.4*2=0.8   取整数部分 0
>     
>                     0.8*2=1.6 取整数部分 1
>     
>                     0.6*2=1.2   取整数部分 0
>     
>                     .........   
>         0.9二进制表示为(从上往下): 1100100100100......
> 
> 注意：上面的计算过程循环了，也就是说\*2永远不可能消灭小数部分，这样算法将无限下去。很显然，小数的二进制表示有时是不可能精确的 。其实道理很简单，十进制系统中能不能准确表示出1/3呢？同样二进制系统也无法准确表示1/10。这也就解释了为什么浮点型减法出现了”减不尽”的精度丢失问题。

2、 float型在内存中的存储

> 众所周知、 Java 的float型在内存中占4个字节。float的32个二进制位结构如下：
> 
>     4bytes      31    30    29----23    22----0         
>     
>      表示       实数符号位    指数符号位        指数位          有效数位
> 
> 其中符号位1表示正，0表示负。有效位数位24位，其中一位是实数符号位。

将一个float型转化为内存存储格式的步骤为：

> （1）先将这个实数的绝对值化为二进制格式，注意实数的整数部分和小数部分的二进制方法在上面已经探讨过了。   
> （2）将这个二进制格式实数的小数点左移或右移n位，直到小数点移动到第一个有效数字的右边。   
> （3）从小数点右边第一位开始数出二十三位数字放入第22到第0位。   
> （4）如果实数是正的，则在第31位放入“0”，否则放入“1”。   
> （5）如果n 是左移得到的，说明指数是正的，第30位放入“1”。如果n是右移得到的或n=0，则第30位放入“0”。   
> （6）如果n是左移得到的，则将n减去1后化为二进制，并在左边加“0”补足七位，放入第29到第23位。如果n是右移得到的或n=0，则将n化为二进制后在左边加“0”补足七位，再各位求反，再放入第29到第23位。

举例说明： 11.9的内存存储格式

> (1) 将11.9化为二进制后大约是” 1011. 1110011001100110011001100…”。   
> (2) 将小数点左移三位到第一个有效位右侧： “1. 011 11100110011001100110 “。 保证有效位数24位，右侧多余的截取（误差在这里产生了 ）。   
> (3) 这已经有了二十四位有效数字，将最左边一位“1”去掉，得到“ 011 11100110011001100110 ”共23bit。将它放入float存储结构的第22到第0位。   
> (4) 因为11.9是正数，因此在第31位实数符号位放入“0”。   
> (5) 由于我们把小数点左移，因此在第30位指数符号位放入“1”。   
> (6) 因为我们是把小数点左移3位，因此将3减去1得2，化为二进制，并补足7位得到0000010，放入第29到第23位。   
> 最后表示11.9为： 0 1 0000010 011 11100110011001100110

再举一个例子：0.2356的内存存储格式

> （1）将0.2356化为二进制后大约是0.00111100010100000100100000。   
> （2）将小数点右移三位得到1.11100010100000100100000。   
> （3）从小数点右边数出二十三位有效数字，即11100010100000100100000放入第22到第0位。   
> （4）由于0.2356是正的，所以在第31位放入“0”。   
> （5）由于我们把小数点右移了，所以在第30位放入“0”。   
> （6）因为小数点被右移了3位，所以将3化为二进制，在左边补“0”补足七位，得到0000011，各位取反，得到1111100，放入第29到第23位。
> 
>     最后表示0.2356为：0 0 1111100 11100010100000100100000

将一个内存存储的float二进制格式转化为十进制的步骤：

> （1）将第22位到第0位的二进制数写出来，在最左边补一位“1”，得到二十四位有效数字。将小数点点在最左边那个“1”的右边。   
> （2）取出第29到第23位所表示的值n。当30位是“0”时将n各位求反。当30位是“1”时将n增1。   
> （3）将小数点左移n位（当30位是“0”时）或右移n位（当30位是“1”时），得到一个二进制表示的实数。   
> （4）将这个二进制实数化为十进制，并根据第31位是“0”还是“1”加上正号或负号即可。

3、浮点型的减法运算

> 浮点加减运算过程比定点运算过程复杂。完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步：   
> 　　 (1) 0操作数的检查；   
> 如果判断两个需要加减的浮点数有一个为0，即可得知运算结果而没有必要再进行有序的一些列操作。   
> 　　 (2) 比较阶码（指数位）大小并完成对阶；   
> 两浮点数进行加减，首先要看两数的 指数位 是否相同，即小数点位置是否对齐。若两数 指数位 相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。反之，若两数阶码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使两数的阶码相同，这个过程叫做对阶 。   
> 如何对阶(假设两浮点数的指数位为 Ex 和 Ey )：通过尾数的移位以改变 Ex 或 Ey ，使之相等。由于浮点表示的数多是规格化的，尾数左移会引起最高有位的丢失，造成很大误差；而尾数右移虽引起最低有效位的丢失，但造成的误差较小，因此，对阶操作规定使尾数右移，尾数右移后使阶码作相应增加，其数值保持不变。很显然，一个增加后的阶码与另一个相等，所增加的阶码一定是小阶。因此在对阶时，总是使小阶向大阶看齐 ，即小阶的尾数向右移位 ( 相当于小数点左移 ) ，每右移一位，其阶码加 1 ，直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差 △ E 。   
> 　　 (3) 尾数（有效数位）进行加或减运算；   
> 对阶完毕后就可 有效数位 求和。不论是加法运算还是减法运算，都按加法进行操作，其方法与定点加减运算完全一样。   
> 　　 (4) 结果规格化并进行舍入处理。   
> 略

4、计算12.0f-11.9f

> 12.0f 的内存存储格式为: 0 1 0000010 100 0000000000 0000000000
> 
> 11.9f 的内存存储格式为: 0 1 0000010 011 1110011001 1001100110

可见两数的指数位完全相同，只要对有效数位进行减法即可。

> 12.0f-11.9f 结果： 0 1 0000010 00000011001100110011010   
> 将结果还原为十进制为： 0.000 11001100110011010= 0.10000038

**详细的分析**

由于对float或double 的使用不当，可能会出现精度丢失的问题。问题大概情况可以通过如下代码理解:

public class FloatDoubleTest {  
    public static void main(String[] args) {  
    float f = 20014999;  
    double d = f;  
    double d2 = 20014999;  
    System.out.println("f=" + f);  
    System.out.println("d=" + d);  
    System.out.println("d2=" + d2);  
    }  
    }

得到的结果如下：

f=2.0015E7
    
    d=2.0015E7
    
    d2=2.0014999E7

> 从输出结果可以看出double 可以正确的表示20014999 ，而float 没有办法表示20014999 ，得到的只是一个近似值。这样的结果很让人讶异。20014999 这么小的数字在float下没办法表示。于是带着这个问题，做了一次关于float和double学习，做个简单分享，希望有助于大家对java 浮点数的理解。

**关于 java 的 float 和 double**

> Java 语言支持两种基本的浮点类型： float 和 double 。java 的浮点类型都依据 IEEE 754 标准。IEEE 754 定义了32 位和 64 位双精度两种浮点二进制小数标准。

**IEEE 754** 用科学记数法以底数为 2 的小数来表示浮点数。

> 32 位浮点数用 1 位表示数字的符号，用 8 位来表示指数，用 23 位来表示尾数，即小数部分。作为有符号整数的指数可以有正负之分。小数部分用二进制（底数 2 ）小数来表示。对于64 位双精度浮点数，用 1 位表示数字的符号，用 11 位表示指数，52 位表示尾数。如下两个图来表示：

float(32位):   
![这里写图片描述][format_png]   
double(64位):   
![这里写图片描述][format_png 1]   
都是分为三个部分：

(1) 一个单独的符号位s 直接编码符号s 。
    
    (2)k 位的幂指数E ，移码表示。
    
    (3)n 位的小数，原码表示。

> 那么 20014999 为什么用 float 没有办法正确表示？
> 
> 结合float和double的表示方法，通过分析 20014999 的二进制表示就可以知道答案了。

以下程序可以得出 20014999 在 double 和 float 下的二进制表示方式。

public class FloatDoubleTest3 {  
    public static void main(String[] args) {  
    double d = 8;  
    long l = Double.doubleToLongBits(d);  
    System.out.println(Long.toBinaryString(l));  
    float f = 8;  
    int i = Float.floatToIntBits(f);  
    System.out.println(Integer.toBinaryString(i));  
    }  
    }

输出结果如下：

Double:100000101110011000101100111100101110000000000000000000000000000
    
    Float:1001011100110001011001111001100

> 对于输出结果分析如下。对于 double 的二进制左边补上符号位 0 刚好可以得到 64 位的二进制数。根据double的表示法，分为符号数、幂指数和尾数三个部分如下：
> 
> 0 10000010111 0011000101100111100101110000000000000000000000000000   
>   
> 对于 float 左边补上符号位 0 刚好可以得到 32 位的二进制数。 根据float的表示法， 也分为 符号数、幂指数和尾数三个部分如下：
> 
> 0 10010111 00110001011001111001100   
>   
> 对比可以得出:符号位都是 0 ，幂指数为移码表示,两者刚好也相等。唯一不同的是尾数，而且可以看出尾数的前面20位都是一样的，后面开始产生误差。

[http_msdn.microsoft.com_zh-cn_c151dt3s.aspx]: http://msdn.microsoft.com/zh-cn/c151dt3s.aspx
[format_png]: /images/20230528/b2b248ff9c1c4469a0792aaa5dbd64f0.png
[format_png 1]: /images/20230528/e775bf37a7ea4f2ba016983eb3f7d10f.png