Java数据结构与算法_11 图（深度优先遍历、广度优先遍历）

ゞ浴缸里的玫瑰 2023-07-15 13:15 16阅读 0赞

### Java数据结构与算法\_11 图 ###

*  图基本介绍
 *  图的常用概念
 *  图的表示方式
 *   *  完整代码
 *  图的遍历
 *   *  深度优先遍历基本思想
     *  广度优先遍历基本思想
     *  完整代码

--------------------

***本人是个新手，写下博客用于自我复习、自我总结。  
如有错误之处，请各位大佬指出。  
学习资料来源于：尚硅谷***

--------------------

# 图基本介绍 #

为什么要有图？

前面出现了线性表和树。  
线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系；  
树也只能有一个直接前驱也就是父节点；  
当我们需要表示多对多的关系时， 只有图能满足条件。

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70]

--------------------

# 图的常用概念 #

1.  顶点(vertex)：如图
2.  边(edge)：如图
3.  无向图：顶点之间的连接没有方向，比如A-B：即可以是 A-> B 也可以 B->A 。
4.  路径：比如从 D -> C 的路径有 ：D->B->C 或 D->A->B->C

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

1.  有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B：只能是 A-> B 不能是 B->A 。如图

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

1.  带权图：如图。这种边带权值的图也叫网。  
    ![在这里插入图片描述][20200317102656765.png]

--------------------

# 图的表示方式 #

图的表示方式有两种：二维数组表示（**邻接矩阵**）；链表表示（**邻接表**）。

**邻接矩阵**是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵。对于n个顶点的图而言，矩阵的row和col表示的是1…n个点。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
**邻接表**

1.  邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失。
2.  邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

接下来就只用邻接矩阵的方式编写代码。邻接表就不再赘述，和哈希表的实现一样。重要的是之后的图的遍历。

要求：代码实现如下图结构  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

--------------------

## 完整代码 ##

import java.util.Arrays;
    
    public class Graph { 
    
    	private int[][] edges; // 存储图对应的邻结矩阵
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		// 测试
    		int n = 5; // 结点的个数
    
    		// 创建图对象
    		Graph graph = new Graph(n);
    
    		// 添加边
    		// A-B A-C B-C B-D B-E
    		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
    		graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
    		graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
    		graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
    		graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E
    
    		// 显示
    		graph.showGraph();
    
    	}
    
    	// 构造器
    	public Graph(int n) { 
    		// 初始化矩阵
    		edges = new int[n][n];
    	}
    
    	// 显示图对应的矩阵
    	public void showGraph() { 
    		for (int[] link : edges) { 
    			System.err.println(Arrays.toString(link));
    		}
    	}
    
    	// 添加边
    	/** * @param v1 * 表示点的下标是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 * 第二个顶点对应的下标 * @param weight * 表示连通性 */
    	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { 
    		edges[v1][v2] = weight;
    		edges[v2][v1] = weight;
    	}
    }

--------------------

# 图的遍历 #

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略： (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

--------------------

## 深度优先遍历基本思想 ##

1.  深度优先遍历，从初始访问结点出发，同时初始访问结点可能有多个邻接结点。深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2.  我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3.  显然，深度优先搜索是一个递归的过程

**深度优先遍历算法步骤：**

1.  访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
2.  查找结点v的第一个邻接结点w。
3.  若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
4.  若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
5.  查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

**示例：** 对下图进行深度优先遍历, 从A 开始遍历。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

**思路分析**

1.  A 被访问， 入栈 。进一个顶点，则表示该顶点被访问
2.  B 被访问，入栈
3.  C 被访问，入栈
4.  A - D 不连接，因此 看栈顶的 C 是否能连接 D 。  
    不通，所以回溯，将 C 弹出栈。
5.  这时 栈顶值为 1 -> B , 将当前 currentIndex = stack.peek()  
    //peek () 返回栈顶值
6.  看看 1->B 是否可以连接到 D, 这时可以
7.  3->D 入栈
8.  D - E 不连接 ， 3 -> D 出栈，并 进行 currentIndex = stack.peek()
9.  看看 1->B 是否可以连接到 E, 这时可以
10. 4->E 入栈
11. 依次将栈的值弹出，直到 stack 为空，就退出 while循环

所以结果是：A B C D E

--------------------

## 广度优先遍历基本思想 ##

广度优先搜索 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。

**广度优先遍历算法步骤：**

1.  访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2.  结点v入队列
3.  当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4.  出队列，取得队头结点u。
5.  查找结点u的第一个邻接结点w。
6.  若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：  
    6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。  
    6.2 结点w入队列  
    6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

**示例：** 对下图进行广度优先遍历, 从A 开始遍历。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
简单说明：A入队后 ，A标记已访问，A出队。A的第一个邻接节点B，B标记已访问；A的下一个邻接节点C，C标记已访问。因为再没有邻接节点，所以回到步骤3。B出队。B的第一个邻接节点D，D标记已访问；D的下一个邻接节点E，E标记已访问。因为再没有邻接节点，所以回到步骤3。C出队，无邻接节点。D出队，无邻接节点。E出队，无邻接节点。结束。

结果为：A B C D E

--------------------

上面的示例看不出什么效果，接下来看另一个示例：

![在这里插入图片描述][20200317155435647.png]  
深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7  
广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8

（如果不知道为什么，可以仔细看看两个遍历的算法步骤，慢慢比对）

--------------------

## 完整代码 ##

import java.util.ArrayList;
    import java.util.Arrays;
    import java.util.LinkedList;
    
    public class Graph { 
    
    	private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
    	private int[][] edges; // 存储图对应的邻结矩阵
    	private int numOfEdges; // 表示边的数目
    	// 定义个数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
    	private boolean[] isVisited;
    
    	public static void main(String[] args) { 
    
    		int n = 8; // 结点的个数
    		String Vertexs[] = {  "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" };
    
    		// 创建图对象
    		Graph graph = new Graph(n);
    		// 循环的添加顶点
    		for (String vertex : Vertexs) { 
    			graph.insertVertex(vertex);
    		}
    
    		// 添加边
    		graph.insertEdge(0, 1, 1);
    		graph.insertEdge(0, 2, 1);
    		graph.insertEdge(1, 3, 1);
    		graph.insertEdge(1, 4, 1);
    		graph.insertEdge(3, 7, 1);
    		graph.insertEdge(4, 7, 1);
    		graph.insertEdge(2, 5, 1);
    		graph.insertEdge(2, 6, 1);
    		graph.insertEdge(5, 6, 1);
    
    		// 显示
    		graph.showGraph();
    
    		// 测试
    		System.out.println("深度遍历");
    		graph.dfs(); // [1->2->4->8->5->3->6->7]
    		System.out.println();
    		System.out.println("广度优先");
    		graph.bfs(); // [1->2->3->4->5->6->7->8]
    
    	}
    
    	// 构造器
    	public Graph(int n) { 
    		// 初始化矩阵和vertexList
    		edges = new int[n][n];
    		vertexList = new ArrayList<String>(n);
    		numOfEdges = 0;
    	}
    
    	// 得到第一个邻接结点的下标 w
    	/** * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */
    	public int getFirstNeighbor(int index) { 
    		for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) { 
    			if (edges[index][j] > 0) { 
    				return j;
    			}
    		}
    		return -1;
    	}
    
    	// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
    	public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { 
    		for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) { 
    			if (edges[v1][j] > 0) { 
    				return j;
    			}
    		}
    		return -1;
    	}
    
    	// 深度优先遍历算法
    	private void dfs(boolean[] isVisited, int i) { 
    		// 首先我们访问该结点,输出
    		System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
    		// 将结点设置为已经访问
    		isVisited[i] = true;
    		// 查找结点i的第一个邻接结点w
    		int w = getFirstNeighbor(i);
    		while (w != -1) { // 说明有
    			if (!isVisited[w]) { 
    				dfs(isVisited, w);
    			}
    			// 如果w结点已经被访问过
    			w = getNextNeighbor(i, w);
    		}
    
    	}
    
    	// 对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
    	public void dfs() { 
    		isVisited = new boolean[vertexList.size()];
    		// 遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
    		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { 
    			if (!isVisited[i]) { 
    				dfs(isVisited, i);
    			}
    		}
    	}
    
    	// 对一个结点进行广度优先遍历的方法
    	private void bfs(boolean[] isVisited, int i) { 
    		int u; // 表示队列的头结点对应下标
    		int w; // 邻接结点w
    		// 队列，记录结点访问的顺序
    		LinkedList queue = new LinkedList();
    		// 访问结点，输出结点信息
    		System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
    		// 标记为已访问
    		isVisited[i] = true;
    		// 将结点加入队列
    		queue.addLast(i);
    
    		while (!queue.isEmpty()) { 
    			// 取出队列的头结点下标
    			u = (Integer) queue.removeFirst();
    			// 得到第一个邻接结点的下标 w
    			w = getFirstNeighbor(u);
    			while (w != -1) { // 找到
    				// 是否访问过
    				if (!isVisited[w]) { 
    					System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
    					// 标记已经访问
    					isVisited[w] = true;
    					// 入队
    					queue.addLast(w);
    				}
    				// 以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
    				w = getNextNeighbor(u, w); // 体现出广度优先
    			}
    		}
    
    	}
    
    	// 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    	public void bfs() { 
    		isVisited = new boolean[vertexList.size()];
    		for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { 
    			if (!isVisited[i]) { 
    				bfs(isVisited, i);
    			}
    		}
    	}
    
    	// 图中常用的方法
    	// 返回结点的个数
    	public int getNumOfVertex() { 
    		return vertexList.size();
    	}
    
    	// 显示图对应的矩阵
    	public void showGraph() { 
    		for (int[] link : edges) { 
    			System.err.println(Arrays.toString(link));
    		}
    	}
    
    	// 得到边的数目
    	public int getNumOfEdges() { 
    		return numOfEdges;
    	}
    
    	// 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
    	public String getValueByIndex(int i) { 
    		return vertexList.get(i);
    	}
    
    	// 返回v1和v2的权值
    	public int getWeight(int v1, int v2) { 
    		return edges[v1][v2];
    	}
    
    	// 插入结点
    	public void insertVertex(String vertex) { 
    		vertexList.add(vertex);
    	}
    
    	// 添加边
    	/** * @param v1 * 表示点的下标是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 * 第二个顶点对应的下标 * @param weight * 表示连通性 */
    	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { 
    		edges[v1][v2] = weight;
    		edges[v2][v1] = weight;
    		numOfEdges++;
    	}
    }

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230528/04a613cb218a42f0b202162dd62588ff.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20230528/b12af3c9d3cb4074a0cc99e9d91d796b.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20230528/36696ed94fef453fb7d6b0739e23d734.png
[20200317102656765.png]: /images/20230528/905bf03713a94f21bf5b96dc07add524.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20230528/2347fa77cfaf4d06826519c476364d3c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20230528/393c757aa9534bbca96aca6f54a00ad3.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20230528/c2333516c3a14080af40df717e4e9cce.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20230528/0136e7e57f70494e921e53af3d5996e0.png
[20200317155435647.png]: /images/20230528/aebeefc4228d4ccbbb1c508a30296c97.png