概率分布函数和概率密度函数入门理解

痛定思痛。 2023-07-06 11:36 9阅读 0赞

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## 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 ##

对于如何分辨离散型随机变量和连续性随机变量，我这里先给大家举几个例子：

1、一批电子元件的次品数目。

2、同样是一批电子元件，他们的寿命情况。

在第一个例子中，电子元件的次数是一个在现实中可以区分的值，我们用肉眼就能看出，这一堆元件里，次品的个数。但是在第二个例子中，这个寿命它是一个你无法用肉眼数的过来的数字，它需要你用笔记下来，变成一个数字你才能感受它。在这两个例子中，第一例子涉及的随机变量就是离散型随机变量，第二个涉及的变量就是连续型随机变量。

在贾俊平老师的《统计学》教材中，给出了这样的区分：

> 如果随机变量的值可以都可以逐个列举出来，则为离散型随机变量。如果随机变量X的取值无法逐个列举则为连续型变量。

我始终觉得，贾老师这么说，对于我们这些脑子笨又爱钻牛角尖的学生来说，还是不太好理解。所以我就告诉大家一个不一定非常严谨，但是绝对好区分的办法。

**只要是能够用我们日常使用的量词可以度量的取值，比如次数，个数，块数等都是离散型随机变量。只要无法用这些量词度量，且取值可以取到小数点2位，3位甚至无限多位的时候，那么这个变量就是连续型随机变量！**

对了，如果你连随机变量这个概念还不理解的话，我送你一句贾俊平老师的话：

> 如果微积分是研究变量的数学，那么概率论与数理统计是研究随机变量的数学。

### 再来理解离散型随机变量的概率分布，概率函数和分布函数 ###

在理解概率分布函数和概率密度函数之前，我们先来看看概率分布和概率函数是咋回事。一下子又冒出来两个长得差不多的概念！没事，他们长得差不多，实际代表的含义其实也差不多！

在讲概率函数和概率分布之前，我想先讲讲为什么我们花这么大的力气去研究这个概念。因为它实在太重要了，为什么呢？在这里，我直接引用陈希孺老师在他所著的《概率论与数理统计》这本书中说的：

> 研究一个随机变量，不只是要看它能取哪些值，更重要的是它取各种值的概率如何！

**这句是本文的核心内容，你要牢牢记得，我们这篇文章里的所有概念都在是描述一件东西，那就是概率！概率！概率！什么概率密度啦，概率分布啦，概率函数啦，都是在描述概率！**

概率分布和概率函数这两个概念，我想先从概率函数开始讲。**概率函数，就是用函数的形式来表达概率。**

pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)

在这个函数里，自变量（X）是随机变量的取值，因变量（pi）是取值的概率。这就叫啥，这叫用数学语言来表示自然现象！它就代表了每个取值的概率，所以顺理成章的它就叫做了X的概率函数。**从公式上来看，概率函数一次只能表示一个取值的概率。比如P（X=1）=1/6,这代表用概率函数的形式来表示，当随机变量取值为1的概率为1/6，一次只能代表一个随机变量的取值。**

接下来讲概率分布，顾名思义就是概率的分布，这个概率分布还是讲概率的。**我认为在理解这个概念时，关键不在于“概率”两个字，而在于“分布”这两个字。**为了理解“分布”这个词，我们来看一张图。

![在这里插入图片描述][20200218103344241.png]

离散型随机变量的值和概率的分布列表

在很多教材中，这样的列表都被叫做离散型随机变量的“概率分布”。其实严格来说，它应该叫“离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表”，这个名字虽然比“概率分布”长了点，但是对于我们这些笨学生来说，肯定好理解了很多。**因为这个列表，上面是值，下面是这个取值相应取到的概率，而且这个列表把所有可能出现的情况全部都列出来了！**

举个例子吧，一颗6面的骰子，有1，2，3，4，5，6这6个取值，每个取值取到的概率都为1/6。那么你说这个列表是不是这个骰子取值的”概率分布“？

![在这里插入图片描述][20200218103426190.png]

长得挺像的，上面是取值，下面是概率，这应该就是骰子取值的“概率分布”了吧！大错特错！**少了一个最重要的条件！对于一颗骰子的取值来说，它列出的不是全部的取值，把6漏掉了!**

这么一说你就应该明白概率分布是个什么鬼了吧。说完概率分布，就该说说分布函数了。这个分布函数又是个简化版的东西！我真的很讨厌我们的教材中老是故弄玄虚，卖弄概念！你就老老实实的写成”概率分布函数“，让我们这些笨学生好理解一些不行吗？

看看下图中的分布律！这又是一个不统一叫法的丑恶典型！这里的分布律明明就是我们刚刚讲的“概率函数”，完全就是一个东西嘛！但是我知道很多教材就是叫分布律的。

概率分布函数就是把概率函数累加

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzIxNDgwNjA3_size_16_color_FFFFFF_t_70]

我们来看看图上的公式，其中的F(x)就代表概率分布函数啦。这个符号的右边是一个长的很像概率函数的公式，但是其中的等号变成了大于等于号的公式。你再往右看看，这是一个一个的概率函数的累加！**发现概率分布函数的秘密了吗？它其实根本不是个新事物，它就是概率函数取值的累加结果！所以它又叫累积概率函数！其实，我觉得叫它累积概率函数还更好理解！！**

**概率函数和概率分布函数就像是一个硬币的两面，它们都只是描述概率的不同手段！**

### **连续型随机变量也有“概率函数”和“概率分布函数”吗？** ###

**有！连续型随机变量也有它的“概率函数”和“概率分布函数”，但是连续型随机变量的“概率函数”换了一个名字，叫做“概率密度函数”！**为啥要这么叫呢？我们还是借用大师的话来告诉你，在陈希孺老师所著的《概率论与数理统计》这本书中，

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzIxNDgwNjA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

如果这么解析你还是不太懂的话，看看下面的这个公式：

![在这里插入图片描述][20200218103536961.png]

**概率密度函数用数学公式表示就是一个定积分的函数，定积分在数学中是用来求面积的，而在这里，你就把概率表示为面积即可！**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzIxNDgwNjA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

左边是F(x)连续型随机变量分布函数画出的图形，右边是f(x)连续型随机变量的概率密度函数画出的图像，它们之间的关系就是，概率密度函数是分布函数的导函数。

**两张图一对比，你就会发现，如果用右图中的面积来表示概率，利用图形就能很清楚的看出，哪些取值的概率更大！这样看起来是不是特别直观，特别爽！！**所以，我们在表示连续型随机变量的概率时，用f(x)概率密度函数来表示，是非常好的！

这篇文章只是我个人对于这些概念的一些比较取巧的理解，如果你想更加深刻，精确的理解这些概念，我推荐大家读一下陈希孺老师的《概率论与数理统计》这本书，这本书对于这些概念的理解非常有帮助！

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