概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)

柔情只为你懂 2023-06-16 04:59 105阅读 0赞

# 写在前面： #

进入主题前，先明确几个概念：  
**离散型变量（或取值个数有限的变量）**：取值可一一列举，且总数是确定的，如投骰子出现的点数（1点、2点、3点、4点、5点、6点）。  
**连续型变量（或取值个数无限的变量）**：取值无法一一列举，且总数是不确定的，如所有的自然数（0、1、2、3……）。

**离散型变量取某个值xi的概率P(xi)是个确定的值（虽然很多时候我们不知道这个值是多少），即P(xi)≠0**：例如，投一次骰子出现2点的概率是P(2)=1/6。

**连续型变量取某个值xi的概率P(xi)=0**：对于连续型变量而言，**“取某个具体值的概率”的说法是无意义的，因为取任何单个值的概率都等于0**，只能说**“取值落在某个区间内的概率”**，或**“取值落在某个值邻域内的概率”**，即**只能说P(a<xi≤b)，而不能说P(xi)。** 为什么是这样？且看下例：  
  例如，从所有自然数中任取一个数，问这个数等于5的概率是多少？从所有的自然数中取一个，当然是有可能取到5的，但是自然数有无穷多个，因此取到5的概率是1/∞，也就是0。  
  又如扔飞镖，虽然是有可能落在靶心的，但其概率也是0（不考虑熟练程度等其他因素），因为靶盘上有无数个点，每个点的概率是一样的，因此落在某一个具体的点上的概率为1/∞=0。

根据前面的例子可知：**在连续型变量中：概率为0的事件是有可能发生的，概率为1的事件不一定必然发生。**

# 进入主题： #

**概率分布**：给出了所有取值及其对应的概率（少一个也不行），**只对离散型变量有意义**。例如：

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概率分布.png

**概率函数**：用函数形式给出每个取值发生的概率，P(x)（x=x1，x2，x3，……），**只对离散型变量有意义**，实际上是对概率分布的数学描述。

### 概率分布和概率函数只对离散型变量有意义，那如何描述连续型变量呢？ ###

答案就是“**概率分布函数F(x)**”和“**概率密度函数f(x)**”，当然这两者也是可以描述离散型变量的。

**概率分布函数F(x)：给出取值小于某个值的概率，是概率的累加形式**，即：  
F(xi)=P(x<xi)=sum(P(x1),P(x2),……,P(xi))（对于离散型变量）或求积分（对于连续型变量，见后图）。  
**概率分布函数F(x)的性质**：

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概率分布函数性质.png

**概率分布函数F(x)的作用**：如下图  
（1）**给出x落在某区间(a,b\]内的概率**：P(a<x≤b)=F(b)-F(a)  
（2）**根据F(x)的斜率判断“区间概率”P(A<x≤B)的变化（实际上就是后面要说的概率密度函数f(x)）（特别注意：是判断“区间概率”，即x落在(A,B\]中的概率，而不是x取某个确定值的概率，这是连续型变量和离散型变量的本质区别）**  
  **某区间(A,B\]内，F(x)越倾斜，表示x落在该区间内的概率P(A<x≤B) 越大**。如图中(a,b\]区间内F(x)的斜率最大，如果将整个取值区间以δx=b-a的间隔等距分开，则x落在(a,b\]内的概率最大。为什么？因为P(A<x≤B) )=F(B)-F(A)，所有区间中只有在(a,b\]这个区间上（即A=a，B=b）F(B)-F(A)达到最大值，也就是图中竖向红色线段最长。

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概率分布函数解析.png

**概率密度函数f(x)**：给出了变量落在某值xi邻域内（或者某个区间内）的**概率变化快慢**，**概率密度函数的值不是概率，而是概率的变化率，概率密度函数下面的面积才是概率**。

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概率密度函数定义.png

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概率密度函数性质.png

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概率分布函数和概率密度函数之间的关系.png

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注意.png

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约定.png

**连续型变量的概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系（以正态分布为例）**如下图：  
  **对于正态分布而言，x落在u附近的概率最大，而F(x)是概率的累加和，因此在u附近F(x)的递增变化最快，即F(x)曲线在（u，F(u)）这一点的切线的斜率最大，这个斜率就等于f(u)。**x落在a和b之间的概率为F(b)-F(a)（图中的红色小线段），而在概率密度曲线中则是f(x)与ab围成的面积S。如下图所示：

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概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系.png

### 概率密度函数在某点a的值f(a)的物理意义到底是什么？ ###

**我们知道f(a)表示，概率分布函数F(x)在a点的变化率(或导数)；其物理意义实际上就是x落在a点附近的无穷小邻域内的概率，但不是落在a点的概率（前已述及，连续变量单点概率=0），用数学语言描述就是：**

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作者：马尔代夫Maldives  
链接：https://www.jianshu.com/p/0cfc3204af77  
来源：简书  
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