一、EM算法介绍

    我们经常会从样本观察数据中，找出样本的模型参数。 最常用的方法就是极大化模型分布的对数似然函数。（最大似然估计：利用已知的样本结果，反推最有可能导致这样结果的一组参数）但是在一些情况下，我们得到的观察数据有未观察到的隐含数据，此时我们未知的有隐含数据和模型参数，因而无法直接用极大化对数似然函数得到模型分布的参数。用EM算法可以解决。
    EM算法是一种迭代算法，用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成：E步，求期望；M步，求极大。所以被称为期望极大算法。
    EM算法解决这个的思路是使用启发式的迭代方法，既然我们无法直接求出模型分布参数，那么我们可以先猜想隐含数据（EM算法的E步），接着基于观察数据和猜测的隐含数据一起来极大化对数似然，求解我们的模型参数（EM算法的M步)。由于我们之前的隐藏数据是猜测的，所以此时得到的模型参数一般还不是我们想要的结果。不过没关系，我们基于当前得到的模型参数，继续猜测隐含数据（EM算法的E步），然后继续极大化对数似然，求解我们的模型参数（EM算法的M步)。以此类推，不断的迭代下去，直到模型分布参数基本无变化，算法收敛，找到合适的模型参数。
    一个最直观了解EM算法思路的是K-Means算法：在K-Means聚类时，每个聚类簇的质心是隐含数据。我们会假设K个初始化质心，即EM算法的E步；然后计算得到每个样本最近的质心，并把样本聚类到最近的这个质心，即EM算法的M步。重复这个E步和M步，直到质心不再变化为止，这样就完成了K-Means聚类

二、EM算法推导

1、Jensen不等式

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2、极大似然估计法估计参数

（1）极大似然估计思想

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    总结起来，最大似然估计的目的就是：利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。

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（2）求解极大似然函数

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（3）求最大似然函数估计值的一般步骤

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3、求解随机变量的期望

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4、EM算法推导

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我们的似然函数为：

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    上面似然函数L(Θ)式中，即式（1），是根据联合概率密度下某个变量的**边缘密度函数**求解的（这里把z当作是随机变量）。对每一个样本 i 的所有可能类别 z 求联合概率密度函数和，也就得到随机变量x的边缘概率密度。由于对式（1）直接求导非常困难，所以将其分子分母都乘以一个相等的函数Qz，转换为式（2）。而在式（2）变为式（3）的过程，采用的是上面提到的**Jensen不等式:**

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分析过程如下：

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所以：

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所以有：

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即相当于f(Ex)

同理有：

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即相当于E（f (x)）

根据凹函数的Jensen不等式：

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即得到（2）式大于等于（3）式：

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则（3）式是（2）式的下限。那么我们可以通过不断的最大化（3）式的值，来使（2）式不断提高，最终达到它的最大值。

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进而可得：

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5、EM算法步骤

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6、EM算法的收敛性

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下面这张图很好的说明了EM算法的优化过程：

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EM算法可以保证收敛到一个稳定点，但是却不能保证收敛到全局的极大值点，因此它是局部最优的算法，当然，如果我们的优化目标是凸函数，则EM算法可以保证收敛到全局最大值。

7、算法总结

我们的算法里已知的是观察数据，未知的是隐含数据和模型参数，在E步，我们所做的事情是固定模型参数的值，优化隐含数据的分布，而在M步，我们所做的事情是固定隐含数据分布，优化模型参数的值。

三、EM算法应用

1、K-Means聚类

2、高斯混合模型

（1）高斯分布

    **高斯分布（Gaussian distribution）有时也被称为正态分布（normal distribution），是一种在自然界大量的存在的、最为常见的分布形式。**

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由334个人的身高数据构成的正态分布直方图

这个图形非常直观的展示了高斯分布的形态，接下来看下严格的高斯公式定义，高斯分布的概率密度函数公式如下：

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（2）高斯混合模型

    高斯混合模型（Gaussian Mixed Model）指的是多个高斯分布函数的线性组合，理论上GMM可以拟合出任意类型的分布，通常用于解决同一集合下的数据包含多个不同的分布的情况（或者是同一类分布但参数不一样，或者是不同类型的分布，比如正态分布和伯努利分布）。
    如图1，图中的点在我们看来明显分成两个聚类。这两个聚类中的点分别通过两个不同的正态分布随机生成而来。但是如果没有GMM，那么只能用一个的二维高斯分布来描述图1中的数据。图1中的椭圆即为二倍标准差的正态分布椭圆。这显然不太合理，毕竟肉眼一看就觉得应该把它们分成两类。