树与二叉树

港控/mmm° 2023-07-02 10:27 10阅读 0赞

# 树 #

有许多逻辑关系并不是简单的线性关系，在实际场景中，常常存在着一对多，甚至是多对多的情况。其中树和图就是典型的非线性数据结构，我们首先讲一讲树的知识。

什么是树呢？在现实生活中有很多体现树的逻辑的例子。例如你家的“家谱”，就是一个“树”。再如企业里的职级关系，也是一个“树”。

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除人与人之间的关系之外，许多抽象的东西也可以成为一个“树”，如一本书的目录。  
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以上这些例子有什么共同点呢？为什么可以称它们为“树”呢？因为它们都像自然界中的树一样，从同一个“根”衍生出许多“枝干”，再从每一个“枝干”衍生出许多更小的“枝干”，最后衍生出更多的“叶子”。  
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树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

*  每个节点有零个或多个子节点；
 *  没有父节点的节点称为根节点；
 *  每一个非根节点有且只有一个父节点；
 *  除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

下面这张图，就是一个标准的树结构。  
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在上图中，节点1是根节点（root）；节点5、6、7、8是树的末端，没有“孩子”，被称为叶子节点（leaf）。图中的虚线部分，是根节点1的其中一个子树。

同时，树的结构从根节点到叶子节点，分为不同的层级。从一个节点的角度来看，它的上下级和同级节点关系如下。  
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在上图中，节点4的上一级节点，是节点4的父节点（parent）；从节点4衍生出来的节点，是节点4的孩子节点（child）；和节点4同级，由同一个父节点衍生出来的节点，是节点4的兄弟节点（sibling）。

树的最大层级数，被称为树的高度或深度。显然，上图这个树的高度是4。

## 树的术语 ##

*  节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
 *  树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
 *  叶节点或终端节点：度为零的节点；
 *  父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
 *  孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
 *  兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
 *  节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
 *  树的高度或深度：树中节点的最大层次；
 *  堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
 *  节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
 *  子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
 *  森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

## 树的种类 ##

*  | 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
 *  | 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
    
     *  || 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
        
         *  ||| 完全二又树：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二又树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树；
         *  ||| 平衡二又树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
         *  ||| 排序二又树（二又查找树（英语：Binary Search Tree），也称二又搜索树、有序二叉树）；
     *  || 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二又树称为哈夫曼树或最优二叉树；
     *  || B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二又查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

## 树的存储与表示 ##

顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二又树通常以链式存储。  
![在这里插入图片描述][20200129124711449.png]  
链式存储：  
![在这里插入图片描述][20200129125429583.png]  
由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2

## 常见的一些树的应用场景 ##

1.  xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
2.  路由协议就是使用了树的算法
3.  mysql数据库索引
4.  文件系统的目录结构
5.  所以很多经典的Al算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构

# 二叉树 #

二叉树（binary tree）是树的一种特殊形式。二叉，顾名思义，这种树的每个节点最多有2个孩子节点。注意，这里是最多有2个，也可能只有1个，或者没有孩子节点。

二叉树的结构如图所示。  
![在这里插入图片描述][20200129130338900.png]  
二叉树节点的两个孩子节点，一个被称为左孩子（left child），一个被称为右孩子（right child）。这两个孩子节点的顺序是固定的，就像人的左手就是左手，右手就是右手，不能够颠倒或混淆。

此外，二叉树还有两种特殊形式，一个叫作满二叉树，另一个叫作完全二叉树。

**一个二叉树的所有非叶子节点都存在左右孩子，并且所有叶子节点都在同一层级上，那么这个树就是满二叉树。**  
![在这里插入图片描述][20200129130523378.png]  
简单点说，满二叉树的每一个分支都是满的。

什么又是完全二叉树呢？完全二叉树的定义很有意思。

对一个有n个节点的二叉树，按层级顺序编号，则所有节点的编号为从1到n。如果这个树所有节点和同样深度的满二叉树的编号为从1到n的节点位置相同，则这个二叉树为完全二叉树。  
![在这里插入图片描述][2020012913072081.png]  
在上图中，二叉树编号从1到12的12个节点，和前面满二叉树编号从1到12的节点位置完全对应。因此这个树是完全二叉树。

完全二叉树的条件没有满二叉树那么苛刻：满二叉树要求所有分支都是满的；而完全二叉树只需保证最后一个节点之前的节点都齐全即可。

二叉树可以用哪些物理存储结构来表达呢？

1.  链式存储结构  
    ![在这里插入图片描述][20200129131408193.png]  
    链式存储是二叉树最直观的存储方式。

上一次讲过链表，链表是一对一的存储方式，每一个链表节点拥有data变量和一个指向下一节点的next指针。

而二叉树稍微复杂一些，一个节点最多可以指向左右两个孩子节点，所以二叉树的每一个节点包含3部分。

*  存储数据的data变量
 *  指向左孩子的left指针
 *  指向右孩子的right指针

1.  数组  
    ![在这里插入图片描述][20200129131707571.png]  
    使用数组存储时，会按照层级顺序把二叉树的节点放到数组中对应的位置上。如果某一个节点的左孩子或右孩子空缺，则数组的相应位置也空出来。

为什么这样设计呢？因为这样可以更方便地在数组中定位二叉树的孩子节点和父节点。

假设一个父节点的下标是parent，那么它的左孩子节点下标就是2×parent +1；右孩子节点下标就是2×parent + 2。

反过来，假设一个左孩子节点的下标是leftChild，那么它的父节点下标就是（leftChild-1）/ 2。

假如节点4在数组中的下标是3，节点4是节点2的左孩子，节点2的下标可以直接通过计算得出。  
![在这里插入图片描述][20200129132044301.png]  
显然，对于一个稀疏的二叉树来说，用数组表示法是非常浪费空间的。

什么样的二叉树最适合用数组表示呢？我们后面即将学到的二叉堆，一种特殊的完全二叉树，就是用数组来存储的。

## 用队列实现二叉树 ##

class Node(object):
        def __init__(self,item):
            self.elem = item
            self.left_child = None
            self.right_child = None
    
    class Tree(object):
        def __init__(self):
            self.root = None
    
        def add(self,item):
            node = Node(item)
            if self.root is None:
                self.root = node
                return
            queue = [self.root]
            while queue :
                cur_node =queue.pop(0)
                if cur_node.left_child is None:
                    cur_node.left_child = node
                    return
                else:
                    queue.append(cur_node.left_child)
                if cur_node.right_child is None:
                    cur_node.right_child = node
                    return
                else:
                    queue.append(cur_node.right_child)

## 二叉树的遍历 ##

在计算机程序中，遍历本身是一个线性操作。所以遍历同样具有线性结构的数组或链表，是一件轻而易举的事情。  
![在这里插入图片描述][20200129195508270.png]  
![在这里插入图片描述][20200129195527530.png]  
反观二叉树，是典型的非线性数据结构，遍历时需要把非线性关联的节点转化成一个线性的序列，以不同的方式来遍历，遍历出的序列顺序也不同。  
![在这里插入图片描述][20200129195620532.png]  
那么，二叉树都有哪些遍历方式呢？  
从节点之间位置关系的角度来看，二叉树的遍历分为4种。

1.  前序遍历
2.  中序遍历
3.  后序遍历
4.  层序遍历

从更宏观的角度来看，二叉树的遍历归结为两大类。

1.  深度优先遍历（前序遍历、中序遍历、后序遍历）。
2.  广度优先遍历（层序遍历）。

## 广度优先遍历 ##

层序遍历，顾名思义，就是二叉树按照从根节点到叶子节点的层次关系，一层一层横向遍历各个节点。  
![在这里插入图片描述][20200129200132556.png]  
上图就是一个二叉树的层序遍历，每个节点左侧的序号代表该节点的输出顺序。

可是，二叉树同一层次的节点之间是没有直接关联的，如何实现这种层序遍历呢？这里同样需要借助一个数据结构来辅助工作，这个数据结构就是队列。

详细遍历步骤如下。

1.  根节点1进入队列。  
    ![在这里插入图片描述][20200129200504973.png]
2.  节点1出队，输出节点1，并得到节点1的左孩子节点2、右孩子节点3。让节点2和节点3入队。  
    ![在这里插入图片描述][20200129200549353.png]
3.  节点2出队，输出节点2，并得到节点2的左孩子节点4、右孩子节点5。让节点4和节点5入队。  
    ![在这里插入图片描述][20200129200719662.png]
4.  节点3出队，输出节点3，并得到节点3的右孩子节点6。让节点6入队。

![在这里插入图片描述][20200129200803274.png]

1.  节点3出队，输出节点3，并得到节点3的右孩子节点6。让节点6入队。  
    ![在这里插入图片描述][2020012920111774.png]
2.  节点5出队，输出节点5，由于节点5同样没有孩子节点，所以没有新节点入队。  
    ![在这里插入图片描述][20200129201213976.png]
3.  节点6出队，输出节点6，节点6没有孩子节点，没有新节点入队。  
    ![在这里插入图片描述][20200129201311600.png]  
    到此为止，所有的节点都遍历输出完毕。

def breadth_travel(self):
            """利用队列实现二叉树的层次遍历"""
            if self.root is None:
                return
            queue = [self.root]
            while queue:
                cur_node = queue.pop(0)
                print(cur_node.elem)
                if cur_node.left_child is not None:
                    queue.append(cur_node.left_child)
                if cur_node.right_child is not None:
                    queue.append(cur_node.right_child)

## 深度优先遍历 ##

*  二叉树的前序遍历，输出顺序是根节点、左子树、右子树
 *  二叉树的中序遍历，输出顺序是左子树、根节点、右子树
 *  二叉树的后序遍历，输出顺序是左子树、右子树、根节点  
    ![在这里插入图片描述][20200129205423940.png]

def preorder(self,node):
            """先序遍历"""
            if node is None:
                return
            print(node.elem,end=' ')
            self.preorder(node.left_child)
            self.preorder(node.right_child)
    
        def inorder(self,node):
            """中序遍历"""
            if node is None:
                return
            self.inorder(node.left_child)
            print(node.elem, end=' ')
            self.inorder(node.right_child)
    
        def postorder(self,node):
            """后序遍历"""
            if node is None:
                return
            self.postorder(node.left_child)
            self.postorder(node.right_child)
            print(node.elem, end=' ')

## 由遍历结果反推一棵树 ##

1.  确定根,确定左子树，确定右子树（根据前序或后序联合中序推导得出）
2.  在左子树中递归
3.  在右子树中递归
4.  打印当前根

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[20200129104055782.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129104055782.png
[20200129104407811.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129104407811.png
[20200129104707475.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129104707475.png
[20200129124711449.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129124711449.png
[20200129125429583.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129125429583.png
[20200129130338900.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129130338900.png
[20200129130523378.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129130523378.png
[2020012913072081.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020012913072081.png
[20200129131408193.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129131408193.png
[20200129131707571.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129131707571.png
[20200129132044301.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129132044301.png
[20200129195508270.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129195508270.png
[20200129195527530.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129195527530.png
[20200129195620532.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129195620532.png
[20200129200132556.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129200132556.png
[20200129200504973.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129200504973.png
[20200129200549353.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129200549353.png
[20200129200719662.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129200719662.png
[20200129200803274.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129200803274.png
[2020012920111774.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020012920111774.png
[20200129201213976.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129201213976.png
[20200129201311600.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129201311600.png
[20200129205423940.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200129205423940.png