5. 树与二叉树

骑猪看日落 2022-10-14 13:51 78阅读 0赞

## 考纲内容 ##

> **（多考选择题，偶尔涉及树遍历相关的算法题）**

*  树的基本概念
 *  二叉树
    
     *  二叉树的定义及其主要特征
     *  二叉树的顺序存储结构和链式存储结构
     *  二叉树的遍历
     *  线索二叉树的基本概念和构造
 *  树、森林
    
     *  树的存储结构
     *  森林与二叉树的转换
     *  树和森林的遍历
 *  树与二叉树的应用
    
     *  二叉排序树
     *  平衡二叉树
     *  哈夫曼树和哈夫曼编码

### 1. 树的基本概念 ###

*  **性质**
    
     *  树的结点数等于所有结点的度数加1
     *  度为m的树中第i层上至多有 m i − 1 m^\{i-1\} mi−1个结点（i  ≥ \\ge ≥ 1）
     *  高度为h的m叉树至多有 m h − 1 m − 1 \\frac\{m^h-1\}\{m-1\} m−1mh−1个结点，至少有h个结点
     *  具有n个结点的m叉树的最小高度为 ⌈ l o g m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \\lceil log\_m(n(m-1)+1) \\rceil ⌈logm(n(m−1)\+1)⌉，最大高度为n-m+1

### 2. 二叉树 ###

#### 1. 二叉树的定义及其主要特性 ####

*  **特性**
    
     *  二叉树是有序树，左右子树不可颠倒
 *  **区别**  
    ![在这里插入图片描述][20210521200318730.png]

#### 2. 几个特殊的二叉树 ####

*  **满二叉树**
    
     *  **定义**：高度为h，且含有 2 h − 1 2^h-1 2h−1个结点的二叉树
     *  **特点**
        
         *  只有最后一层有叶子结点
         *  不存在度为1的结点
         *  按层序编号（1开始），编号为i的结点
            
             *  若有双亲，则为 ⌊ i 2 ⌋ \\lfloor \\frac\{i\}\{2\} \\rfloor ⌊2i⌋
             *  若有左孩子，则为2i
             *  若有右孩子，则为2i+1
             *  所在层次(深度)为 ⌊ l o g 2 i ⌋ + 1 \\lfloor log\_2i\\rfloor+1 ⌊log2i⌋\+1
 *  **完全二叉树**
    
     *  **定义**：高为h、有n个结点的二叉树，其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应
     *  **特点**
        
         *  若 i > n 2 i > \\frac\{n\}\{2\} i>2n，则结点i为叶子结点，否则为分支结点
         *  叶子结点只可能在最后两层出现
         *  最多只有一个度为1的结点
         *  按层序编号后，若编号为i的结点为叶子结点或只有左孩子，则大于i的结点均为叶子结点
         *  n为奇数，每个分支结点都有左右孩子；n为偶数，编号为 n 2 \\frac\{n\}\{2\} 2n结点只有左孩子
 *  **二叉排序树**
    
     *  **定义**：左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上的所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又各是一棵二叉排序树
 *  **平衡二叉树**
    
     *  **定义**：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1

#### 3. 性质（重点） ####

*  （非空二叉树）叶子结点数 = 度为2的结点数+1，即 n 0 = n 2 + 1 n\_0 = n\_2 +1 n0=n2\+1且 n 0 + n 2 n\_0+n\_2 n0\+n2必为奇数， n 1 n\_1 n1=1或0
 *  第k层最多有 2 k − 1 2^\{k-1\} 2k−1个结点（ k ≥ 1 k \\ge 1 k≥1）
 *  高度为h的二叉树最多有 2 h − 1 2^h-1 2h−1个结点（ h ≥ 1 h \\ge 1 h≥1）
 *  具有n个结点的完全二叉树的高度为 ⌈ l o g 2 ( n + 1 ) ⌉ \\lceil log\_2(n+1)\\rceil ⌈log2(n\+1)⌉或  ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 \\lfloor log\_2n\\rfloor+1 ⌊log2n⌋\+1
 *  二叉树的前、中和中、后两对遍历序列都可以唯一确定一棵二叉树，而前、后遍历序列不能唯一确定

#### 4. 存储结构 ####

##### 1. 顺序存储结构 #####

*  **定义**：用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素
 *  **注意**
    
     *  从数组下标1开始存储结点，不存在的结点可用0区分

##### 2. 链式存储结构 #####

*  **注意**
    
     *  含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域
 *  **存储结构**
    
        typedef struct BTNode
        { 
        	ElemType data;
        	struct BTNode *lchild, *rchild;
        }BTNode;

### 3. 二叉树的遍历和线索二叉树 ###

#### 1. 二叉树的遍历 ####

##### 1. 先序遍历（PreOrder） #####

*  **步骤**
    
     *  访问根结点
     *  先序遍历左子树
     *  先序遍历右子树
 *  **算法实现**
    
     *  递归实现
    
        void PreOrder(BTNode *T)
        { 
        	if(T != NULL)
        	{ 
        		visit(T);
        		PreOrder(T->lchild);
        		PreOrder(T->rchild);
        	}
        }
    
     *  非递归实现  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70]
    
        void PreOrderNonrecursion(BTNode *bt)
        { 
        	if(bt != NULL)
        	{ 
        		BTNode *Stack[maxSize];					//定义一个栈
        		int top = -1;							//初始化栈
        		BTNode *p;								
        		Stack[++top] = bt;						//根结点入栈
        		while(top != -1)						//栈空循环退出，遍历结束
        		{ 
        			p = Stack[top--];					//出栈并输出栈顶结点
        			visit(p);
        			if(p->rchild != NULL)				//右孩子存在，则入栈
        				Stack[++top] = p->rchild;
        			if(p->lchild != NULL)				//左孩子存在，则入栈
        				Stack[++top] = p->lchild;
        		}
        	}
        }

##### 2. 中序遍历（InOrder） #####

*  **步骤**
    
     *  中序遍历左子树
     *  访问根结点
     *  中序遍历右子树
 *  **算法实现**
    
     *  递归实现
    
        void InOrder(BTNode *T)
        { 
        	if(T != NULL)
        	{ 
        		InOrder(T->lchild);
        		visit(T);
        		InOrder(T->rchild);
        	}
        }
    
     *  非递归实现  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]
    
        void InOrderNonrecursion(BTNode *bt)
        { 
        	if(bt != NULL)
        	{ 
        		BTNode *Stack[maxSize];
        		int top = -1;
        		BTNode *p;
        		p = bt;
        		while(top != -1 || p != NULL)
        		{ 
        			while(p !=NULL)						//左孩子存在，则入栈
        			{ 
        				Stack[++top] = p;
        				p = p->lchild;
        			}
        			if(top != -1)
        			{ 
        				p = Stack[top--};
        				visit(p);
        				p = p->rchild;
        			}
        		}
        	}
        }

##### 3. 后序遍历（PostOrder） #####

*  **步骤**
    
     *  后序遍历左子树
     *  后序遍历右子树
     *  访问根结点
 *  **算法实现**
    
     *  递归实现
    
        void PostOrder(BTNode *T)
        { 
        	if(T != NULL)
        	{ 
        		PostOrder(T->lchild);
        		PostOrder(T->rchild);
        		visit(T);
        	}
        }
    
     *  非递归实现  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]
    
        void PostOrder(BTNode *T)
        { 
        	if(bt != NULL)
        	{ 
        		BTNode *Stack1[maxSize]; int top1 = -1;
        		BTNode *Stack2[maxSize]; int top2 = -1;
        		BTNode *p = NULL;
        		Stack1[++top1] = bt;
        		while(top1 != -1)
        		{ 
        			p = Stack1[top--];
        			Stack2[++top2] = p;
        			if(p->lchild != NULL)
        				Stack1[++top1] = p->lchild;
        			if(p->rchild != NULL)
        				Stack2[++top2] = p->rchild;
        		}
        		while(top2 != -1)							//出栈序列即为后序遍历序列
        		{ 
        			p = Stack2[top2--];
        			visit(p);
        		}
        	}
        }

##### 4. 层次遍历 #####

*  **算法思想**：建立一个循环队列，将二叉树头结点入队，然后出队，访问该结点，若它有左子树，则将左子树的根结点入队；若它有右子树，则将右子树的根结点入队。然后出队，访问出队结点。重复直到队空。
 *  **算法实现**
    
        void level(BTNode *p)
        { 
        	int front, rear;
        	BTNode *que[maxSize];					//定义一个循环队列，用来记录将要访问的层次上的结点
        	front = rear = 0;
        	BTNode *q;
        	if(p != NULL)
        	{ 
        		rear = (rear + 1) % maxSize;
        		que[rear] = p;						//根结点入队
        		while(front != rear)				//队列不空的时候进行循环
        		{ 
        			front = (front + 1) % maxSize;
        			q = que[front];					//队头结点出队（front指向队头元素前一个位置）
        			visit(q);
        			if(q->lchild != NULL)			//左子树不空，则其根结点入队
        			{ 
        				rear = (rear + 1) %maxSize;
        				que[rear] = q->lchild;
        			}
        			if(q->rchild != NULL)			//右子树不空，则其根结点入队
        			{ 
        				rear = (rear + 1) %maxSize;
        				que[rear] = q->rchild;
        			}
        		}
        	}
        }

#### 2. 线索二叉树 ####

##### 1. 定义 #####

*  若无左子树，令lchild指向其前驱结点；若无右子树，令rchild指向其后继结点（n个结点的二叉树会有n+1个空指针）。还需增加两个标志域标识指针域是指向左（右）孩子还是前驱（后继）

##### 2. 存储结构 #####

![线索二叉树的存储结构][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

##### 3. 线索化过程（手工模拟） #####

*  **先序线索二叉树**
    
     *  **先序线索化**：将二叉树按先序遍历序列进行线索化（添加前驱和后继）  
        ![先序线索化][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]
     *  **存储**  
        ![先序线索二叉树的存储][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]
 *  **中序线索二叉树**
    
     *  **中序线索化**：将二叉树按中序遍历序列进行线索化（添加前驱和后继）  
        ![中序线索化][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]
     *  **存储**  
        ![中序线索二叉树的存储][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]
 *  **后序线索二叉树**
    
     *  **后序线索化**：将二叉树按后序遍历序列进行线索化（添加前驱和后继）  
        ![后序线索化][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]
     *  **存储**  
        ![后序线索二叉树的存储][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

##### 4. 算法实现（了解即可） #####

*  **结构体定义**
    
        typedef struct TBTNode
        { 
        	char data;
        	int ltag, rtag;
        	struct TBTNode *lchild;
        	struct TBTNode *rchild;
        }TBTNode;

###### 1. 中序线索二叉树（重点） ######

*  **构造**
    
        //通过中序遍历对二叉树线索化的递归算法
        void InThread(TBTNode *p, TBTNode *&pre)
        { 
        	if(p != NULL)
        	{ 
        		InThread(p->lchild, pre);				//递归，左子树线索化
        		if(p->lchild == NULL)
        		{ 										//建立当前结点的前驱线索
        			p->lchild = pre;
        			p->ltag = 1;
        		}
        		if(pre != NULL && pre->rchild == NULL)
        		{ 										//建立前驱结点的后继线索
        			pre->rchild = p;
        			pre-rag = 1;
        		}
        		pre = p;
        		InThread(p->rchild, pre);				//递归，右子树线索化
        	}
        }
        
        //建立中序线索二叉树
        void createInThread(TBTNode *root)
        { 
        	TBTNode *pre = NULL;
        	if(root != NULL)
        	{ 
        		InThread(root, pre);
        		pre->rchild = NULL;
        		pre->rtag = 1;
        	}
        }
 *  **遍历**
    
        //求以p为根的中序线索二叉树中，中序序列下的第一个结点
        TBTNode *First(TBTNode *p)
        { 
        	while(p->ltag == 0)
        		p = p->lchild;				//最左下结点（不一定是叶子结点）
        	return p;
        }
        
        //求结点p在中序下的后继结点
        TBTNode *Next(TBTNode *p)
        { 
        	if(p->rtag == 0)
        		return First(p->rchild);
        	else
        		return p->rchild;			//rtag == 1，直接返回线索
        }
        
        //遍历
        void InOrder(TBTNode *root)
        { 
        	for(TBTNode *p = First(root); p != NULL; p = Next(p))
        		visit(p);
        }

###### 2. 前序线索二叉树 ######

*  **线索化**
    
        //通过前序遍历对二叉树线索化的递归算法
        void PreThread(TBTNode *p, TBTNode *&pre)
        { 
        	if(p != NULL)
        	{ 
        		if(p->lchild == NULL)
        		{ 										//建立当前结点的前驱线索
        			p->lchild = pre;
        			p->ltag = 1;
        		}
        		if(pre != NULL && pre->rchild == NULL)
        		{ 										//建立前驱结点的后继线索
        			pre->rchild = p;
        			pre-rag = 1;
        		}
        		pre = p;
        		if(p->ltag == 0)						//左右指针不是线索才继续递归
        			PreThread(p->lchild, pre);
        		if(p->rtag == 0)
        			PreThread(p->rchild, pre);
        	}
        }
 *  **构造及遍历**
    
        //建立前序线索二叉树并遍历
        void PreOrder(TBTNode *root)
        { 
        	if(root != NULL)
        	{ 
        		TBTNode *p = root;
        		while(p != NULL)
        		{ 
        			while(p->ltage == 0)//左指针不是线索，则边访问边左移
        			{ 
        				visit(p);
        				p = p->lchild;
        			}
        		}
        		visit(p);			//此时p左指针比为线索，但还没有被访问
        		p = p->rchild;		//此时p左孩子不存在，则右指针若非空，则不论是否为线索都指向其后继
        	}
        }

###### 3. 后序线索二叉树 ######

*  **线索化**
    
        //通过后序遍历对二叉树线索化的递归算法
        void PostThread(TBTNode *p, TBTNode *&pre)
        { 
        	if(p != NULL)
        	{ 
        		PostThread(p->lchild, pre);
        		PostThread(p->rchild, pre);
        		if(p->lchild == NULL)
        		{ 										//建立当前结点的前驱线索
        			p->lchild = pre;
        			p->ltag = 1;
        		}
        		if(pre != NULL && pre->rchild == NULL)
        		{ 										//建立前驱结点的后继线索
        			pre->rchild = p;
        			pre-rag = 1;
        		}
        		pre = p;
        	}
        }
 *  **找后继**
    
     *  若结点x是二叉树的根，则其后继为空
     *  若结点x是其双亲的右孩子，或是其双亲的左孩子且其双亲没有右子树，则其后继即为双亲结点
     *  若结点x是其双亲的左孩子，且其双亲有右子树，则其后继为双亲右子树上按后序遍历出的第一个结点

#### 3. 算法应用 ####

*  **程序模板**
    
        void trave(BTNode *p)
        { 
        	if(p != NULL)
        	{ 
        		//(1) //若为先序遍历相关操作，则在该处添加相应代码
        		trave(p->lchild);
        		//(2) //若为中序遍历相关操作，则在该处添加相应代码
        		trave(p->rchild);
        		//(3) //若为后序遍历相关操作，则在该处添加相应代码
        	}
        }

> **1. 表达式(a-(b+c)\*(d/e)存储在一颗以二叉链表为存储结构的二叉树中（二叉树结点的data域为字符型），编写程序求表达式的值（表达式的操作数都是一位数的整数）**

*  **算法思想**：先遍历左子树求得左子树值，再遍历右子树得右子树值，最后访问根结点。因此采用后序遍历。
 *  **算法实现**
    
        int op(int a, int b, char ch)
        { 
        	if(ch == '+')	return a+b;
        	if(ch == '-')	return a-b;
        	if(ch == '*')	return a*b;
        	if(ch == '/')
        	{ 
        		if(b == 0)
        			return 0;
        		else
        			return a/b;
        	}
        }
        
        int comp(BTNode *p)
        { 
        	int A, B;
        	if(p != NULL)
        	{ 
        		if(p->lchild != NULL && p->rchild != NULL)			//如果当前结点的左右子树都非空，则为表达式
        		{ 
        			A = comp(p->lchild);
        			B = comp(p->rchild);
        			return op(A, B, p->data);
        		}
        		else
        			return p->data-'0';
        	}
        	else
        		return 0;
        }

> **2. 写一个算法求一棵二叉树的深度，二叉树以二叉链表为存储方式**

*  **算法思想**：先求左子树深度，再求右子树深度，然后返回两者之中的最大值加1就是这棵树的深度
 *  **算法实现**
    
     *  递归实现
        
            int getDepth(BTNode *p)
            { 
            	int LD, RD;
            	if(p == NULL)
            		return 0;					//如果是空树，返回0
            	else
            	{ 
            		LD = getDepth(p->lchild);		//求左子树深度
            		RD = getDepth(p->rchild);		//求右子树深度
            		return (LD > RD ? LD : RD)+1;	//即求整棵树的深度
            	}
            }
     *  非递归实现
        
            int getDepth(BTNode *p)
            { 
            	if(!p)
            		return 0;
            	int front = -1, rear = -1;
            	int last = 0, level = 0;					//last指向当前层的最右结点
            	BTNode *Q[maxSize];					//设置队列Q，元素是二叉树结点指针且容量足够
            	Q[++rear] = p;
            	BTNode *q;
            	while(front < rear)
            	{ 
            		q = Q[++front];							//队列元素出队，即正在访问的结点
            		if(p->lchild)
            			Q[++rear] = p->lchild;
            		if(p->rchild)
            			Q[++rear] = p->rchild;
            		if(front == last)							//某层元素遍历结束
            		{ 
            			++level;								//层数加1
            			last = rear;
            		}
            	}
            	return level;
            }

> **3. 在一棵以二叉链表为存储结构的二叉树中，查找data域值等于key的结点是否存在（找到在任何一个满足要求的结点即可），如果存在，则将q指向该结点，否则q赋值为NULL，假设data为int型**

*  **算法思想**：遍历整颗树，与将每个结点与key值对比
 *  **算法实现**
    
        void search(BTNode *p, BTNode *&q, int key)
        { 
        	if(p != NULL)								//如果树为空，则什么都不做，q保持NULL值
        	{ 
        		if(p->data == key)
        			q = p;
        		else
        		{ 
        			search(p->lchild, q, key);
        			if(q == NULL)						//左子树中没找到才到右子树中查找
        				search(p->rchild, q, key);
        		}
        	}
        }

> **4. 二叉树采用二叉链表存储结构存储，编写一个程序，输出先序遍历序列中第k个结点的值，假设k不大于总的结点数（结点data域为char型）**

*  **算法实现**
    
        int n = 0;								//定义全局变量n，将结点计数初值设为0
        void trave(BTNode *p, int k)
        { 
        	if(p != NULL)
        	{ 
        		++n;							//第一次来到一个结点就进行计数，表示这是第n个结点
        		if(k == n)						//判断是不是第k个结点
        		{ 
        			cout<<p->data<<endl;
        			return;
        		}
        		trave(p->lchild, k);
        		trave(p->rchild, k);
        	}
        }

> **5. 假设二叉树采用二叉链表存储结构，设计一个算法，求出该二叉树具有结点数最多的那一层上结点个数**

*  **算法实现**
    
        typedef struct 
        { 
        	BTNode *p;							//结点指针
        	int lno;							//结点所在层号
        }St;
        int maxNode(BTNode *b)
        { 
        	St que [maxSize];
        	int front, rear;					//定义非循环队列
        	int Lno = 0, i, j, n, max = 0;
        	front = rear = 0;					//将队列置空
        	BTNode *q;
        	if(b != NULL)
        	{ 
        		++rear;
        		que[rear].p = b;				//树根入队
        		que[rear].lno = 1;				//树根所在层次号设为1
        		while(front != rear)
        		{ 
        			++front;
        			q = que[front].p;
        			Lno = que[front].lno;		//Lno用来存取当前结点的层次号
        			if(q->lchild != NULL)
        			{ 
        				++rear;
        				que[rear].p = q->lchild;
        				que[rear].lno = Lno+1;	//根据当前结点的层次号推知其孩子的层次号
        			}
        			if(q->rchild != NULL)
        			{ 
        				++rear;
        				que[rear].p = q->rchild;
        				que[rear].lno = Lno+1;
        			}
        		}//循环结束的时候，Lno中保存的是这棵二叉树的最大层数
        		max = 0;
        		for(i = 1; i <= Lno; ++i)
        		{ 
        			n = 0;
        			for(j = 0; j < rear; ++j)
        				if(que[j].lno == i)
        					++n;
        			if(max < n)
        				max = n;
        		}
        		return max;
        	}
        	else 
        		return 0;
        }

> **6. 试给出二叉树的自下而上、从右到左的层次遍历方式**

*  **算法思想**：利用原有的层次遍历算法，出队的同时将各结点指针入栈，在所有结点入栈后再从栈顶开始依次访问即为所求算法
 *  **算法实现**
    
        void invertLevel(BTNode *p)
        { 
        	int front, rear, top;
        	BTNode *que[maxSize], *stack[maxSize];			//定义一个循环队列和一个栈
        	front=rear=0, top=-1;
        	BTNode *q;
        	if(p != NULL)
        	{ 
        		rear = (rear+1) % maxSize;
        		que[rear] = p;
        		while(front != rear)						//队不空的时候循环
        		{ 
        			front = (front+1) % maxSize;
        			q = que[front];
        			stack[++top] = q;
        			if(q->lchild != NULL)					//若左子树不空，则左子树的根结点入栈
        			{ 
        				rear = (rear+1) % maxSize;
        				que[rear] = q->lchild;
        			}
        			if(q->rchild != NULL)					//若右子树不空，则右子树的根结点入栈
        			{ 
        				rear = (rear+1) % maxSize;
        				que[rear] = q->rchild;
        			}
        		}
        		while(top != -1)							//依次访问栈中元素
        			visit(stack[top--]->data);
        	}
        }

> **7. 设一棵二叉树中各结点的值互不相同，其先序遍历序列和中序遍历序列分别存于两个一维数组A\[1···n\]和B\[1···n\]中，试编写算法建立该二叉树的二叉链表**

*  **算法思想**：根据先序序列确定树的根结点，根据根结点在中序序列中划分出二叉树的左右子树，然后根据左右子树结点在先序序列中的次序确定子树的根结点，直到每棵子树仅有一个结点为止
 *  **算法实现**
    
        BTNode *preInCreate(ElemType A[], ElemType B[], int LA, int RA, int LB, int RB)
        { 
        	root = (BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));			//创建根结点
        	root->data = A[LA];
        	for(i = LB; B[i] != root->data; ++i);				//根结点在中序序列的位置
        	Llen = i-LB;										//左子树长度
        	Rlen = RB-i;										//右子树长度
        	if(Llen)
        		root->lchild = preInCreate(A, B, LA+1, LA+Llen, LB, LB+Llen-1);
        	else
        		root->lchild = NULL;
        	if(Rlen)
        		root->rchild = preInCreate(A, B, RA-Rlen+1, LA, RB-Rlen+1, RB);
        	else
        		root->rchild = NULL;
        	return root;
        }

> **8. 二叉树按二叉链表形式存储，判别给定二叉树是否是完全二叉树**

*  **算法思想**：采用层次遍历，将所有节点加入队列（包括空结点）。遇到空结点时，查看其后是否有非空结点。若有，则二叉树不是完全二叉树
 *  **算法实现**
    
        bool IsComplete(BTNode *T)
        { 
        	int front=0, rear=0;
        	if(!T)										//空树为满二叉树
        		return true;
        	BTNode *queue[maxSize];						//定义一个队列，且其空间足够长（或定义循环队列）
        	queue[++rear] = T;
        	BTNode *p;
        	while(front != rear)						//遍历整棵树
        	{ 
        		p = queue[++front];
        		if(p)
        		{ 
        			queue[++rear] = p->lchild;
        			queue[++rear] = p->rchild;			//若左右子树为空，则空结点入队
        		}
        		else									//队列先进先出的特点，空结点出队
        			while(front != rear)				//若后面有非空结点，则返回false
        			{ 
        				p = queue[++front];
        				if(p)
        					return false;
        			}
        	} 
        	return true;
        }

> **9. 二叉树采用二叉链表存储，计算一棵给定二叉树的所有双分支结点个数**

*  **算法实现**
    
        int DsonNodes(BTNode *b)
        { 
        	if(b == NULL)
        		return 0;
        	else if(b->lchild != NULL && b->rchild != NULL)
        		return DsonNodes(b->lchild) + DsonNodes(b->rchild) + 1;
        	else
        		return DsonNodes(b->lchild) + DsonNodes(b->rchild);
        }

> **10. 二叉树B采用链式存储，编写一个算法交换B中所有结点的左、右子树**

*  **算法实现**
    
        void swap(BTNode *b)
        { 
        	if(b)
        	{ 
        		swap(b->lchild);
        		swap(b->rchild);
        		temp = b->lchild;
        		b->lchild = b->rchild;
        		b->rchild = temp;
        	}
        }

> **11. 二叉树采用二叉链表存储，求先序遍历序列中第k（1 ≤ \\le ≤k ≤ \\le ≤二叉树中结点个数）个结点的值**

*  **算法实现**
    
        int i = 1;											//遍历序号的全局变量
        ElemType PreNode(BTNode *b, int k)
        { 
        	if(b == NULL)
        		return '#';									//空结点，则返回特殊字符
        	if(i == k)										//相等，则当前结点即为第k个结点
        		return b->data;
        	i++;
        	ch = PreNode(b->lchild, k);						//左子树中递归寻找
        	if(ch != '#')
        		return ch;
        	ch = PreNode(b->rchild, k);						//右子树中递归查找
        	return ch;
        }

> **12. 二叉树采用二叉链表存储，编写算法，删去树中每个以元素值为x的结点为根的子树，并释放相应的空间**

*  **算法思想**：删除值为x的结点，意味着应将其父结点的左（右）子女指针置空，用层次遍历易于找到某结点的父结点
 *  **算法实现**
    
        void DeleteXTree(BTNode *bt)					//删除以bt为根的子树
        { 
        	if(bt)
        	{ 
        		DeleteXTree(bt->lchild);				//删除bt的左右子树
        		DeleteXTree(bt->rchild);
        		free(bt);
        	}
        }
        
        void Search(BTNode *bt, ElemType x)				//在二叉树上查找所有以x为元素值的结点，并删除以其为根的子树
        { 
        	int front = rear = 0;
        	BTNode *p;
        	BTNode *Q[maxSize];							//Q是存放二叉树结点指针的队列，容量足够大
        	if(bt)
        	{ 
        		if(bt->data == x)						//若根结点值为x，则删除整棵树
        		{ 	
        			DeleteXTree(bt);
        			exit(0);
        		}
        		Q[++rear] = bt;
        		while( front != rear)
        		{ 
        			p = Q[++front];
        			if(p->lchild)						//若左子女非空
        				if(p->lchild->data == x)		//左子树值等于x则删除左子树
        				{ 
        					DeleteXTree(p->lchild);
        					p->lchild = NULL;			//左子女置空
        				}
        				else
        					Q[++rear] = p->lchild;
        			if(p->rchild)						//若右子女非空
        				if(p->rchild->data == x)		//右子树值等于x则删除右子树
        				{ 
        					DeleteXTree(p->rchild);
        					p->rchild = NULL;			//右子女置空
        				}
        				else
        					Q[++rear] = p->rchild;	
        		}
        	}
        }

> **13. 二叉树中查找值为x的结点，打印值为x的结点的所有祖先，假设值为x的结点不多于一个**

*  **算法实现**
    
        typedef struct
        	{ 
        		BTNode *t;
        		int tag;							//tag=0表示左子女被访问，为1表示右子女被访问
        	}stack;
        	void Search(BTNode *bt, ElemType x)
        	{ 
        		stack s[maxSize];							//栈容量足够大
        		int top = 0;
        		while(bt != NULL || top > 0)
        		{ 
        			while(bt != NULL && bt->data != x)		//结点入栈
        			{ 
        				s[++top].t = bt;
        				s[top].tag = 0;
        				bt = bt->lchild;					//沿左分支向下
        			}
        			if(bt->data == x)
        			{ 
        				printg("所查结点的所有祖先结点的值为：\n");
        				for(int i =1; i <= top; i++);
        				printf("%d", t->data);				//输出祖先值后结束
        				exit(1);
        			}
        			while(top != 0 && s[top].tag == 1)
        				--top;								//退栈（空遍历）
        			if(top != 0)
        			{ 
        				s[top].tag = 1;
        				bt = s[top].t->rchild;				//沿右分支向下遍历
        			}
        		}
        	}

> **14. 设一棵二叉树的结点结构为\{LLINK, INFO, RLINK\}，ROOT为指向该二叉树根结点的指针，p和q分别为指向该二叉树中任意两个结点的指针，编写算法ANCESTOR\{ROOT, p, q, r\}，找到p和q最近的公共祖先结点r**

*  **算法思想**：采用后序非递归算法，栈中存放二叉树结点的指针，当访问到某结点时，栈中所有元素均为该结点的祖先。先将栈复制到另一辅助栈中，继续遍历到结点q时，将栈中元素从栈顶开始逐个到辅助栈中去匹配，第一个匹配的元素就是q和p的最近公共祖先
 *  **算法实现**
    
        typedef struct
        { 
        	BTNode *t;
        	int tag;		//tag=0表示左子女已被访问，tag=1表示右子女已被访问
        }stack;
        stack s[maxSize], s1[maxSize];						//容量足够大
        BTNode *Ancestor(BTNode *root, BTNode *p, BTNode *q)
        { 
        	int top = 0;
        	BTNode *bt = root;
        	while(bt != NULL || top > 0)
        	{ 
        		while(bt != NULL && bt != p && bt != q)		//结点入栈
        		{ 
        			while(bt != NULL)
        			{ 
        				s[++top].t = bt;
        				s[top].tag = 0;
        				bt = bt->lchild;					//沿左分支向下
        			}
        		}
        		while(top != 0 && s[top].tag == 1)			//假设p在q的左侧，遇到p时，栈中元素均为p的祖先
        		{ 
        			if(s[top].t == p)
        			{ 
        				for(int = 1; i <= top; i++)			//将栈s的元素转入辅助栈s1保存
        					s1[i] = s[i];
        				top1 = top;
        			}
        			if(s[top].t == q)						//找到q结点
        			{ 
        				for(i = top; i > 0; i--)			//将栈中元素的树结点到s1中去匹配
        					for(int j = top1; j > 0; j--)
        						if(s1[j].t == s[i].t)
        							return s[i].t;			//p和q的最近公共祖先已找到
        				--top;								//退栈
        			}
        		}
        		if(top != 0)
        		{ 
        			s[top].tag = 1;	
        			bt = s[top].t->rchild;					//沿右分支向下遍历
        		}	
        	}//while
        	return NULL;									//p和q无公共祖先
        }

> **15. 设有一棵满二叉树（所有结点值均不同），已知其先序序列为pre，设计一个算法求其后序序列post**

*  **算法实现**
    
        void PreToPost(ElemType pre[], int l1, int h1, ElemType post[], int l2, int h2)
        { 
        	int half;
        	if(h1 >= l1)
        	{ 
        		post[h2] = pre[h1];
        		half = (h1-l1)/2;
        		PreToPost(pre ,l1+1, l1+half, post, l2, l2+half-1);	//转换左子树
        		PreToPost(pre ,l1+half+1, h1, post, l2+half, h2-1);	//转换右子树
        	}
        }

> **16. 设计一个算法将二叉树的叶结点按从左到右的顺序连成一个单链表，表头指针为head。二叉树按二叉链表方式存储，链接时用叶结点的右指针域来存放单链表指针**

*  **算法思想**
 *  **算法实现**
    
        LNode *head, *pre = NULL;
        LNode *InOrder(BTNode *bt)
        { 
        	if(bt)
        	{ 
        		InOrder(bt->lchild);							//中序遍历左子树
        		if(bt->lchild == NULL && bt->rchild == NULL)	//叶结点
        			if(pre == NULL)								//处理第一个叶结点
        			{ 
        				head = bt;
        				pre = bt;
        			}
        			else
        			{ 
        				pre->rchild = bt;
        				pre = bt;
        			}
        		InOrder(bt->rchild);							//中序遍历右子树
        		pre->rchild = NULL;								//设置链表尾
        	}
        	return head;
        }

> **17. 试设计判断两棵二叉树是否相似的算法。所谓二叉树T1和T2相似，指的是T1和T2都是空的二叉树或只有一个根结点；或T1的左子树和T2的左子树是相似的，且T1的右子树和T2的右子树是相似的**

*  **算法实现**
    
        int similar(BTNode *T1, BTNode *T2)
        { 
        	int leftS, rightS;
        	if(T1 == NULL && T2 == NULL)
        		return 1;
        	else if(T1 == NULL || T2 == NULL)
        		return 0;
        	else
        	{ 
        		leftS = similar(T1->lchild, T2->lchild);
        		rightS = similar(T1->rchild, T2->rchild);
        		return leftS && rightS;
        	}
        }

> **18. 写出在中序线索二叉树里查找指定结点在后序的前驱结点的算法**

*  **算法实现**
    
        TBTNode * InPostPre(TBTNode *t, TBTNode *p)
        { 
        	TBTNode *q;
        	if(p->rtag == 0)						//若p有右子女，则右子女时其后序前驱
        		q = p->rchild;
        	else if(p->ltag == 0)					//若p只有左子女，则左子女时其后序前驱
        		q = p->lchild;
        	else if(p->lchild == NULL)
        		q = NULL;							//p是中序序列第一结点，无后序前驱
        	else									//顺左线索向上找p的祖先，若存在，再找祖先的左子女
        	{ 
        		while(p->ltag == 1 && p->lchild != NULL)
        			p = p->lchild;
        		if(p->ltag == 0)
        			q = p->lchild;					//p结点的祖先的左子女是其后序前驱
        		else
        			q = NULL;						//仅有单支树（p是叶子），已到根结点，p无后序前驱
        	}
        	return q;	
        }

> **19. 二叉树的带权路径长度是二叉树中所有叶结点的带权路径长度之和。给定一棵二叉树T，采用二叉链表存储，结点结构为\[left, weight, right\]，其中叶结点的weight域保存该结点的非负权值。设root为指向T的根结点的指针，设计算法求T的WPL**

*  **算法思想**
 *  **算法实现**
    
        typedef struct BTNode
        { 
        	int weight;
        	struct BTNode *lchild, *rchild;
        }BTNode;
        
        //基于先序遍历的算法
        int WPL(BTNode *root)		
        { 
        	return wpl_PreOrder(root, 0);
        }	
        int wpl_PreOrder(BTNode *root, int deep)
        { 
        	static int wpl = 0;						//静态变量只初始化一次，以后每次调用仅改变其值
        	if(root->lchild == NULL && root->rchild == NULL)//若为叶结点，则累积wpl
        		wpl += deep*root->weight;
        	if(root->lchild != NULL)						//若左子树不空，则递归遍历左子树
        		wpl_PreOrder(root->lchild, deep+1);
        	if(root->rchild != NULL)						//若右子树不空，则递归遍历右子树
        		wpl_PreOrder(root->rchild, deep+1);
        	return wpl;
        }
        
        //基于层次遍历的算法
        #define maxSize 100 //设置队列的最大容量
        int wpl_LevelOrder(BTNode *root)
        { 
        	BTNode *q[maxSize];								//定义队列
        	int end1, end2;									//end1队头指针，end2队尾指针
        	end1 = end2 = 0;								//头指针指向队头元素，尾指针指向队尾的后一个元素
        	int wpl = 0, deep = 0;
        	BTNode *lastNode;								//lastNode用来记录当前层的最后一个结点
        	BTNode *newlastNode;							//newlastNode用来记录下一层的最后一个结点
        	lastNode = root;								//lastNode初始化为根结点
        	newlastNode  = NULL;							//newlastNode初始化为空
        	q[end2++] = root;								//根结点入队
        	while(end1 != end2)								//层次遍历，若队列不空则循环
        	{ 
        		BTNode *t = q[end1++];						//拿出队列中的一个头元素
        		if(t->lchild == NULL && r->rchild == NULL)	//若为叶结点，统计wpl
        			wpl += deep*t->weight;
        		if(t->lchild != NULL)						//若非叶结点，把左结点入队
        		{ 
        			q[end2++] = t->lchild;
        			newlastNode = t->lchild;				//设下一层的最后一个结点为该结点的左结点
        		}
        		if(t->rchild != NULL)						//处理叶结点
        		{ 
        			q[end2++] = t->rchild;
        			newlastNode = t->rchild;
        		}
        		if(t == lastNode)							//若该结点为本层最后一个结点，则更新lastNode
        		{ 
        			lastNode = newlastNode;
        			deep += 1;								//层数加1
        		}
        	}
        	return wpl;
        }

> **20. 设计一个算法，将给定的表达式树（二叉树）转换为等价的中缀表达式（通过括号反应操作符的计算次序）并输出**

*  **算法思想**
 *  **算法实现**
    
        typedef struct node
        { 
        	char data[10];					//存储操作数或操作符
        	struct node *left, *right;
        }BTree;
        
        void BTreeToE(BTNode *root)
        { 
        	BTreeToE(root, 1);				//根的高度为1
        }
        
        void BTreeToExp(BTNode *root, int deep)
        { 
        	if(root == NULL)
        		return;						//空结点返回
        	else if(root->left == NULL && root->right == NULL)
        		printf("%s", root->data);	//输出操作数，不加括号
        	else
        	{ 
        		if(deep > 1)
        			printf("(");			//若有子表达式则加1层括号
        		BTreeToExp(root->left, deep+1);
        		printf("%s", root->data);	//输出操作符
        		BTreeToExp(root->right, deep+1);
        		if(deep > 1)
        			printf(")");			//若有右表达式则加1层括号
        	}
        }

### 4. 树、森林 ###

#### 1. 树的存储结构 ####

*  **双亲表示法**：采用一组连续空间来存储每个结点，同时在每个结点中增设一个伪指针，指示其双亲结点在数组中的位置
 *  **孩子表示法**：将每个结点的孩子结点都用单链表链接起来形成一个线性结构，此时n个结点就有n个孩子链表（叶子结点的孩子链表为空表）
 *  **孩子兄弟表示法**：左指针指向孩子结点，右指针指向兄弟结点

#### 2. 树、森林与二叉树的转换 ####

*  **规则**：每个结点左指针指向它的第一个孩子，右指针指向它在树中相邻的右兄弟（左孩子右兄弟）

#### 3. 树和森林的遍历 ####

##### 1. 树的遍历 #####

*  **先根遍历**：先访问根结点，再依次遍历根结点的每棵子树（等价于这棵树转化为二叉树的先序序列）
 *  **后根遍历**：先依次遍历根结点的每棵子树，再访问根结点（等价于这棵树转化为二叉树的中序序列）

##### 2. 森林的遍历 #####

*  **先序遍历森林**：对每棵树依次进行先根遍历（等价于这个森林转化为二叉树的先序序列）
 *  **中（后）序遍历森林**：对每棵树依次进行后根遍历（等价于这个森林转化为二叉树的中序序列）

#### 3. 哈夫曼树与哈夫曼编码 ####

*  **相关概念**
    
     *  **路径**：从树中一个结点到另一个结点的分支所构成的路线
     *  **路径长度**：路径上边的个数
     *  **树的路径长度**：根到各个结点的路径长度之和
     *  **带权路径长度**：从该结点到根之间的路径长度乘以结点的权值，就是该结点的带权路径长度
     *  **树的带权路径长度（WPL）**：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
 *  **哈夫曼树的构造**
    
     *  将n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F
     *  构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左右子树，并且将新结点的权值置为左右子树上根结点的权值之和
     *  从F中删除刚才选出的两棵子树，同时将新得到的树加入F中
     *  重复2、3两步，直到F中只剩下一棵树为止
 *  **哈夫曼树的特点**
    
     *  每个初始结点都是叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大
     *  结点总数为2n-1（终端结点n-1个）
     *  不存在度为1的结点
     *  不唯一，但各哈夫曼树的带权路径长度相同且最优
 *  **哈夫曼编码**
    
     *  前缀编码：没有一个编码是另一个编码的前缀
     *  每条边由一位二进制位表示，左0右1，从根结点到叶子结点的路径的各条边依次用0、1表示即为该叶子结点的哈夫曼编码  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

#### 4. 算法应用 ####

> **1. 求以孩子兄弟表示法存储的森林的叶子结点数**

*  **算法实现**
    
        typedef struct BTNode
        { 
        	ElemType data;
        	struct BTNode *fch, *nsib;						//孩子域与兄弟域
        }BTNode;
        
        int Leaves(BTNode *bt)
        { 
        	if(bt == NULL)									//树空返回0
        		return 0;
        	if(t->fch == NULL)								//若结点无孩子，则该结点必是叶子
        		return 1+Leaves(bt->nsib);					//返回叶子结点和其兄弟子树中的叶子结点数
        	else
        		return Leaves(bt->fch) + Leaves(bt->nsib);	//返回孩子子树和兄弟子树中叶子数之和
        }

> **2. 以孩子兄弟链表为存储结构，涉及递归算法求树的深度**

*  **算法实现**
    
        int Height(BTNode *bt)
        { 
        	int hc, hs;
        	if(bt == NULL)
        		return 0;
        	else
        	{ 
        		hc = Height(bt->fch);
        		hs = Height(bt->nsib);
        		if(hc+1 > hs)
        			reutrn hc+1;
        		else
        			return hs;
        	}
        }

> **3. 已知一棵树的层次序列及每个结点的度，编写算法构造此树的孩子兄弟链表**

*  **算法思想**
 *  **算法实现**
    
        #define maxNode 15
        void createGSTree_Degree(BTNode *&T, DateType e[], int degree[], int n)
        { 
        	BTNode *pointer = new BTNode[maxNodes];
        	int i, j, d, k=0;
        	for(i = 0; i < n; ++i)
        	{ 
        		pointer[i]->data = e[i];
        		pointer[i]->lchild = pointer[i]->rchild = NULL;
        	}
        	for(i = 0; i < n; ++i)
        	{ 
        		d = degree[i];									//结点i的度数
        		if(d)
        		{ 
        			++k;										//k为子女结点序号
        			pointer[i]->lchild = pointer[k];			//建立i与子女k间的链接
        			for(j = 2; j <= d; ++j)
        				pointer[(++k)-1]->rchild = pointer[k];
        		}
        	}
        	T = pointer[0];
        	delete[] pointer;									//释放数组
        }

### 5. 树与二叉树的应用 ###

#### 1. 二叉排序树（BST） ####

##### 1. 定义(左 < 根 < 右) #####

![二叉排序树][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]

##### 2. 基本操作 #####

*  **查找**  
    ![查找][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]
    
        BSTNode *BST_Search(BTNode *T, ElemType key)
        { 
        	while(T != NULL && key != T->data)
        	{ 
        		if(key < T->data)
        			T = T->lchild;
        		else
        			T = T->rchild;
        	}
        	return T;
        }
 *  **插入**  
    ![二叉排序树的插入][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]
    
        int BST_Insert(BTNode *&T, KeyType k)
        { 
        	if(T == NULL)								//原树为空，新插入的记录为根结点
        	{ 
        		T = (BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
        		T->key = k;
        		T->lchild = T->rchild = NULL;
        		return 1;								//返回1，插入成功
        	}
        	else if(k == T->key)						//树中存在相同关键字的结点，插入失败
        		return 0;
        	else if(k < T->key)							//插入到T的左子树
        		return BST_Insert(T->lchild, k);
        	else										//插入到T的右子树
        		return BST_Insert(T->rchild, k);
        }
 *  **构造**  
    ![二叉排序树的构造][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]
    
        void Create_BST(BTNode *&T, KeyType str[], int n)
        { 
        	T = NULL;									//初始时T为空树
        	int i = 0;
        	while(i < n)								//依次将每个关键字插入到二叉排序树中
        	{ 
        		BST_Insert(T, str[i]);
        		i++;
        	}
        }
 *  **删除**
    
     *  **流程**
        
         *  若被删除结点z为叶结点，则让z的子树成为z父结点的子树，代替z的位置
         *  若结点z只有一棵左子树或右子树，则让z的子树成为z父结点的子树，代替z的位置
         *  若结点z有左、右两棵子树，则令z的直接后继（或直接前驱）替代z，然后从二叉排序树中删去这个直接后继（或直接前驱），这样就转换成了第一或第二种情况
     *  **注意**
        
         *  若先删除叶结点再插入该结点，则得到的二叉排序树和原来相同
         *  若先删除非叶结点再插入该结点，则得到的二叉排序树和原来不同

##### 3. 查找效率分析 #####

> **主要取决于树的高度**

*  **最坏情况**
    
     *  只有一个孩子的单支树：O(n)
 *  **最好情况**
    
     *  平衡二叉树：O( log ⁡ 2 n \\log\_2 n log2n)
 *  **等概率情况**
    
     *  **查找成功**  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]
     *  **查找失败**  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]

#### 2. 平衡二叉树（AVL） ####

##### 1. 定义 #####

*  在插入和删除二叉树结点时，要保证任意节点的左、右子树高度差的绝对值不超过1
 *  左子树域右子树的高度差为该结点的平衡因子（只能是-1、0、1）

##### 2. 基本操作 #####

*  **插入**：首先检查其插入路径上的结点是否因为此次操作而导致了不平衡，若导致了不平衡，则先找到插入路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点A，再对以A为根的子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重新达到平衡
    
     *  **LL旋转**：结点A的左孩子的左子树插入了新结点。
        
         *  A的左孩子B向右上旋转代替A成为根结点
         *  A向右下旋转成B的右子树的根结点
         *  B的原右子树作为A的左子树  
            ![在这里插入图片描述][20210529222154886.png]  
            ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]
     *  **RR旋转**：结点A的右孩子的右子树插入了新结点
        
         *  A的右孩子B向左上旋转代替A成为根结点
         *  A向左下旋转成为B的左子树的根结点
         *  B的原左子树则作为A的右子树  
            ![在这里插入图片描述][202105292226047.png]  
            ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]
     *  **LR旋转**：结点A的左孩子的右子树插入了新结点
        
         *  A的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升到B的位置
         *  C向右上旋转提升到A的位置  
            ![在这里插入图片描述][2021052922272466.png]  
            ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]  
            ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]
     *  **RL旋转**：结点A的右孩子的左子树插入了新结点
        
         *  A的右孩子B的左子树的根结点C向右上旋转提升到B的位置
         *  C向左上旋转提升到A的位置  
            ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]
    
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 22]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 23]

> **LR和RL旋转时，新结点究竟是插入C的左子树还是右子树不影响旋转过程**

*  **查找**
    
     *  与给定值比较的关键字个数不超过树的深度
     *  含有n个结点的平衡二叉树的最大深度为O( log ⁡ 2 n \\log\_2 n log2n)，平均查找长度为O( log ⁡ 2 n \\log\_2 n log2n)
     *  假设 n h n\_h nh表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数（求解给定结点数的平衡二叉树最多比较次数）  
        ![在这里插入图片描述][20210529225817968.png]

#### 3. 并查集 ####

*  **思想**：用集合中的一个元素代表一个集合
 *  **应用**
    
     *  求无向图的连通分量个数
     *  最小公共祖先
     *  实现Kruskar算法求最小生成树
     *  判断有无环路

#define VERTICES 6
    void initialise(int parent[], int rank[]){ 					//父结点数组、深度数组初始化
    	int i;
    	for(i = 0; i < VERETICES; i++){ 
    		parent[i] = -1;
    		rank[i] = 0;
    	}
    }
    
    int find_root(int x, int parent[]){ 				//找指定结点的根结点
    	int x_root = x;
    	while(parent[x_root] != -1)
    		x_root = parent[x_root];
    	return x_root;
    }
    /** * 1---union successfully 俩结点不在同一集合时，合并 * 0---failed 否则不合并 */
    int union_vertices(int x, int y, int parent[], int rank[]){ 
    	int x_root = find_root(x, parent);
    	int y_root = find_root(y, parent);
    	if(x_root == y_root)
    		return 0;
    	else{ 
    		if(rank[x_root] > rank[y_root]){ 		//x根结点深度 > y根结点深度，y认x做老大
    			parent[y_root] = x_root;
    		}else if(rank[x_root] < rank[y_root]){   //x根结点深度 < y根结点深度，x认y做老大
    			parent[x_root] = y_root;
    		}else{ 									//x根结点深度 < y根结点深度，让x做老大，高度加1 
    			rank[x_root]++;
    			parent[y_root] = x_root;
    		}
    		return 1;
    	}
    }
    
    int main(){ 
    	int parent[VERTICES] = { 0};
    	int edges[6][2] = { 
    		{ 0,1}, { 1,2}, { 1,3}，
    		{ 2,4}, { 3,4}, { 2,5}
    	};
    	initialise(parent);
    	int i;
    	for(i = 0; i < 6; i++){ 
    		int x = edges[i][0];
    		int y = edges[i][1];
    		if(union_vertices(x, y, parent) == 0){ 
    			printf("Cycle detected!"\n);
    			exit(0);
    		}	
    	}
    	printf("No cycle found."\n);
    }

#### 4. 红黑树 ####

##### 1. 性质和特点 #####

*  **五大性质**
    
     *  每个结点要么是红色要么是黑色
     *  根结点为黑色
     *  每个叶子结点是黑色的（叶子结点为空）
     *  红色结点的子结点必为黑色结点（不能有两个连续的红结点）
     *  从任意一个结点到其叶子的所有路径中，所包含的黑结点数量相同（没有一条路径会比其他路径长出两倍）

--------------------

*  **特点**
    
     *  插入删除最坏情况下时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log\_2 n) O(log2n)
     *  红黑树的高度最多为 2 l o g 2 ( n + 1 ) 2log\_2(n+1) 2log2(n\+1)

##### 2. 插入规则 #####

> **新插入结点默认为红色**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]

①插入12  
![在这里插入图片描述][ba7d77509b4f40fdbe6a44390a78c7e5.png]  
说明：插入的结点若是根结点，则直接置为黑色

②插入1  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]  
说明：插入结点默认为红色

③插入9  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 2]  
④插入2  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 3]  
⑤插入0  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 4]  
⑥插入11  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 5]  
⑦插入7  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 6]  
⑧插入19  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 7]  
⑨插入4  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 8]  
⑩插入15  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 9]  
⑪插入18  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 10]  
⑫插入5  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 11]  
⑬插入14  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 12]  
⑭插入13  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 13]  
⑮插入10  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 14]  
⑯插入16  
![在这里插入图片描述][e6f94fc15bfc4641becc4236d1e49ad8.png]  
⑰插入6  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 15]  
⑱插入3  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 16]

##### 3. 删除规则 #####

**第一步：从树中删除结点X（以寻找后继结点的方式删除**）

*  **情况1**：X没有孩子 
    
     *  X为红色，直接删除
     *  X为黑色，以X为当前结点进行旋转调色
 *  **情况2**：X有一个孩子C 
    
     *  交换X和C的数值，再对X进行删除
 *  **情况3**：X有两个孩子 
    
     *  和后继中最小结点D交换数值，再对X进行删除

**第二步：旋转调色**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 17]  
①删除12  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 18]  
②删除1  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 19]  
③删除9  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 20]  
④删除2  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 21]  
⑤删除0  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 22]  
⑥删除11  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 23]  
⑦删除7  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 24]  
⑧删除19  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 25]  
⑨删除4  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 26]  
⑩删除15  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 27]  
⑪删除18  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 28]  
⑫删除5  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 29]  
⑬删除14  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 30]

⑭删除13  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 31]  
⑮删除10  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBA5aWz5Y-I5Yqb_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 32]

[20210521200318730.png]: /images/20221014/33598ae4bcf6497e8c87095a44d8b2eb.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]: /images/20221014/5c806b91991342edbc8eae896b4bdf34.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]: /images/20221014/245c4b2fa74a4e8d88d1506de4773688.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]: /images/20221014/f225da5cef584c8ea22fe0191a5aadcf.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]: /images/20221014/a96d9554722f46eab9422361bc29fe59.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]: /images/20221014/dafd17856e594fabbc4d4f1534a59eda.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]: /images/20221014/8ac3e6df0ba34292ae844291033f1aa7.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]: /images/20221014/f5a56a03655e4f748ba32637cfaf93a0.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]: /images/20221014/428a57d496b842b580f65acc2f8c6044.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDY5NDk2_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]: /images/20221014/de55433fb66a40e98a3dbeb6daf08ab7.png
[20210529222154886.png]: /images/20221014/9a45987f0ae04ff3b9e72ea41faa6a31.png
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