【线性代数（3）】行列式的七大性质及推论

迷南。 2023-02-22 08:06 2阅读 0赞

### 行列式的性质 ###

*   *  1 转置
     *   *  转置特性： $\\mathbf\{((D^\{T\})^\{T\}) \\Rightarrow D\}$
         *  性质（1）： $\\mathbf\{D^\{T\} = D\}$
     *  2 行列性质
     *   *  性质（2）：行列式的两行（列）互换，值变号
         *  性质（3）：两行（列）相等，行列式的值为0 $\\Rightarrow \\mathbf\{D = 0\}$
         *  性质（4）：某一行乘以k，等于用k乘以D
         *  性质（5）：两行（列）对应成比例，行列式值为0 $\\Rightarrow \\mathbf\{D = 0\}$
         *  性质（6）：加法可拆性，和的那一行分开，其余行保持不变
         *  性质（7）：某一行（列）乘以一个数，加到某一行（列），行列式的值不变
     *  3 行列式值的计算

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## 1 转置 ##

行列式转置：就是把行列进行调换，行变成列，列变成行

D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣         ⇒          D T = ∣ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ∣ D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6\\\\ 7 & 8 & 9 \\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\Rightarrow \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} D^\{T\}=\\begin\{vmatrix\}1 & 4& 7 \\\\ 2 & 5 & 8\\\\ 3 & 6 & 9 \\end\{vmatrix\} D=∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣       ⇒        DT=∣∣∣∣∣∣123456789∣∣∣∣∣∣

两次转置之后就回去了，因此行列式的第一个性质就有了

### 转置特性：  ( ( D T ) T ) ⇒ D \\mathbf\{((D^\{T\})^\{T\}) \\Rightarrow D\} ((DT)T)⇒D ###

看一下行列式及其转置展开后数值的关系，比如原行列式**按行**展开，取其**列标**为132，则对应的展开项就为 ( − 1 ) N ( 132 ) 1 ∗ 6 ∗ 8 (-1)^\{N(132)\}1\*6\*8 (−1)N(132)1∗6∗8，而该行列式的转置采用**按列**展开，要想也取相同的元素，则应取其**行标**为132，则对应的展开项就为 ( − 1 ) N ( 132 ) 1 ∗ 6 ∗ 8 (-1)^\{N(132)\}1\*6\*8 (−1)N(132)1∗6∗8，由此可知，原行列式的展开项和转置后的展开项是一致的，故行列式的值是相等的，也就有了性质（1）

### 性质（1）：  D T = D \\mathbf\{D^\{T\} = D\} DT=D ###

性质1虽然简单，但是有种万丈高楼平地起的感觉（很基础但又有决定性意义），翻译过来就是：**行列式中对行成立的性质，对列也同样成立**，因此在证明的时候，就只需要证明性质对行成立即可，默认就是对列成立

## 2 行列性质 ##

### 性质（2）：行列式的两行（列）互换，值变号 ###

比如将下面的行列式的第一行和第三行进行调换  
 D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∣         ⇒          D 1 = ∣ 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 ∣ = − D D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 & 4\\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\ 9& 10 & 11 &12\\\\ 13 & 14 & 15 &16\\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\Rightarrow \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \}D\_\{1\}= \\begin\{vmatrix\}9& 10 & 11 &12\\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 13 & 14 & 15 &16\\end\{vmatrix\} =-D D=∣∣∣∣∣∣∣∣15913261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣       ⇒        D1=∣∣∣∣∣∣∣∣95113106214117315128416∣∣∣∣∣∣∣∣=−D

证明：将D进行展开（第一种定义），假如取的元素是2,7,12,13，其对应的行标为1,2,3,4，列标为2,3,4,1，所以对应的展开项就为： ( − 1 ) N ( 2341 ) 2 ∗ 7 ∗ 12 ∗ 13 (-1)^\{N(2341)\}2\*7\*12\*13 (−1)N(2341)2∗7∗12∗13，要使 D 1 D\_\{1\} D1取相同的元素，其对应的行标为3,2,1,4，列标为2,3,4,1，因此 D 1 D\_\{1\} D1的展开是属于第三种定义，对应的展开项就为：  
 ( − 1 ) N ( 3214 ) + N ( 2341 ) 2 ∗ 7 ∗ 12 ∗ 13 = ( − 1 ) N ( 3214 ) ( − 1 ) N ( 2341 ) 2 ∗ 7 ∗ 12 ∗ 13 (-1)^\{N(3214)+N(2341)\}2\*7\*12\*13=(-1)^\{N(3214)\}(-1)^\{N(2341)\}2\*7\*12\*13 (−1)N(3214)\+N(2341)2∗7∗12∗13=(−1)N(3214)(−1)N(2341)2∗7∗12∗13

其中 ( − 1 ) N ( 3214 ) (-1)^\{N(3214)\} (−1)N(3214)可以和 ( − 1 ) N ( 1234 ) (-1)^\{N(1234)\} (−1)N(1234)进行对比，可以发现1和3进行了一次对换，因此前一项的结果就是-1，而后面的结果就是相同的，故**经过行互换的行列式的每一项都是原来展开项的相反数**，最终的结果也就是互换后行列式的值变号

为啥会多一个负号？根据展开项的标号来看，列标是没有发生变化的（比如都是2341），经过变换后行标发生改变，变化的过程为：原来的1234变化为3214，就是进行了一次对换，所以会多出来一个负号

### 性质（3）：两行（列）相等，行列式的值为0  ⇒ D = 0 \\Rightarrow \\mathbf\{D = 0\} ⇒D=0 ###

参考一下如下行列式的变换过程  
 D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 ∣         ⇒        − D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 ∣ = D D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 & 4\\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\ 1& 2& 3 &4\\\\ 13 & 14 & 15 &16\\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\Rightarrow \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} -D= \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 13 & 14 & 15 &16\\end\{vmatrix\} =D D=∣∣∣∣∣∣∣∣15113262143731548416∣∣∣∣∣∣∣∣       ⇒      −D=∣∣∣∣∣∣∣∣15113262143731548416∣∣∣∣∣∣∣∣=D

根据上面的性质（2），将第一行和第三行进行互换，行列式的值变号，所以最后就有了行列式的值为0 − D = D                ⇒                D = 0 -D = D \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \}\\Rightarrow \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \}\\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} D = 0 −D=D              ⇒              D=0

### 性质（4）：某一行乘以k，等于用k乘以D ###

D = ∣ 1 2 3 4 5 k 6 k 7 k 8 k 9 10 11 12 13 14 15 16 ∣    =    k ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∣ = k ∗ D D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 & 4\\\\ 5k & 6k & 7k & 8k\\\\ 9& 10& 11 &12\\\\ 13 & 14 & 15 &16\\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} = \\text\{ \} \\text\{ \} k\\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\9& 10& 11 &12 \\\\ 13 & 14 & 15 &16\\end\{vmatrix\} =k\*D D=∣∣∣∣∣∣∣∣15k91326k101437k111548k1216∣∣∣∣∣∣∣∣  =  k∣∣∣∣∣∣∣∣15913261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣=k∗D

主要用的是该性质的**推论：某一行有公因子k，k可以提到外边去；n阶行列式所有元素都有公因式k，公因式外提n次**，如下，有4行就可以提4个k，故是k的四次方  
 D = ∣ 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k 10 k 11 k 12 k 13 k 14 k 15 k 16 k ∣    =    k 4 ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∣ = k 4 ∗ D D = \\begin\{vmatrix\}1k & 2k & 3k & 4k\\\\ 5k & 6k & 7k & 8k\\\\ 9k& 10k& 11k &12k\\\\ 13k & 14k & 15k &16k\\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} = \\text\{ \} \\text\{ \} k^\{4\}\\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\9& 10& 11 &12 \\\\ 13 & 14 & 15 &16\\end\{vmatrix\} =k^\{4\}\*D D=∣∣∣∣∣∣∣∣1k5k9k13k2k6k10k14k3k7k11k15k4k8k12k16k∣∣∣∣∣∣∣∣  =  k4∣∣∣∣∣∣∣∣15913261014371115481216∣∣∣∣∣∣∣∣=k4∗D

### 性质（5）：两行（列）对应成比例，行列式值为0  ⇒ D = 0 \\Rightarrow \\mathbf\{D = 0\} ⇒D=0 ###

行列式变换过程如下：借用性质（3）：两行（列）成比例，行列式的值为0  
 D = ∣ 1 2 3 1 1 1 8 8 8 ∣         ⇒          8 ∣ 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ∣ = 0 D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 8 & 8 & 8 \\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\Rightarrow \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} 8 \\begin\{vmatrix\}1 &2& 3 \\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \\end\{vmatrix\} = 0 D=∣∣∣∣∣∣118218318∣∣∣∣∣∣       ⇒        8∣∣∣∣∣∣111211311∣∣∣∣∣∣=0

**推论：某一行全为0， 该行列式的值为0  ⇒ D = 0 \\Rightarrow \\mathbf\{D = 0\} ⇒D=0**  
 D = ∣ 1 2 3 0 0 0 8 8 8 ∣      ⇒     ∣ 1 2 3 0 ∗ 8 0 ∗ 8 0 ∗ 8 8 8 8 ∣    ⇒      0 ∣ 1 2 3 8 8 8 8 8 8 ∣ = 0 D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\0& 0 & 0\\\\ 8 & 8 & 8 \\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\Rightarrow \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\begin\{vmatrix\}1 &2& 3 \\\\ 0\*8 & 0\*8 & 0\*8\\\\ 8 & 8 & 8 \\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} \\Rightarrow \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} 0 \\begin\{vmatrix\}1 &2& 3 \\\\ 8 & 8 & 8\\\\ 8 & 8 & 8 \\end\{vmatrix\} = 0 D=∣∣∣∣∣∣108208308∣∣∣∣∣∣    ⇒   ∣∣∣∣∣∣10∗8820∗8830∗88∣∣∣∣∣∣  ⇒    0∣∣∣∣∣∣188288388∣∣∣∣∣∣=0

上面的过程是用性质（5）证明的推论，当然也可以使用行列式的定义来证明，因为每一个展开项都需要取到行为0的元素，也就是说每个展开项都会和0相乘，故最后的值为0

小结一下关于行列式为0的性质和推论，以下有三种  
![align=center][align_center]  
**易错点：** 当行列式的值为0时，左侧的三个至少有一个成立（这种说法是错误的，只能正向推）

举个反例  
 D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ = 0 D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\4& 5 & 6\\\\ 7 & 8 & 9 \\end\{vmatrix\} = 0 D=∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣=0

### 性质（6）：加法可拆性，和的那一行分开，其余行保持不变 ###

梳理过程如下：  
 D = ∣ 1 2 3 4 + 1 5 + 2 6 + 3 7 8 9 ∣      ⇒     ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ + ∣ 1 2 3 1 2 3 7 8 9 ∣    = 0 + 0 = 0 D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\4 + 1& 5+2 & 6+3\\\\ 7 & 8 & 9 \\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\Rightarrow \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\begin\{vmatrix\}1 &2& 3 \\\\ 4 & 5 & 6\\\\ 7 & 8 & 9 \\end\{vmatrix\} + \\begin\{vmatrix\}1 &2& 3 \\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 7 & 8 & 9 \\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} = 0 + 0 = 0 D=∣∣∣∣∣∣14\+1725\+2836\+39∣∣∣∣∣∣    ⇒   ∣∣∣∣∣∣147258369∣∣∣∣∣∣\+∣∣∣∣∣∣117228339∣∣∣∣∣∣  =0\+0=0

注意这种加法可拆性是针对有和的那一行，其余的是不变的，比如

**易错点：** 直接将多行按照一行来拆分，  
 ∣ a + b b + c a + c a + c a + b b + c b + c a + c a + b ∣      ! =     ∣ a b c a b c b c a ∣ + ∣ b c c c a b c a b ∣ \\begin\{vmatrix\}a+b & b+c & a+c \\\\ a+c &a+b& b+c \\\\ b+c & a+c & a+b \\end\{vmatrix\} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \}!=\\text\{ \} \\text\{ \} \\text\{ \} \\begin\{vmatrix\}a& b & c \\\\ a &b& c \\\\ b & c & a\\end\{vmatrix\} + \\begin\{vmatrix\}b & c & c \\\\ c &a& b \\\\ c & a & b \\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣∣∣a\+ba\+cb\+cb\+ca\+ba\+ca\+cb\+ca\+b∣∣∣∣∣∣    !=   ∣∣∣∣∣∣aabbbccca∣∣∣∣∣∣\+∣∣∣∣∣∣bcccaacbb∣∣∣∣∣∣

正确结果应该是拆分为 2 3 = 8 2^3 = 8 23=8项  
 ∣ a + b b + c a + c a + c a + b b + c b + c a + c a + b ∣ = ∣ a b c a + c a + b b + c b + c a + c a + b ∣ + ∣ b c c a + c a + b b + c b + c a + c a + b ∣ = . . . . . . \\begin\{vmatrix\}a+b & b+c & a+c \\\\ a+c &a+b& b+c \\\\ b+c & a+c & a+b \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\}a& b & c \\\\a+c &a+b& b+c \\\\ b+c & a+c & a+b\\end\{vmatrix\} + \\begin\{vmatrix\}b & c & c \\\\ a+c &a+b& b+c \\\\ b+c & a+c & a+b \\end\{vmatrix\} = ...... ∣∣∣∣∣∣a\+ba\+cb\+cb\+ca\+ba\+ca\+cb\+ca\+b∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣aa\+cb\+cba\+ba\+ccb\+ca\+b∣∣∣∣∣∣\+∣∣∣∣∣∣ba\+cb\+cca\+ba\+ccb\+ca\+b∣∣∣∣∣∣=......

### 性质（7）：某一行（列）乘以一个数，加到某一行（列），行列式的值不变 ###

证明过程梳理如下：比如第一行乘以5加到第二行，然后使用性质（5）和性质（6），即可得证  
 D = ∣ 1 2 3 1 1 0 9 9 10 ∣ = ∣ 1 2 3 1 + 5 1 + 10 0 + 15 9 9 10 ∣ = ∣ 1 2 3 1 1 0 9 9 10 ∣ + ∣ 1 2 3 5 10 15 9 9 10 ∣ = ∣ 1 2 3 1 1 0 9 9 10 ∣ D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\1& 1 & 0\\\\ 9& 9 & 10 \\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\1+5& 1+10 & 0+15\\\\ 9& 9 & 10 \\end\{vmatrix\} =\\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\1& 1 & 0\\\\ 9& 9 & 10 \\end\{vmatrix\} + \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\5& 10 & 15\\\\ 9& 9 & 10 \\end\{vmatrix\}= \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 3 \\\\1& 1 & 0\\\\ 9& 9 & 10 \\end\{vmatrix\} D=∣∣∣∣∣∣1192193010∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣11\+5921\+10930\+1510∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1192193010∣∣∣∣∣∣\+∣∣∣∣∣∣159210931510∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣1192193010∣∣∣∣∣∣

## 3 行列式值的计算 ##

核心思想：将行列式**转化为上三角行列式**，最后的值就为主对角线各元素之积  
操作步骤：①先处理第一列，再处理第二列，再第三列…  
②第一列处理完，接下来第一列不再参与运算；第二列处理完，接下来第二列不再参与运算…

比如：先将第一列非第一行所有元素化为0，然后相同的方法操作第二列，紧接着第三/四列  
 D = ∣ 1 2 0 1 2 3 10 0 0 3 5 18 5 10 15 4 ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 3 5 18 5 10 15 4 ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 3 5 18 0 0 15 − 1 ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 0 35 12 0 0 0 − 43 7 ∣ = 215 D = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 0 & 1\\\\ 2 & 3 & 10 & 0\\\\ 0& 3& 5 &18\\\\ 5 & 10 & 15 &4\\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 10& -2\\\\0& 3& 5 &18\\\\ 5 & 10 & 15 &4\\end\{vmatrix\} =\\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 10& -2\\\\0& 3& 5 &18\\\\ 0 & 0 & 15 &-1\\end\{vmatrix\}=\\begin\{vmatrix\}1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 10& -2\\\\0& 0& 35 &12\\\\ 0 & 0 & 0 & -\\frac\{43\}\{7\}\\end\{vmatrix\} = 215 D=∣∣∣∣∣∣∣∣12052331001051510184∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣10052−13100105151−2184∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣10002−1300105151−218−1∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣10002−1000103501−212−743∣∣∣∣∣∣∣∣=215

注意：如果第一行的第一个元素不是1，要找到行数为1的进行调换位置，或者找到方便转化为1的行数进行调换，然后继续执行上诉的步骤，如下：

① 找到元素为1的行  
 ∣ 8 2 0 1 1 3 10 0 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ ⇒ ∣ 1 3 10 0 8 2 0 1 0 3 5 18 3 10 15 4 ∣ \\begin\{vmatrix\}8 & 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 3 & 10 & 0\\\\9& 3& 5 &18\\\\ 3 & 10 & 15 &4\\end\{vmatrix\} \\Rightarrow \\begin\{vmatrix\}1 & 3 & 10 & 0\\\\ 8 & 2 & 0 & 1\\\\0& 3& 5 &18\\\\ 3 & 10 & 15 &4\\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣∣∣∣∣81932331001051510184∣∣∣∣∣∣∣∣⇒∣∣∣∣∣∣∣∣18033231010051501184∣∣∣∣∣∣∣∣  
② 找到方便转化为1的行再调换

∣ 8 2 0 1 3 3 6 9 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ ⇒ 3 ∣ 8 2 0 1 1 1 2 3 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ ⇒ 3 ∣ 1 1 2 3 8 2 0 1 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ \\begin\{vmatrix\}8 & 2 & 0 & 1\\\\ 3 & 3 & 6 & 9\\\\9& 3& 5 &18\\\\ 3 & 10 & 15 &4\\end\{vmatrix\} \\Rightarrow 3\\begin\{vmatrix\}8 & 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 & 3\\\\9& 3& 5 &18\\\\ 3 & 10 & 15 &4\\end\{vmatrix\} \\Rightarrow 3\\begin\{vmatrix\}1 & 1 & 2 & 3\\\\ 8 & 2 & 0 & 1\\\\9& 3& 5 &18\\\\ 3 & 10 & 15 &4\\end\{vmatrix\} ∣∣∣∣∣∣∣∣8393233100651519184∣∣∣∣∣∣∣∣⇒3∣∣∣∣∣∣∣∣8193213100251513184∣∣∣∣∣∣∣∣⇒3∣∣∣∣∣∣∣∣1893123102051531184∣∣∣∣∣∣∣∣

**至此行列式的7大性质及其推论，全部梳理完毕，下一部分梳理行列式计算的实例**

[Link 1]: https://blog.csdn.net/lys_828/article/details/107083616
[align_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200702175607282.png