【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质

叁歲伎倆 2022-12-22 09:53 127阅读 0赞

### 矩阵的特征值与特征向量 ###

*  1 基本定义
 *  2 性质
 *  3 计算
 *   *  例1
     *  例2
     *  例3
 *  4 特征值与特征向量的性质

注意：由于已经过了大学要考线性代数的年纪，关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

# 1 基本定义 #

假设 A A A是方阵（基调：**就是特征值和特征方程只试用于方阵**），对于一个数 λ \\lambda λ，存在**非零列向量** α \\alpha α，使得 A α = λ α A\\alpha = \\lambda\\alpha Aα=λα，则称 λ \\lambda λ为方阵的特征值， α \\alpha α称为对应于 λ \\lambda λ的特征向量

*   λ \\lambda λ可以为0，但是特征向量不能为0
 *  特征向量一定是列向量，而且是非零（参考最初矩阵相乘的七字口诀：**[中间相等，取两头][Link 1]**）
 *  在说特征向量的时候，要说对应于特征值的。也就是要先有特征值

根据定义进行推导： λ α − A α = 0 ⇒ ( λ E − A ) α = 0 \\lambda\\alpha-A\\alpha =0 \\Rightarrow (\\lambda E - A)\\alpha = 0 λα−Aα=0⇒(λE−A)α=0，重点来啦，这里的 α \\alpha α是非零向量，如果将其换成 x x x，那么就是 ( λ E − A ) x = 0 (\\lambda E - A)x= 0 (λE−A)x=0，也就变成了求解齐次方程组了，前面的方阵就是方程的系数构成的矩阵，然后知道最终的解是非零的，故最终可以推出方阵的行列式为0

为了便于理解，这里举个我自己说服自己理解的栗子：

*  首先是方阵，那么假设就是 3 ∗ 3 3\*3 3∗3，也就是三个方程三个未知数，方程的右边等于0
 *  那么方程一定有一个解，就是三个未知数都为0的时候，也就是不管方程的系数取多少，我的未知数都取0，最后计算等式左边和右边都是0
 *  现在出现了非零解，说明啥？
 *  第一反应就是肯定有两个或者三个方程组是等价的（也就是方程的系数成比例）
 *  比如 \{ x 1 + x 2 + x 3 = 0 5 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 = 0 − x 1 + x 2 + 6 x 3 = 0 \\begin\{cases\} x\_\{1\}+x\_\{2\} + x\_\{3\} =0 \\\\ 5x\_\{1\}+5x\_\{2\}+5x\_\{3\}=0\\\\ -x\_\{1\} +x\_\{2\} +6x\_\{3\} =0 \\end\{cases\} ⎩⎪⎨⎪⎧x1\+x2\+x3=05x1\+5x2\+5x3=0−x1\+x2\+6x3=0
 *  这样的情况下系数对应的行列式就为0了，存在两行数据成比例

上面就是自己的思维理解过程，不是很严谨，但是特别能说服我自己：**齐次方程组存在非零解     ⟺    \\iff ⟺ 系数组成的行列式为0**

所以最终对于上面的化简式子就有了： **( λ E − A ) x = 0 (\\lambda E - A)x= 0 (λE−A)x=0存在非零解     ⟺    ∣ λ E − A ∣ = 0 \\iff |\\lambda E - A| =0 ⟺∣λE−A∣=0**，其中

*   ( λ E − A ) (\\lambda E - A) (λE−A)被称为特征矩阵
 *   ∣ λ E − A ∣ |\\lambda E - A| ∣λE−A∣为特征多项式
 *   ∣ λ E − A ∣ = 0 |\\lambda E - A| =0 ∣λE−A∣=0为特征方程
 *   x x x就是特征方程的解，也成为特征值或者特征根

# 2 性质 #

若 λ \\lambda λ是 A A A的特征值， α \\alpha α为对应于 λ \\lambda λ的特征向量

*  1） A α = λ α ⇒ c A α = c λ α ⇒ A ( c α ) = λ ( c α ) A\\alpha = \\lambda\\alpha \\Rightarrow cA\\alpha = c\\lambda\\alpha \\Rightarrow A(c\\alpha) = \\lambda (c \\alpha) Aα=λα⇒cAα=cλα⇒A(cα)=λ(cα)， c α c\\alpha cα也是对应于 λ \\lambda λ的特征向量，所以一个特征值可以对应多个特征向量，但是一个特征向量只能对应一个特征值，打个比方：特征值是父母，特征向量是儿女，正常情况下一对父母可以有多对儿女，但是对于单个的儿子，女儿来说只能有一对父母。
 *  2）若 α 1 , α 2 \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\} α1,α2是 λ \\lambda λ的特征向量，则 c 1 α 1 + c 2 α 2 c\_\{1\}\\alpha\_\{1\}+c\_\{2\}\\alpha\_\{2\} c1α1\+c2α2也是 λ \\lambda λ的特征向量，证明过程：根据公式拆开即可验证

# 3 计算 #

## 例1 ##

设 A = ( − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ) A = \\left(\\begin\{matrix\} -1&1&0\\\\-4&3&0\\\\1&0&2\\end\{matrix\}\\right) A=⎝⎛−1−41130002⎠⎞，求解A的特征值与特征向量

解：

λ E − A = ( λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ) − ( − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ) = ( λ + 1 − 1 0 4 λ − 3 0 1 0 λ − 2 ) \\lambda E-A = \\left(\\begin\{matrix\} \\lambda&0&0\\\\0&\\lambda&0\\\\0&0&\\lambda\\end\{matrix\}\\right)- \\left(\\begin\{matrix\} -1&1&0\\\\-4&3&0\\\\1&0&2\\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} \\lambda+1&-1&0\\\\4& \\lambda-3&0\\\\1&0& \\lambda-2\\end\{matrix\}\\right) λE−A=⎝⎛λ000λ000λ⎠⎞−⎝⎛−1−41130002⎠⎞=⎝⎛λ\+141−1λ−3000λ−2⎠⎞  
提取行列式，问题就在于系数行列式的求解

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ + 1 − 1 0 4 λ − 3 0 1 0 λ − 2 ∣ |\\lambda E-A| = \\begin\{vmatrix\} \\lambda+1&-1&0\\\\4& \\lambda-3&0\\\\1&0& \\lambda-2\\end\{vmatrix\} ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣λ\+141−1λ−3000λ−2∣∣∣∣∣∣

求解思路：

*  1）完全展开，得三次方程，很难解，比如 λ 3 + λ 2 + 1 = 9 \\lambda^\{3\} + \\lambda^\{2\} + 1 =9 λ3\+λ2\+1=9 。这种方法只能蒙，不建议使用
 *  2）把某行尽量转化为0，然后按照该行进行展开
 *  3）提公因子（最好含 λ \\lambda λ）
 *  4）相邻两项相同（行、列），行和或者列和相等

比如按照最后一列进行展开  
 ∣ λ E − A ∣ = ( λ − 2 ) ( − 1 ) 3 + 3 ∣ λ + 1 1 − 4 λ − 3 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) |\\lambda E-A| = (\\lambda-2)(-1)^\{3+3\} \\begin\{vmatrix\} \\lambda+1&1\\\\-4& \\lambda-3\\end\{vmatrix\}=(\\lambda-2)(\\lambda-1)(\\lambda-1) ∣λE−A∣=(λ−2)(−1)3\+3∣∣∣∣λ\+1−41λ−3∣∣∣∣=(λ−2)(λ−1)(λ−1)

最终计算出来的 λ 1 = λ 2 = 1 , λ 3 = 2 \\lambda\_\{1\}=\\lambda\_\{2\}=1,\\lambda\_\{3\}=2 λ1=λ2=1,λ3=2(注意重根一定要写出来)

求解特征值对应的特征方程  
① 当 λ 1 = λ 2 = 1 \\lambda\_\{1\}=\\lambda\_\{2\}=1 λ1=λ2=1时  
 λ 1 E − A = ( 2 − 1 0 4 − 2 0 1 0 − 1 ) \\lambda\_\{1\} E-A = \\left(\\begin\{matrix\} 2&-1&0\\\\4& -2&0\\\\1&0&-1\\end\{matrix\}\\right) λ1E−A=⎝⎛241−1−2000−1⎠⎞  
②当 λ 3 = 2 \\lambda\_\{3\}=2 λ3=2时  
 λ 3 E − A = ( 3 − 1 0 4 − 1 0 1 0 0 ) \\lambda\_\{3\} E-A = \\left(\\begin\{matrix\} 3&-1&0\\\\4& -1&0\\\\1&0&0\\end\{matrix\}\\right) λ3E−A=⎝⎛341−1−10000⎠⎞

老师视频里抄错了，就溜了，哈哈哈，接下来进行一个详细的求解例题

**注意：** ∣ λ E − A ∣ |\\lambda E-A| ∣λE−A∣中 λ \\lambda λ只在对角线上存在；A中所有的元素都取相反数

## 例2 ##

设 A = ( 1 − 2 2 − 2 − 2 4 2 4 − 2 ) A = \\left(\\begin\{matrix\} 1&-2&2\\\\-2&-2&4\\\\2&4&-2\\end\{matrix\}\\right) A=⎝⎛1−22−2−2424−2⎠⎞，求解A的特征值与特征向量

解：

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 − 2 − 4 λ + 2 ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 0 λ − 2 λ − 2 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 2 ) ( λ + 7 ) |\\lambda E-A| = \\begin\{vmatrix\} \\lambda-1&2&-2\\\\2& \\lambda+2&-4\\\\-2&-4& \\lambda+2\\end\{vmatrix\} = \\begin\{vmatrix\} \\lambda-1&2&-2\\\\2& \\lambda+2&-4\\\\0&\\lambda-2& \\lambda-2\\end\{vmatrix\} = ( \\lambda-2)( \\lambda-2)( \\lambda+7) ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣λ−12−22λ\+2−4−2−4λ\+2∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣λ−1202λ\+2λ−2−2−4λ−2∣∣∣∣∣∣=(λ−2)(λ−2)(λ\+7)

最终计算出来的 λ 1 = λ 2 = 2 , λ 3 = − 7 \\lambda\_\{1\}=\\lambda\_\{2\}=2,\\lambda\_\{3\}=-7 λ1=λ2=2,λ3=−7(注意重根一定要写出来)

规范化的求解步骤：  
① λ 3 = − 7 \\lambda\_\{3\}=-7 λ3=−7时，对于 λ E − A \\lambda E-A λE−A矩阵，直接将上面计算行列式的第一步的结果拿来带入 λ 3 \\lambda\_\{3\} λ3的值，只做初等行变换，化为行简化阶梯型，解出同解方程组  
 λ 3 E − A = ( − 8 2 − 2 2 − 5 − 4 − 2 − 4 − 5 ) = ( 1 0 − 0.5 0 1 1 0 0 0 ) ⇒ \{ x 1 = − 0.5 x 3 x 2 = − x 3 \\lambda\_\{3\} E-A = \\left(\\begin\{matrix\} -8&2&-2\\\\2&-5&-4\\\\-2&-4&-5\\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&-0.5\\\\0&1&1\\\\0&0&0\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\begin\{cases\} x\_\{1\}=-0.5 x\_\{3\} \\\\ x\_\{2\}=- x\_\{3\} \\end\{cases\} λ3E−A=⎝⎛−82−22−5−4−2−4−5⎠⎞=⎝⎛100010−0.510⎠⎞⇒\{ x1=−0.5x3x2=−x3

解出： x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = − 2 x\_\{1\} = 1,x\_\{2\}=2,x\_\{3\}=-2 x1=1,x2=2,x3=−2，所以对应的特征向量就为： c 1 ( 1 2 2 ) c\_\{1\}\\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\2\\\\2\\end\{matrix\}\\right) c1⎝⎛122⎠⎞，其中 c 1 ≠ 0 c\_\{1\}\\not =0 c1=0

② λ 1 = λ 2 = 2 \\lambda\_\{1\}=\\lambda\_\{2\}=2 λ1=λ2=2  
 λ 1 E − A = ( 1 2 − 2 2 4 − 4 − 2 − 4 4 ) = ( 1 2 − 2 0 0 0 0 0 0 ) ⇒ x 1 = − 2 x 2 + 2 x 3 \\lambda\_\{1\} E-A = \\left(\\begin\{matrix\} 1&2&-2\\\\2&4&-4\\\\-2&-4&4\\end\{matrix\}\\right) = \\left(\\begin\{matrix\} 1&2&-2\\\\0&0&0\\\\0&0&0\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow x\_\{1\}=-2 x\_\{2\}+2x\_\{3\} λ1E−A=⎝⎛12−224−4−2−44⎠⎞=⎝⎛100200−200⎠⎞⇒x1=−2x2\+2x3

此时取 x 2 , x 3 x\_\{2\},x\_\{3\} x2,x3分别为 ( 1 0 ) \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\0\\end\{matrix\}\\right) (10)和 ( 0 1 ) \\left(\\begin\{matrix\} 0\\\\1\\end\{matrix\}\\right) (01)，计算出特征向量为 c 2 ( − 2 1 0 ) + c 3 ( 2 0 1 ) c\_\{2\}\\left(\\begin\{matrix\} -2\\\\1\\\\0\\end\{matrix\}\\right)+c\_\{3\}\\left(\\begin\{matrix\} 2\\\\0\\\\1\\end\{matrix\}\\right) c2⎝⎛−210⎠⎞\+c3⎝⎛201⎠⎞，其中 c 2 , c 3 c\_\{2\},c\_\{3\} c2,c3不能同时为0

## 例3 ##

设 A = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A = \\left(\\begin\{matrix\} 0&0&0\\\\0&0&0\\\\0&0&0\\end\{matrix\}\\right) A=⎝⎛000000000⎠⎞，求解A的特征值与特征向量

解：  
 ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ∣ = λ 3 = 0 ⇒ λ = 0 |\\lambda E-A| = \\begin\{vmatrix\} \\lambda&0&0\\\\0& \\lambda&0\\\\0&0& \\lambda\\end\{vmatrix\} = \\lambda^\{3\}=0 \\Rightarrow \\lambda = 0 ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣λ000λ000λ∣∣∣∣∣∣=λ3=0⇒λ=0

然后将 λ \\lambda λ带入，求出对应的矩阵  
 λ E − A = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \\lambda E-A = \\left(\\begin\{matrix\} 0&0&0\\\\0&0&0\\\\0&0&0\\end\{matrix\}\\right) λE−A=⎝⎛000000000⎠⎞

那么问题就来了，化为行简化阶梯型，其中有1的放在在左边，其余的放在右边，所以这里的 x 1 , x 2 , x 3 x\_\{1\},x\_\{2\},x\_\{3\} x1,x2,x3都是自由未知量，按照特征向量的定义，必须是要**非零的列向量**，所以最终的结果为 c 1 ( 1 0 0 ) + c 2 ( 0 1 0 ) + c 3 ( 0 0 1 ) c\_\{1\}\\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\0\\\\0\\end\{matrix\}\\right)+c\_\{2\}\\left(\\begin\{matrix\} 0\\\\1\\\\0\\end\{matrix\}\\right)+c\_\{3\}\\left(\\begin\{matrix\} 0\\\\0\\\\1\\end\{matrix\}\\right) c1⎝⎛100⎠⎞\+c2⎝⎛010⎠⎞\+c3⎝⎛001⎠⎞，其中 c 1 , c 2 , c 3 c\_\{1\},c\_\{2\},c\_\{3\} c1,c2,c3不能同时为0

# 4 特征值与特征向量的性质 #

性质：

*  1） A A A和 A T A^\{T\} AT有相同的特征值，但是特征向量不一定相同  
    证明： ∣ λ E − A T ∣ = ∣ λ E T − A T ∣ = ∣ ( λ E − A ) T ∣ = ∣ λ E − A ∣ = 0 |\\lambda E-A^\{T\}| = |\\lambda E^\{T\}-A^\{T\}|=|(\\lambda E - A)^\{T\}|=|\\lambda E-A|=0 ∣λE−AT∣=∣λET−AT∣=∣(λE−A)T∣=∣λE−A∣=0
 *  2）若  ∑ ∣ a i j < 1 , i = 1 , 2 , . . . , n ∣ \\sum|a\_\{ij\}<1,i=1,2,...,n| ∑∣aij<1,i=1,2,...,n∣ 且  ∑ ∣ a i j ∣ < 1 , j = 1 , 2 , . . . , n \\sum|a\_\{ij\}|<1,j=1,2,...,n ∑∣aij∣<1,j=1,2,...,n,则 ∣ λ k ∣ < 1 |\\lambda\_\{k\}| < 1 ∣λk∣<1
 *  3）若方阵的n个特征值为 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \\lambda\_\{1\},\\lambda\_\{2\},...,\\lambda\_\{n\} λ1,λ2,...,λn，则有①  ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i \\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\lambda\_\{i\} =\\sum\_\{i=1\}^\{n\}a\_\{ii\} ∑i=1nλi=∑i=1naii，也就是所有的特征值之和就为矩阵对角线元素之和；② λ 1 , λ 2 , . . . , λ n = ∣ A ∣ \\lambda\_\{1\},\\lambda\_\{2\},...,\\lambda\_\{n\}=|A| λ1,λ2,...,λn=∣A∣
 *  4）互不相同的特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \\lambda\_\{1\},\\lambda\_\{2\},...,\\lambda\_\{n\} λ1,λ2,...,λn对应的特征向量 α 1 , α 2 , . . . , α n \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},...,\\alpha\_\{n\} α1,α2,...,αn线性无关
 *  5）对4）进行补充，如果每个特征向量有多对特征值，那么这些特征向量也是线性无关的
 *  6）k重特征根，对应的线性无关的特征向量的个数小于等于k

其它性质：

*  1） k λ k\\lambda kλ是 k A kA kA的特征值
 *  2） λ 2 \\lambda^\{2\} λ2是 A 2 A^\{2\} A2的特征值， λ k \\lambda^\{k\} λk是 A k A^\{k\} Ak的特征值  
    比如2是 A A A的特征值， A 5 + 6 A 2 + A + 3 E A^\{5\} + 6A^\{2\} +A + 3E A5\+6A2\+A\+3E的特征值为 A 5 + 6 ∗ 2 2 + 2 + 3 A^\{5\} + 6\*2^\{2\} +2 + 3 A5\+6∗22\+2\+3，注意对应的 A A A换成特征值，单位阵改成1即可
 *  3） 1 λ \\frac\{1\}\{\\lambda\} λ1是 A − 1 A^\{-1\} A−1的特征值； 1 λ ∣ A ∣ \\frac\{1\}\{\\lambda\}|A| λ1∣A∣是 A ∗ A\* A∗的特征值

[Link 1]: https://blog.csdn.net/lys_828/article/details/109518585