拟合算法笔记

红太狼 2023-02-21 11:58 13阅读 0赞

# 拟合算法 什么时候用？ #

拟合算法 的结果是得到一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数），且曲线不需要一定经过给定的点

**拟合算法 非常适合样本数据较多的情况（即大于30）**

# 演示拟合法在实践中的用途 #

**选定你认为最合适的拟合函数，并作出 2019-2020 年的预测图**  
![在这里插入图片描述][2020063023401496.png]  
**一、预处理**  
将题目数据导入 Matlab 中，并根据样本点做出如下散点图  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NvdXJzZXJMaQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
由图可知，人口增长曲线有很明显的直线特征，故我们令其函数表达式为  y = k x + b y=kx+b y=kx\+b

**二、求解最小二乘法**  
先令拟合值  y ^ i = k x i + b \\hat\{y\}\_\{i\}=k x\_\{i\}+b y^i=kxi\+b

那么  k ^ , b ^ = arg ⁡ min ⁡ k , b ( ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 ) = arg ⁡ min ⁡ k , b ( ∑ i = 1 n ( y i − k x i − b ) 2 ) \\hat\{k\}, \\hat\{b\}=\\underset\{k, b\}\{\\arg \\min \}\\left(\\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\left(y\_\{i\}-\\hat\{y\}\_\{i\}\\right)^\{2\}\\right)=\\underset\{k, b\}\{\\arg \\min \}\\left(\\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\left(y\_\{i\}-k x\_\{i\}-b\\right)^\{2\}\\right) k^,b^=k,bargmin(∑i=1n(yi−y^i)2)=k,bargmin(∑i=1n(yi−kxi−b)2)

我们不妨令  L = ∑ i = 1 n ( y i − k x i − b ) 2 L=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}\\left(y\_\{i\}-k x\_\{i\}-b\\right)^\{2\} L=∑i=1n(yi−kxi−b)2，现要找  k , b k,b k,b 使得  L L L 最小

经过一系列数学运算，最终我们得到 **：**  
![20200701093933480.png][]  
**三、模型求解**  
利用 Matlab 软件，我们求解得  k ^ = 702.4 , b ^ = − 1.278 e + 06 \\hat\{k\}=702.4, \\hat\{b\}=-1.278e+06 k^=702.4,b^=−1.278e\+06，作出预测图  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NvdXJzZXJMaQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
**四、多次拟合**  
为了保证拟合结果的准确性，我们利用 Matlab 自带的 **cftool** 工具箱，它是一款强大的曲线拟合工具，并从中选取了一些常见的拟合函数，并进行对比分析，结果如下表所示：

函数类型  D e g r e e S S E R 2  polynomial  1 9.166 × 1 0 4 0.9978  polynomial  2 9662 0.9998  polynomial  3 1493 1.0000  exponential  − 6.951 × 1 0 4 0.9983  Gaussian  − 6.961 × 1 0 4 0.9983  power  − 7.15 × 1 0 4 0.9982 \\begin\{array\}\{|c|c|c|c|\} \\hline \\text \{ 函数类型 \} & \\mathrm \{ Degree \} & \\mathrm\{ SSE \} & \\mathrm\{ R^2 \} \\\\ \\hline \\text \{ polynomial \} & 1 & 9.166 \\times 10^\{4\} & 0.9978 \\\\ \\hline \\text \{ polynomial \} & 2 & 9662 & 0.9998 \\\\ \\hline \\text \{ polynomial \} & 3 & 1493 & 1.0000 \\\\ \\hline \\text \{ exponential \} & - & 6.951 \\times 10^\{4\} & 0.9983 \\\\ \\hline \\text \{ Gaussian \} & - & 6.961 \\times 10^\{4\} & 0.9983 \\\\ \\hline \\text \{ power \} & - & 7.15 \\times 10^\{4\} & 0.9982 \\\\ \\hline \\end\{array\}  函数类型  polynomial  polynomial  polynomial  exponential  Gaussian  power Degree123−−−SSE9.166×104966214936.951×1046.961×1047.15×104R20.99780.99981.00000.99830.99830.9982

**结论：** 多项式逼近中， R 2 \\mathrm\{R^2\} R2 越接近  1 1 1，说明误差平方和（ S S E \\mathrm\{SSE\} SSE）接近于  0 0 0，拟合效果越好；对于其它非线性函数， S S E \\mathrm\{SSE\} SSE 值越低拟合效果越好。综上所述，多项式中  D e g r e e \\mathrm \{Degree\} Degree 为  3 3 3 与插值逼近拟合效果最好，但同时我们要考虑到函数的形式越简单越好，综合以上的拟合结果，我们最终认为  D e g r e e \\mathrm \{Degree\} Degree 为  1 1 1 的  p o l y n o m i a l \\mathrm\{polynomial\} polynomial 函数的拟合最为合适

**步骤及代码**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NvdXJzZXJMaQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

%% 预处理
    load data2.mat;
    year = data2(:,1);
    population = data2(:,2);
    % plot(year,population,'o')  				     % 散点图
    cftool
    [fitresult, gof] = createFit(year, population);  % cftool 的 Genarate Code 导入
    t = 2009:2020;
    k = 702.4;   
    b = -1.278e+06;
    
    %% 最小二乘法 求法一：匿名函数
    f=@(x) k*x+b;
    fplot(f,[2009,2020]);
    hold on
    plot(year,population,'o')					     % 预测图
    
    %% 最小二乘法 求法二：结合函数
    predictions = k.*t+b;
    plot(year,population,'o',t,predictions,'-')		 % 预测图
    
    %% 求解其他拟合函数
    ...

# 关于使用拟合法的补充 #

**① 不要把 拟合法 写进关键词中**  
国奖论文几乎没有把拟合法放进关键词中的，因为拟合法是作为一种方法，用于辅助，而不是一种模型，所以尽量不要放进关键词中

**② 尽量用较为复杂的 拟合法**  
凡是国奖的论文，拟合法都没那么简单，有的用 SAS 软件拟合（软件），有的用高斯拟合（拟合函数），有的用三维空间拟合（创新方法），且原理都比较高深 （装B ） ，所以我们要根据建立的模型找出突破点来复杂化拟合法，但具体使用的拟合曲线还得视题目而定

# 拟合法的评估 #

**拟合法 的优点：**  
它能清晰的表明自变量和因变量之间的显著关系、多个自变量对一个因变量的影响强度  
**拟合法 的缺点：**  
它只是一种推测，这影响了因子的多样性和某些因子的不可测性，使得其在某些情况下受到限制

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