算法-动态规划-新21点

傷城~ 2023-02-14 13:29 119阅读 0赞

# 算法-动态规划-新21点 #

# 1 题目概述 #

## 1.1 题目出处 ##

https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game/

## 1.2 题目描述 ##

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 \[1, W\] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10  
输出：1.00000  
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。  
示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10  
输出：0.60000  
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。  
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。  
示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10  
输出：0.73278  
提示：

0 <= K <= N <= 10000  
1 <= W <= 10000  
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。  
此问题的判断限制时间已经减少。

# 2 动态规划 #

## 2.1 思路 ##

dp表示当前分数为i的时候的符合规则的概率

因为要求停止时机为分数不小于K，所以最后一项是K-1+W，最小是0

dp\[i\]很难找到和dp\[i-1\]的关系，反而可以找和dp\[i+1\],dp\[i+2\],…的关系

当分数达到i时，1/W的均等机会到达 \[i+1, K-1+W\]各个分数，所以有：

(1)dp[i] = 1/W * (dp[i+1] + dp[i+2] + ... + dp[i+W])，且i<K

而dp\[K\]到dp\[i+W\]可以直接计算符合规则概率为，即分数小于等于N就是1，大于N就是0。但每次这样递推计算的话存在很多重复计算，再考虑

(2)dp[i-1] = 1/W * (dp[i] + dp[i+1] + ... + dp[i+W-1])，且i<K

两式相减可得

(3)dp[i-1] = dp[i] + 1/W * (dp[i] - dp[i+W]])，且i<K

因为i < K，所以(3)可以推出0到K-1-1即0到K-2。

而dp\[K-1\]可由(1)计算 dp\[K-1\] = 1/W \* (dp\[K\] + dp\[K+1\] + … + dp\[K-1+W\])

## 2.2 代码 ##

class Solution { 
        public double new21Game(int N, int K, int W) { 
            // dp表示当前分数为i的时候的符合规则的概率
            // 因为要求停止时机为分数不小于K，所以最后一项是K-1+W，最小是0
            // dp[i]很难找到和dp[i-1]的关系，反而可以找和dp[i+1],dp[i+2],...的关系
            // 当分数达到i时，1/W的均等机会到达 [i+1, K-1+W]各个分数，所以有：
            // (1)dp[i] = 1/W * (dp[i+1] + dp[i+2] + ... + dp[i+W])，且i<K
            // 而dp[K]到dp[i+W]可以直接计算符合规则概率为，即分数小于等于N就是1，大于N就是0
            // 但每次这样递推计算的话存在很多重复计算，再考虑
            // (2)dp[i-1] = 1/W * (dp[i] + dp[i+1] + ... + dp[i+W-1])，且i<K
            // 两式相减可得
            // (3)dp[i-1] = dp[i] + 1/W * (dp[i] - dp[i+W]])，且i<K
            // 因为i < K，所以(3)可以推出0到K-1-1即0到K-2
            // 而dp[K-1]可由(1)计算 dp[K-1] = 1/W * (dp[K] + dp[K+1] + ... + dp[K-1+W])
            double[] dp = new double[K + W];
            double tmp = 0d;
            // for(int i = K; i <= K-1+W; i++){ 
            // dp[i] = i <= N? 1 : 0;
            // tmp += dp[i];
            // }
    
            int max = Math.min(K-1+W, N);
    
            for(int i = K; i <= max; i++){ 
                dp[i] = 1;
                tmp += dp[i];
            }
    
            // 计算dp[K-1]
            if(K > 0 && W > 0){ 
                dp[K-1] = tmp / W;
            }
            
            // 计算dp[K-2] -> dp[0]
            for(int i = K-2; i >= 0; i--){ 
                dp[i] = dp[i+1] + (dp[i+1] - dp[i+1+W]) / W;
            }
            return dp[0];
        }
    }

## 2.3 时间复杂度 ##

![在这里插入图片描述][20200603120147958.png]  
O(N)

## 2.4 空间复杂度 ##

O(K + W)

[20200603120147958.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200603120147958.png