matlab求解数学题,Matlab求解数学问题

朱雀 2023-01-13 12:59 187阅读 0赞

Matlab 求解数学问题

如果看完之后还是对相关函数的运用不甚了解，请务必使用 help 查看更详细的帮助文档！

求解一元 n 次方程

例：求解一元二次方程 x^2+2\*x+1 = 0

clc, clear;

% 定义函数

syms f(x);

f = x^2 + 2\*x +1;

% 利用 solve 函数求解方程

x = solve(f);

% 显示结果

disp(x);

求解方程组

例：求二元一次方程组

\*\*

9x + 8y = 10 ①

13x + 14y = 12 ②

\*\*

%% 求解多元方程组

clc, clear;

% 定义函数

syms f1(x,y) f2(x,y);

f1 = 9\*x + 8\*y - 10;

f2 = 13\*x + 14\*y - 12;

% 求解方程组

\[x, y\] = solve(f1, f2)

例：求非线性方程组

\*\*

x^2 + y^2 = 10 ①

2x + 3y = 0 ②

\*\*

%% 求解多元方程

clc, clear;

% 定义函数

syms f1(x,y) f2(x,y);

f1 = x^2 + y^2 - 10;

f2 = 2\*x + 3\*y;

% 求解方程组

\[x, y\] = solve(f1, f2)

求出来的结果是两个点的坐标，x 为横坐标， y为纵坐标。

求解符号解

求解符号解只需要我们利用 syms 函数在方程函数中声明符号变量就好了。

例：

%% 求解符号方程

clc, clear;

% 定义函数及变量 a, b, c

syms f1(x,y) f2(x,y) a b c;

f1 = a\*x^2 + b\*y^2 + c;

f2 = a\*x + b\*y + c;

% 求解方程组

\[x, y\] = solve(f1, f2)

解得的结果就是带 a, b, c 三个符号变量的符号解：

x =

\-(c - (b\*(c - (-(a\*c\*(a + b + c))/b)^(1/2)))/(a + b))/a

\-(c - (b\*(c + (-(a\*c\*(a + b + c))/b)^(1/2)))/(a + b))/a

y =

\-(c - (-(a\*c\*(a + b + c))/b)^(1/2))/(a + b)

\-(c + (-(a\*c\*(a + b + c))/b)^(1/2))/(a + b)

函数求导

%% 函数求导

clc, clear;

% 定义函数

syms y(x);

y = 2 \* x^2;

% 求函数的导

Dy = diff(y); % 求函数的一阶导

D2y = diff(y, 2); % 求函数的二阶导

求解微分方程

下面的例子为输入 help dsolve 命令后，帮助文档中所给出的例子。

%% 求解常微分方程

clc, clear;

% 定义函数及变量

syms y(x) a;

% 函数微分方程

Dy = diff(y); % 求 y 的一阶导

D2y = diff(y, 2); % 求 y 的二阶导

%求解微分方程

dsolve(D2y == -a^2\*y, y(0) == 1, Dy(pi/a) == 0)

注意： dsolve 求解微分方程的时候，如果里面求的为 n 阶导，那么后面对应给 n 个等式。(另外：是 ‘==’ 而不是 ‘=’ ，写的时候需要注意！)

求解不定积分

使用 int 函数求解不定积分：

%% 求解不定积分

clc, clear;

% 定义函数及常数 C

syms f(x) C;

f = sin(x)/x;

% 求解不定积分

int(f) + C

运行脚本后得到如下的结果：

ans =

C + sinint(x)

其中，sinint() 为正弦积分函数，返回 sin(x)/x 在区间 \[0, x\]之间的定积分，不是初等函数。

求解定积分

例：求函数 x^2\*e^x 在 (0,1) 上的积分。

%% 求解定积分

clc, clear;

% 定义函数

syms f(x);

f = x^2\*exp(x);

% 求解函数在 0 到 1 上的定积分

int(f, 0, 1)

结果化简及结果的美化

使用 simplify() 函数可以对结果进行化简。而使用 pretty() 函数可以把得到的结果以相对美观的方式输出。

%% 方程式的化简

clc, clear;

% 定义变量

syms a b;

f = 2\*a + 4\*b

% 化简

simplify(f)

%% 方程的美化

clc, clear;

% 定义变量

syms a b;

f = sqrt(a^2+b^2)/b

% 美化结果

pretty(f)

符号替换

当我们要给一个方程中的变量赋值的时候，我们可以采用 subs() 函数进行符号替换。当然我们也可以把其中的一个或一串字符替换成另一串字符。

%% 符号替换

clc, clear;

% 定义变量

syms a b;

f = a + b;

% 给 a, b 赋值

a = 2; b = 4;

% 变量替换

f2 = subs(f, \{'a', 'b'\}, \{a, b\})

求矩阵的行最简及求矩阵的秩

求矩阵的行最简可以使用 rref 函数；求矩阵的秩可以使用 rank 函数。

%% 求矩阵 A 的行最简

clc, clear;

% 定义矩阵

A = \[1 1 -3 -1; 3 -1 -3 4; 1 5 -9 -8\];

% 指定有理式格式

format rat

% 求矩阵 A 的行最简

S = rref(A)

% 求矩阵 A 的秩

rank = rank(A)

齐次线性方程组的通解

在 MATLAB 中， 函数 null 用来求解零空间，即满足 A·X = 0 的解空间，实际上是求出解空间的一组基。

格式：

z = null; % z 的列向量为方程组的正交规范基， 满足 Z' x Z = I

z = null(A, 'r'); % z 的列向量是方程 A·X = 0 的有理基

例：求解下列方程组的通解

matlab 求解程序代码如下：

A = \[1 2 2 1; 2 1 -2 -2; 1 -1 -4 -3\]; % 原始系数矩阵

format rat; % 指定有理式格式

B = null(A, 'r'); % 求解空间有理基

disp(B);

结果如下：

2 5/3

\-2 -4/3

1 0

0 1

即：

2k1 + (5/3) k2 % 通解1

\-2k1 + (-4/3) k2 % 通解2

我们也可以通过最简行得到基：

B = rref(A) % 求 A 的最简行

则相应的写出线性方程组的通解：

% 利用求解空间的有理基继续运算

syms k1 k2; % 定义字符变量

X = k1\*B(:, 1) + k2\*B(:, 2) % 得到方程组的通解

非齐次线性方程组的通解

需要先判断非齐次线性方程组是否有解，若有解，然后求通解，步骤如下。

Step1：判断 A·X = b 是否有解，若有解，则进行第二步，否则求解终止；

Step2：求 A·X = b 的一个特解；

Step3：求 A·X = 0 的通解

Step4：求 A·X = b 的通解等于 A·X = 0 的通解加上 A·X = b 的一个特解。

例：求解方程组

在 MATLAB 中建立脚本 M 文件：

clc, clear;

A = \[1 -2 3 -1; 3 -1 5 -3; 2 1 2 -2\]; % 原始系数矩阵

b = \[1 2 3\]'; % 解析矩阵

B = \[A b\]; % 增广矩阵

n = 4;

RA = rank(A) % 求 A 的秩

RB = rank(B) % 求 B 的秩

format rat % 指定有理式格式

if RA==RB && A==n % 判断是否有唯一解

X = A \\ b

elseif RA==RB && RA

运行后的结果为：

RA =

RB =

X =

equition no solve

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