matlab求解常微分方程,matlab 求解常微分方程式

Bertha 。 2023-01-16 06:20 163阅读 0赞

MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y'　D2y代表二阶微分项y''　，

condition则为初始条件。

假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件

y'=3x2, y(2)=0.5

y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25

y'=3y+exp(2x), y(0)=3

对应上述常微分方程式的符号运算式为：

>> soln\_1 = dsolve('Dy = 3\*x^2','y(2)=0.5')

soln\_1 =

3\*t\*x^2 - 6\*x^2 + 1/2

>>ezplot(soln\_1,\[2,4\]) % 看看这个函数的长相

>> soln\_2 = dsolve('Dy = 2\*x\*cos(y)^2','y(0) = pi/4')

soln\_2 =

atan(2\*t\*x + 1)

>> soln\_3 = dsolve('Dy = 3\*y + exp(2\*x)',' y(0) = 3')

soln\_3 =

(exp(3\*t)\*(exp(2\*x) + 9))/3 - exp(2\*x)/3

非线性方程式的实根

要求任一方程式的根有三步骤：

先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3，

则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。

代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。

由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。

以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。

![d58db3d3c4afe46dd9169e671a176c80.png][]

例一、方程式为

sin(x)=0

我们知道上式的根有 ，求根方式如下：

>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根

r =

3.1416

>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根

r =

6.2832

例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下：

>> x=linspace(-2,3);

>> y=humps(x);

>> plot(x,y), grid % 可知在0和1附近有二个根

>> r=fzero('humps',1.2)

r =

1.2995

例三、方程式为y=x.^3-2\*x-5

这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下：

% m-function, f\_1.m

function y=f\_1(x) % 定义 f\_1.m 函数

y=x.^3-2\*x-5; % 注意:x后面有个.

>> x=linspace(-2,3);

>> y=f\_1(x);

>> plot(x,y), grid % 可知在2和-1附近有二个根

>> r=fzero('f\_1',2) % 决定在2附近的根

r =

2.0946

>> p=\[1 0 -2 -5\];

>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证

r =

2.0946

\-1.0473 + 1.1359i

\-1.0473 - 1.1359i

线性代数方程(组)求解

我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下

AX=B

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项

要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \\ 做运算，即是 X=A\\B。

如果将原方程式改写成 XA=B

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项

注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。

若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)\*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B\*inv(A)。

我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法：

>> A=\[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1\]; % 将等式的左边系数键入

>> B=\[10 5 -1\]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置

>> X=A\\B % 先以左除运算求解

X = % 注意X为行向量

\-2.0000

5.0000

\-6.0000

>> C=A\*X % 验算解是否正确

C = % C=B

10.0000

5.0000

\-1.0000

![b548d0cf9311f808b821c810cb14b95c.png][]

>> A=A'; % 将A先做转置

>> B=\[10 5 -1\];

>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同

X = % 注意X为列向量

\-2.0000 5.0000 -6.0000

>> X=B\*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解

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[b548d0cf9311f808b821c810cb14b95c.png]: /images/20221022/d173e1c57bfe49ccb3929f488b6ad013.png

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