matlab什么时候用数值积分,MATLAB自学笔记（十八）：极限与数值积分

柔光的暖阳◎ 2023-01-13 10:18 155阅读 0赞

一、函数的极限

极限理论是微积分学的基础理论。在MATLAB中，采用limit计算数量或函数的极限

1.极限的概念

设\{xn\}为数列，a为常数。若对于任意正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|xn – a|

极限又有左极限与右极限之分

2.求极限的函数(limit)

limit(expr, x, a)：求函数expr在x->a处的极限

limit(expr)：求函数expr在x->0处的极限

limit(expr, x, a, ‘left’)：求函数expr在x->a处的左极限

limit(expr, x, a, ‘right’)：求函数expr在x->a处的右极限

Python

syms x;

f = (3\*x^2) / (3\*x^2 - 2\*x + 1);

z = limit(f,x,1)

z =

3/2

1

2

3

4

5

6

7

symsx;

f=(3\*x^2)/(3\*x^2-2\*x+1);

z=limit(f,x,1)

z=

3/2

二、函数数值积分

定积分的计算一般用牛顿-莱布尼茨公式

F(x)是f(x)的原函数之一，由不定积分求得。但是在实际中，往往会遇到一系列的问题

被积函数f(x)是由函数表格提供

被积函数表达式极其复杂，求不出原函数；或求出的原函数很复杂不利于计算

大量函数的原函数不易求出，或原函数无法用初等函数表达，因而无法合适的在计算机上表达

数值积分便是为了解决此类问题而提出的。数值积分只需计算f(x)在节点xi(i = 1,2,…,n)上的值，计算方便且利于在计算机上实现

1.数学表述

数值积分的实质是把连续的定积分(∫)问题拆分成了一系列的点，并对这些点的值进行叠加求和(∑)。这些点称为积分节点，他有一个对应的求积系数

因此，求积分的关键在于积分节点的选择及积分系数的确定

MATLAB仅支持三重积分及以下的积分运算。且在计算积分值时，要求积分区间是确定的

2.一元函数的数值积分

quad函数

quad采用遍历的自适应辛普森法计算函数的数值积分，适用于精度要求低、被积函数平滑性较差的数值积分

Q = quad(FUN, A, B)

Q = quad(FUN, A, B, TOL)

Q = quad(FUN, A, B, TOL, TRACE)

\[Q, FCNT\] = quad(…)

式中，FUN为被积函数的句柄，FUN应该接收向量输入，并输出相同长度的向量；A，B分别为积分的起始值和结束值；TOL用于控制自适应辛普森的误差，增大TOL可以加快计算速度，但是计算精度下降。默认：TOL = 1.0e-6。TRACE值非0时，函数输出计算过程中的\[fcnt a b-a Q\]；FCNT为函数计算的次数

quadl函数

quadl函数采用遍历的自适应Lobatto法计算函数的数值积分，适用于精度要求高、被积分函数曲线比较平滑的数值积分，其用法与quad函数相同

quadv函数

当被积函数是一系列的函数时，即含有除x外的变量k时，其积分结果与k的取值有关

quadv函数是quad函数的矢量扩展，因此也成为矢量积分。其用法与quad函数相同

矢量积分的计算结果是一个向量

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