量子叠加态系数_深度科普|从线性代数到量子力学(5)：Stern-Gerlach实验(下)

古城微笑少年丶 2023-01-07 15:26 74阅读 0赞

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本文是深度科普系列《从线性代数到量子力学》的第5课。

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## 0) 前情提要 ##

在本系列的前3课(*请在*专栏文章目录*中寻找* )中，我们通过几个虚构的思想实验，理解了量子力学特有的叠加态，并对不确定性原理进行了一次初体验。

而在第4课中，我们来到了真实的物理世界，回顾了量子力学史上最重要的实验之一：**斯特恩-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验**(*以下简称***SG实验** )。

这个实验通过对银原子磁矩的探测，向我们展示了量子叠加态的真实存在。

但第4课介绍的，还仅仅是SG实验的“单机版”，而本文将继续介绍SG实验更为精彩的“联机版”：**级联SG实验**。

我们会发现，两个或多个SG实验装置串联到一起之后，会有更神奇的现象发生。

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## **1) 级联SG实验：版本1.0** ##

我们知道，单机版SG实验中，银原子分成了上下两束，说明测量银原子

![Image 1][] 方向自旋时，原本处于叠加态的银原子状态，随机落到了两个本征态上。

我们将自旋磁矩为

![Image 1][] 方向和

![Image 1][] 方向的银原子所在的本征态分别记为

![Image 1][] 和

![Image 1][] 。

现在，我们将原来单机版实验装置中的接收屏撤掉，让其中处于

![Image 1][] 态的银原子(

*也就是向上走的那一束银原子* )继续往前走。

接下来，我们在这束银原子的前进方向上，放置另一个一模一样的SG实验装置，这个装置仍然具有沿着

![Image 1][] 方向变化的磁场(

*后文中，我们将*

![Image 1][]

*方向变化磁场的SG装置记为*

![Image 1][] )。

![152110bdea35b83e43332506d8ffca3d.png][]

为了方便表示，我们将上述实验装置化成抽象图：

![64c7999b1ef3740dbab8fc8907c2a932.png][]

现在问题来了：这束

![Image 1][] 的银原子通过这个新的

![Image 1][] 装置后，它还会不会分成两束？

经典直觉告诉我们：这束银原子具有确定的磁矩方向，即

![Image 1][] 方向，所以它们通过第二个

![Image 1][] 装置时，依然会向上偏转。

而事实的确也是如此。

(*就像我们在第3课的量子糖思想实验中看到的那样，当我们尝了一次量子糖的味道之后，只要闭上眼睛不去观察它的颜色，那么无论我们多少次将量子糖放进嘴里重复品尝，它的味道都不会变* )

只不过，这里所说的“确定的磁矩方向”，其实已经不是经典意义上的“确定”了，而应该从叠加态的角度去解释。课

我们在第4课中已经知道，当我们去测量银原子在

![Image 1][] 方向的自旋磁矩时，随机得到的两个结果，就是这个“

![Image 1][] 方向自旋磁矩”对应的两个本征态，即

![Image 1][] 和

![Image 1][] 。

而我们在第1课中就已经知道，一个对象的任意量子态，都可以表示成某个物理量对应的一组(*完备* )本征态的叠加。

用线性代数语言来说就是：**任意向量都可以表示成某个线性算子的一组完备特征向量(也就是一组完备基底)的线性组合**。

所以，银原子的任意量子态

![Image 1][] ，也都可以表示成两个本征态的叠加：

![Image 1][]

(*其中两个系数满足：*

![Image 1][] )

这对本征态本身也成立，比如对于处于

![Image 1][] 的银原子，它的状态就是：

![Image 1][]

而根据我们在第2课中看到的系数的物理含义可知，系数的模方

![Image 1][] 和

![Image 1][] 分别对应着测量

![Image 1][] 方向自旋磁矩时、得到结果

![Image 1][](

*即SG实验中向上偏转的银原子* )和

![Image 1][] (

*SG实验中向下偏转的银原子* )的概率。

于是，对于已经处于本征态

![Image 1][] 的银原子而言，当我们再去测量它在

![Image 1][] 方向上的自旋磁矩时，它继续坍缩到本征态

![Image 1][] 的概率就是1，而变成本征态

![Image 1][] 的概率就是0。

体现在实验中就是：原来向上偏转的银原子束，通过第二个

![Image 1][] 装置后，仍然全部向上偏转，没有例外。

有了这种叠加态的思维，我们才能比较顺畅地理解下一个版本的联机实验。

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## 2) 级联SG实验：版本2.0 ##

这是级联SG实验中最重要的一个版本。

在这个版本中，我们将再次看见不确定性原理的影子。

首先，我们仍然从单机版的

![Image 1][] 装置中筛选出

![Image 1][] (

*自旋磁矩为*

![Image 1][]

*方向* )的银原子，并且撤去接收屏，让这束银原子通过一个通过磁场沿

![Image 1][] 方向的SG实验装置，记为

![Image 1][] 。

实验的抽象图如下：

![3ccbe3e0a51594127c78b3126d383622.png][]

接下来，请各位猜一猜：处于

![Image 1][] 状态的银原子，通过

![Image 1][] 装置后，会发生什么事情？

按照经典直觉，进入磁场的银原子具有确定的磁矩方向

![Image 1][] ，而

![Image 1][] 装置中，磁场方向以及变化方向都是

![Image 1][] 方向，磁矩

![Image 1][] 和磁感应强度梯度方向的夹角

![Image 1][] ，于是银原子受到的磁场力大小为：

![Image 1][]

这意味着，银原子会在

![Image 1][] 装置的磁场中直来直去，不发生任何偏转。

但实际结果却是，**银原子又分裂成了两束**，一束朝

![Image 1][] 方向偏转，另一束朝

![Image 1][] 方向偏转！

![0a791e5dd2a662ad9fbabd9becba327c.png][]

也就是说，原本自旋磁矩处于

![Image 1][] 方向的银原子，通过

![Image 1][] 装置后，自旋磁矩方向发生了惊天大转弯，变成了

![Image 1][] 或

![Image 1][] 中的一个。

并且，如果我们将

![Image 1][] 和

![Image 1][] 两束银原子的数量分别数一遍，会发现它们大致相等。

是的，这必须又要用叠加态来解释了。

我们知道，“

![Image 1][] 方向磁矩”具有两个本征态

![Image 1][] 和

![Image 1][] ，而“测量

![Image 1][] 方向磁矩”也有两个本征态

![Image 1][] 和

![Image 1][] ，也就是银原子束通过

![Image 1][] 后分裂成的两束分别对应的量子态。

于是，我们可以将版本2.0的SG实验结果转换成量子语言：

对

![Image 1][] 态的银原子，如果去测量它的

![Image 1][] 方向磁矩，那么银原子的状态会随机坍缩到

![Image 1][] 和

![Image 1][] 中的一个；

而

![Image 1][] 和

![Image 1][] 两束银原子的数量大致相等，就意味着，对

![Image 1][] 态的银原子，测量

![Image 1][] 方向磁矩时，坍缩到

![Image 1][] 和

![Image 1][] 的概率是相等的。

还记得我们在第3课的量子糖思想实验中，交替进行“看颜色”和“尝味道”两种行为时，发生的事情以及我们的解释吗？

(*不记得的同学，建议先复习第3课内容* )

在这个级联SG实验中，我们可以将“测量

![Image 1][] 方向自旋磁矩”类比为“观察量子糖的颜色”，将“测量

![Image 1][] 方向自旋磁矩”类比为“品尝量子糖的味道”。

根据量子糖思想实验中的解释方式，我们可以推知：

![Image 1][]

**方向自旋磁矩处于确定的本征态时，**

![Image 1][]

**方向自旋磁矩就处于不确定的叠加态** (这里 *又一次看到了不确定性原理的影子* )。

换句话说就是：**“**

![Image 1][]

**方向自旋磁矩”对应的本征态，是“**

![Image 1][]

**方向自旋磁矩”对应的本征态的线性叠加**。

这才是这次级联SG实验结果的正确打开方式。

而根据“

![Image 1][] 态的银原子坍缩到

![Image 1][] 和

![Image 1][] 的概率相等”这条线索，我们还能推知，将

![Image 1][] 表示成

![Image 1][] 的线性叠加时，系数的模方也是相等的。

于是我们可以进一步猜出它们之间的一种可能的关系：

![Image 1][]

(*同时也可以得到：*

![Image 1][] )

根据这个关系，我们还可以看出，两组本征态在态空间中的“夹角”是45度。

![2b3311c380f4e53177275b4cb57caa9c.png][]

而我们知道，在“真实物理空间”中，

![Image 1][] 方向磁矩和

![Image 1][] 方向磁矩的夹角是90度。

于是我们又一次看到了在第4课中提到的自旋磁矩“在真实物理空间中的夹角

![Image 1][] ”与“在态空间中的夹角

![Image 1][] ”之间的倍数关系：

![Image 1][]

至于这背后是否有更精妙的数学结构，正如第4课所言，要到比较遥远的以后再揭晓答案了。

现在我们先记住这个关系就行。如果担心自己记不住，不妨来做个随堂练习巩固一下：

【练习5.1】

*假设一个级联SG实验中，第一个装置是*

![Image 1][]

*，第二个装置的磁场方向再不是*

![Image 1][]

*，而是*

![Image 1][] 平面内

*一个与*

![Image 1][]

*成*

![Image 1][]

*角的方向，将该装置记为*

![Image 1][]

*(如图)。银原子通过*

![Image 1][]

*后分成两束，我们筛选出*

![Image 1][]

*对应的那束银原子，让它们通过*

![Image 1][]

*，并再次分裂成两束，问：**通过***

![Image 1][]

***后的两束银原子中，向上偏转和向下偏转的银原子数量占比分别大约是多少？***

![47f108eb62486d2c672ef9d38c988b0b.png][]

(*答案在文末附录中* )

暂时不想算的同学，可以跟着作者进入下一个版本的级联SG实验，它没有第二个版本那么烧脑，但依然很有意思。

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## **3) 级联SG实验：版本3.0** ##

这是一个有关“前世记忆”的实验，它是这样操作的：

先让银原子通过一个

![Image 1][] 装置，从中筛选出

![Image 1][] 那束银原子，让它们通过一个

![Image 1][] 装置，然后从中又筛选出

![Image 1][] 的银原子，让它们再次通过一个

![Image 1][] 装置。

![4c3628a437669777583a740230b592e9.png][]

这样做是为了看看这些银原子是否还“记得”自己在上次通过

![Image 1][] 前，“曾经”是

![Image 1][] 。

已经有了量子思维的我们，可以很快得出结论：

通过第二个

![Image 1][] 装置的银原子，将会再次均匀分裂成两束，因为它们进入第二个

![Image 1][] 装置前，已经处于

![Image 1][] 的状态。

也就是说，通过

![Image 1][] 后落到

![Image 1][] 方向自旋本征态的银原子，就像喝了一碗孟婆汤，忘却了它“前世是

![Image 1][] ”的记忆，在再次通过

![Image 1][] 时，重新随机选择了自旋磁矩的本征态。

是的，量子世界就是这么绝情却又让人着迷。

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## **4) 结语和预告** ##

通过第4课和第5课的介绍，我们完整地看到了一例发生在真实物理世界中的量子叠加现象，并且再次感受到了不确定性原理的影子。

但“自旋”这个概念还是离我们的经典世界比较遥远，我们其实一直盼望着想知道：

波粒二象性、波函数这些听起来更“量子”的概念，是怎么和态矢量联系起来的？

经典物理中那些常见物理量，比如时间、位置、能量、动量，该怎么从态矢量中得到？

那个定量描述不确定性原理的谜之公式：

![Image 1][] ，又是如何得出来的？

从第6课开始的很长一段旅程里，我们将一步一步揭开这些谜底。

从线性代数到量子力学(6)：量子力学原理初体验zhuanlan.zhihu.com

![b6f5ed6a9e6cdb249813d7a4b9928da7.png][]

而在进入下一个主题之前，我们还要趁热打铁，利用本课刚刚新鲜出炉的“自旋”的量子性质，来理解量子力学在信息学中的一个重要应用：量子加密。

它的一个最原始也最简单的版本，是一种不可被伪造的货币：量子货币。

欲知详情，请移步番外编：

从线性代数到量子力学(番外A)：十分钟了解量子货币zhuanlan.zhihu.com

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## **附录：** ##

**练习5.1答案：**

向上偏转(

![Image 1][] )的银原子占比为

![Image 1][] ；向下偏转(

![Image 1][] )的银原子占比为

![Image 1][]

(*有两位同学同时最先给出正确答案：Andy, RD巨佬；回头会送上小礼物~* )

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