低秩矩阵完备_背景建模——低秩性与稀疏性

布满荆棘的人生 2023-01-07 14:26 314阅读 0赞

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稳健PCA用于背景建模，可以同时完成背景和前景分离，实现背景建模和前景运动目标提取。

稳健PCA用于实现从原始观测数据中恢复低秩成分和稀疏成分。

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介绍几个从知乎上找到的关于“低秩”的理解：

举个例子，大家排队买票，如果互相不认识，那就会一个排一个，非常有秩序。然而，如果突然来了一个与队伍前面的人认识的人，这个人又不自觉，非要插队。那后面的人肯定要有意见了，说你要是这样我前面还有认识的人呢，你插我也插，这样整个队伍就乱掉了，谁也买不成。

通过这个例子，可得以下结论：

彼此不认识，那就不相关，就有秩序；

反之，彼此相关，就没有秩序。

所以，数学家们定义，矩阵中的最大的不相关向量的个数，就叫秩，可以理解为有秩序的程度。

在图像处理中，rank(秩)可以理解为图像所包含的信息的丰富程度，在现实生活中，一张图片中大部分成分是相似的，比如一张大草原的照片:

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可以理解为，草原由很多草组成，而草是相似的，所以如果全是草，那么这张图所包含的信息是很少的，因为可以理解为草是草的复制品。而上图的蒙古包、人、马之类的则可以理解为图片所包含的信息，实际上，相对于只有草的草原图片和有草和蒙古包的草原图片，后者的秩是比较高的。也就是说，图片中比较突兀的成分，比如蒙古包，比如人像照片中的红眼亮点，会增加图像矩阵的秩。而现实生活中一张不错的图片的秩其实是比较低的，如果图像的秩比较高，往往是因为图像中的噪声比较严重。比如拍照的时候ISO感光度设置过高造成噪点太过泛滥之类的。所以，图像处理的低秩性可以拿来去除照片中的噪点，电影中的雨丝也可以通过低秩表达的方式来去除。 以下这一篇回答，不仅对低秩的概念进行了阐述，并在这个基础上对图像处理中很常用的稀疏表示有详细的表述。

我们认为图像有一些公共的模式，所有图像都由这些基本的模式组成。

例如，如果图像是一个叉，可以看成是一个正斜线和反斜线的叠加，只要我们找到了所有的基底(称作字典，就是上面说的正斜线和反斜线之类的东西)，就能通过基底的线性组合表示出所有的图像。这就好比学画画，先学会基本的画正方体、球体、圆柱体等等，就可以组合出各种各样的复杂形状。

在很多情形下，基底的数量是很少的，比如一张照片拍的是一面砖墙，那么它显然具有周期重复的特点，换句话说就是低秩。即使整个图不低秩，往往也能找出一些相似的块，这些块是低秩的。再退一步，就算这也做不到，往往也可以把已有的数据看成是一组低维的结果加上噪声，即原来的数据可以被低秩矩阵很好的逼近。

而稀疏性的意思是(以稀疏表示为例)，任给一个图像，字典可能是过完备的，从而用字典里的基向量表出这幅图有很多种不同的方案，我们希望选取使用基底数量最少的那种方案，因为简单的总是好的。

基底的思想在很多地方都会用到。一幅图(也就是一个矩阵)很自然的基底就是每个像素为1，剩下的像素为0这样的基本矩阵，这是从空域的角度看的，。换个角度看问题常常更加有用：例如离散傅里叶变换、离散余弦变换等等，都是换了一组基，而新的基底具有更好的性质，例如更适合人眼的视觉特性，能够分离出原图中某些特定的成分(而这在空域很难做到)。

具体到图像的稀疏表示中，假设你要表示人脸，那你需要的基底可能是眉毛、眼睛、鼻子等等……如果收集了很多不同的这些“组件”，对于新的样本(一个新的面孔)，这些基底往往也能很好地表出，并且可以赋予一定的解释。比如孩子的脸等于父母亲的脸的某个系数的组合，就可以解释成孩子在多大程度上继承了父亲的外貌特征，又在多大程度上继承了母亲的外貌特征。

视频背景建模正好拟合了稳健PCA的分解特性：

将n帧视频图像序列的每一帧图像像素值组成一个列向量，那么这n个列向量就组成了一个观测矩阵。由于背景比较稳定，图像序列帧与帧之间具有极大的相关性，所以仅由背景像素组成的矩阵具有低秩特性；而运动前景在图像上的分布范围比较小，故前景像素组成的矩阵具有稀疏特性。视频观测矩阵就是这两种特性矩阵的叠加。通过稳健PCA算法的求解就可恢复出背景的低秩成分和表示前景的稀疏成分，实现视频背景建模。

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未完待续

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